Ύψος τριγώνου

Στην γεωμετρία, ύψος ενός τριγώνου είναι το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα από μία κορυφή προς την απέναντι πλευρά (ή την προέκτασή της).

Το ύψος $\upsilon _{\rm {A}}$ του τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$ που αντιστοιχεί στην κορυφή $\mathrm {A}$.

Σε κάθε τρίγωνο τα τρία ύψη (ή οι προεκτάσεις τους) διέρχονται από το ίδιο σημείο, το οποίο ονομάζεται ορθόκεντρο.

Στο τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$, τα ύψη $\mathrm {AH_{A}} ,\mathrm {BH_{B}} ,\mathrm {\Gamma H_{\Gamma }}$ συνήθως συμβολίζονται ως $\upsilon _{\rm {A}},\upsilon _{\rm {B}},\upsilon _{\rm {\Gamma }}$ ή $\upsilon _{\alpha },\upsilon _{\beta },\upsilon _{\gamma }$ αντίστοιχα.

Ορθόκεντρο τριγώνου

Θεώρημα —  Σε κάθε τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$, τα ύψη $\mathrm {AH_{A}} ,\mathrm {BH_{B}} ,\mathrm {\Gamma H_{\Gamma }}$ (ή οι προεκτάσεις τους) διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Το ορθόκεντρο ${\rm {H}}$ για ένα οξυγώνιο, ένα ορθογώνιο και ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο.

Απόδειξη (με αντισυμπληρωματικό τρίγωνο)  

Τα ύψη του ${\rm {AB\Gamma }}$ είναι οι μεσοκάθετοι του ${\rm {K\Lambda M}}$.

Θα κατασκευάσουμε ένα τρίγωνο ${\rm {K\Lambda M}}$ με τέτοιο τρόπο ώστε οι μεσοκάθετοι των πλευρών του να περιέχουν τα ύψη του ${\rm {AB\Gamma }}$. Για τις μεσοκαθέτους γνωρίζουμε ότι διέρχονται από το ίδιο σημείο, το περίκεντρο, και έτσι θα καταλήξουμε ότι τα ύψη του ${\rm {AB\Gamma }}$ (ή οι προεκτάσεις τους) διέρχονται από το ίδιο σημείο.

Θεωρούμε την ευθεία $\epsilon _{\alpha }$ που διέρχεται από το ${\rm {A}}$ και είναι παράλληλη στο ${\rm {B\Gamma }}$, την $\epsilon _{\beta }$ που διέρχεται από το ${\rm {B}}$ και είναι παράλληλη στο ${\rm {A\Gamma }}$ και την $\epsilon _{\gamma }$ που διέρχεται από το ${\rm {\Gamma }}$ και είναι παράλληλη στο ${\rm {AB}}$. Έστω ${\rm {K\Lambda M}}$ το τρίγωνο που σχηματίζουν αυτές οι ευθείες.

Το τετράπλευρο ${\rm {KAB\Gamma }}$ είναι παραλληλόγραμμο καθώς οι πλευρές του είναι παράλληλες, επομένως

${\rm {KA}}={\rm {B\Gamma }}=\alpha$.

Αντίστοιχα, από το παραλληλόγραμμο ${\rm {A\Lambda \Gamma B}}$ έχουμε ότι

${\rm {A\Lambda }}={\rm {B\Gamma }}=\alpha$.

Συνεπώς το ${\rm {A}}$ είναι το μέσο του ${\rm {K\Lambda }}$ και ${\rm {K\Lambda \perp AH_{A}}}$, καθώς ${\rm {B\Gamma \perp AH_{A}}}$ και ${\rm {K\Lambda }}\parallel {\rm {B\Gamma }}$. Άρα, το ύψος ${\rm {AH_{\rm {A}}}}$ ανήκει στην μεσοκάθετο του ${\rm {K\Lambda }}$.

Αντίστοιχα, τα ${\rm {BH_{\rm {B}}}}$ και ${\rm {\Gamma H_{\rm {\Gamma }}}}$ ανήκουν στην μεσοκάθετο του ${\rm {A\Gamma }}$ και ${\rm {AB}}$. Συνεπώς, καταλήγουμε ότι τα ύψη (ή οι προεκτάσεις τους) διέρχονται από το περίκεντρο του ${\rm {K\Lambda M}}$.

Ιδιότητες

• (Ευθεία του Όιλερ) Το βαρύκεντρο $\mathrm {G}$, το ορθόκεντρο $\mathrm {H}$ και το περίκεντρο $\mathrm {O}$ είναι συγγραμμικά και $\mathrm {HG} =2\cdot \mathrm {GO}$.
• (Κύκλος του Όιλερ) Το σημεία $\mathrm {H_{\mathrm {A} }} ,\mathrm {H_{\mathrm {B} }} ,\mathrm {H_{\mathrm {\Gamma } }}$, τα μέσα των $\mathrm {AH} ,\mathrm {BH} ,\mathrm {\Gamma H}$ και τα μέσα των πλευρών ανήκουν στον ίδιο κύκλο.
• (Θεώρημα Νάγκελ) Αν $\mathrm {O}$ είναι το περίκεντρο του τριγώνου, τότε

$\mathrm {H_{A}} \mathrm {H_{B}} \perp \mathrm {O\Gamma }$, $\quad \mathrm {H_{B}} \mathrm {H_{\Gamma }} \perp \mathrm {OA} \quad$ και $\quad \mathrm {H_{A}} \mathrm {H_{\Gamma }} \perp \mathrm {OB}$.

• Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς κάθε μία από τις πλευρές είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.
• Το συμμετρικό σημείο του ορθόκεντρου ως προς το μέσο κάθε μίας από τις πλευρές του είναι σημείο του περιγεγραμμένου κύκλου.
• Το ορθόκεντρο είναι το σημείο $\mathrm {P}$ που ελαχιστοποιεί την ακόλουθη συνάρτηση:

$f(\mathrm {P} )=\mathrm {PA} +\mathrm {PB} +\mathrm {P\Gamma } +\mathrm {PH_{A}} +\mathrm {PH_{B}} +\mathrm {PH_{\Gamma }}$.

• Σε ένα τρίγωνο δύο ύψη είναι ίσα αν και μόνο αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Μετρικές σχέσεις

• Από τον τύπο του Ήρωνα προκύπτει ότι

$\upsilon _{\mathrm {A} }={\frac {2}{\alpha }}\cdot {\sqrt {\tau \cdot (\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )}}$,

όπου $\tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )$ είναι η ημιπερίμετρος.

• Επίσης, ισχύουν οι παρακάτω τριγωνομετρικές σχέσεις:

$\upsilon _{\rm {A}}=\alpha \cdot {\frac {\sin {\rm {B}}\cdot \sin {\rm {\Gamma }}}{\sin {\rm {A}}}}$, $\quad \upsilon _{\rm {B}}=\beta \cdot {\frac {\sin {\rm {\Gamma }}\cdot \sin {\rm {A}}}{\sin {\rm {B}}}}$ και $\quad \upsilon _{\rm {\Gamma }}=\gamma \cdot {\frac {\sin {\rm {A}}\cdot \sin {\rm {B}}}{\sin {\rm {\Gamma }}}}$.

• Έστω $\mathrm {E}$ το εμβαδό του τριγώνου και ${\hat {\mathrm {A} }}>90^{o}$, τότε

$\mathrm {AH} ^{2}={\frac {\alpha \cdot (\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\alpha ^{2})}{4\mathrm {E} }}$,

και αν $\mathrm {A} <90^{o}$, τότε

$\mathrm {AH} ^{2}={\frac {\alpha \cdot (\alpha ^{2}-\beta ^{2}-\gamma ^{2})}{4\mathrm {E} }}$.

• Αν $R$ η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου, τότε

$\mathrm {AH} ^{2}+\mathrm {BH} ^{2}+\mathrm {\Gamma H} ^{2}=12R^{2}-(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})$

• Αν $\mathrm {H}$ το ορθόκεντρο, $\mathrm {G}$ το βαρύκεντρο, $(\mathrm {O} ,R)$ ο περιγεγραμμένος, $(\mathrm {I} ,\rho )$ o εγγεγραμμένος και $(\mathrm {I_{A}} ,\rho _{\mathrm {A} })$ ο παρεγγεγραμμένος κύκλος, τότε

$\mathrm {OH} ^{2}=9R^{2}-(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})$,

$\mathrm {HG} ^{2}=4R^{2}-4\cdot (\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})$,

$\mathrm {HI} ^{2}=2\rho ^{2}-4R^{2}\cos \mathrm {A} \cos \mathrm {B} \cos \mathrm {\Gamma }$,

$\mathrm {HI_{A}} ^{2}=2\rho _{\mathrm {A} }^{2}-4R^{2}\cos \mathrm {A} \cos \mathrm {B} \cos \mathrm {\Gamma }$.

• Για τα ύψη $\mathrm {AH_{A}} ,\mathrm {BH_{B}} ,\mathrm {\Gamma H_{\Gamma }}$, ισχύει ότι
  • $\mathrm {AH} \cdot \mathrm {HH_{A}} =\mathrm {BH} \cdot \mathrm {HH_{B}} =\mathrm {\Gamma H} \cdot \mathrm {HH_{\Gamma }}$,
  • ${\frac {\mathrm {AH} }{\mathrm {HH_{A}} }}+{\frac {\mathrm {BH} }{\mathrm {HH_{B}} }}+{\frac {\mathrm {\Gamma H} }{\mathrm {HH_{\Gamma }} }}=1$.
  • $(\upsilon _{\mathrm {A} }+\upsilon _{\mathrm {B} }+\upsilon _{\mathrm {\Gamma } })\cdot \left({\frac {1}{\upsilon _{\mathrm {A} }}}+{\frac {1}{\upsilon _{\mathrm {B} }}}+{\frac {1}{\upsilon _{\mathrm {\Gamma } }}}\right)=(\alpha +\beta +\gamma )\cdot \left({\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}+{\frac {1}{\gamma }}\right)$.
• Αν $\mu _{\mathrm {A} }$ η διάμεσος τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$ με $\beta >\gamma$, τότε

$\upsilon _{\mathrm {A} }\cdot \mu _{\mathrm {A} }={\frac {\beta ^{2}-\gamma ^{2}}{2\alpha }}$.

• Αν $\rho$ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου και $\rho _{\mathrm {A} },\rho _{\mathrm {B} },\rho _{\mathrm {\Gamma } }$ οι ακτίνες των παρεγγεγραμμένων κύκλων, τότε

${\frac {1}{\rho _{\mathrm {A} }}}={\frac {1}{\upsilon _{\mathrm {B} }}}+{\frac {1}{\upsilon _{\mathrm {\Gamma } }}}-{\frac {1}{\upsilon _{\mathrm {A} }}}$,

${\frac {1}{\rho _{\mathrm {A} }}}+{\frac {1}{\rho _{\mathrm {B} }}}+{\frac {1}{\rho _{\mathrm {\Gamma } }}}={\frac {1}{\rho }}={\frac {1}{\upsilon _{\mathrm {A} }}}+{\frac {1}{\upsilon _{\mathrm {B} }}}+{\frac {1}{\upsilon _{\mathrm {\Gamma } }}}$,

${\frac {1}{\rho ^{2}}}+{\frac {1}{\rho _{\mathrm {A} }^{2}}}+{\frac {1}{\rho _{\mathrm {B} }^{2}}}+{\frac {1}{\rho _{\mathrm {\Gamma } }^{2}}}=4\cdot \left({\frac {1}{\upsilon _{\mathrm {A} }^{2}}}+{\frac {1}{\upsilon _{\mathrm {B} }^{2}}}+{\frac {1}{\upsilon _{\mathrm {\Gamma } }^{2}}}\right)$.

Ανισοτικές σχέσεις

Σε κάθε τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$ με $\alpha >\beta >\gamma$ έχουμε ότι:

$\upsilon _{\mathrm {A} }<\upsilon _{\mathrm {B} }<\upsilon _{\mathrm {\Gamma } }.$

Το ορθικό τρίγωνο $\mathrm {H_{A}H_{B}H_{\Gamma }}$ του $\mathrm {AB\Gamma }$.

Ορθικό τρίγωνο

Το τρίγωνο $\mathrm {H_{A}H_{B}H_{\Gamma }}$ λέγεται ορθικό (ή αλλιώς ποδικό) τρίγωνο του τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$.

Δείτε επίσης

• Διάμεσος
• Διχοτόμος γωνίας
• Μεσοκάθετη ευθύγραμμου τμήματος
• Ορθικό τρίγωνο
• Ορθοκεντρική τετράδα