Βαρύκεντρο τριγώνου

Στην γεωμετρία, το βαρύκεντρο (ή κέντρο βάρους) ενός τριγώνου είναι το σημείο του τριγώνου όπου διέρχονται οι τρεις διάμεσοί του. Πιο συγκεκριμένα:

Οι διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το κέντρο βάρους του.

Οι διάμεσοι ${\rm {AM_{A}}}$, ${\rm {BM_{B}}}$ και ${\rm {\Gamma M_{\Gamma }}}$, που διέρχονται από το ίδιο σημείο $\mathrm {G}$.

Σε ένα τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$, οι τρεις διάμεσοι ${\rm {AM_{A},BM_{B},\Gamma M_{\Gamma }}}$ διέρχονται από το ίδιο σημείο $\mathrm {G}$. Επιπλέον ισχύει ότι

${\rm {AG={\tfrac {2}{3}}AM_{A}\quad }}$, ${\rm {BG={\tfrac {2}{3}}BM_{B}\quad }}$ και $\quad {\rm {\Gamma G={\tfrac {2}{3}}\Gamma M_{\Gamma }}}$.

Αποδείξεις

Απόδειξη (με θεώρημα τομής του Θαλή)  

Σχήμα για την πρώτη απόδειξη.

Έστω $\mathrm {BM} _{\beta }$ και $\mathrm {\Gamma M} _{\gamma }$ οι διάμεσοι του τριγώνου και $\mathrm {G} '$ το σημείο της τομής τους. Επίσης, θεωρούμε το σημείο $\mathrm {A} '$ το συμμετρικό του $\mathrm {A}$ ως προς το $\mathrm {G} '$, και $\mathrm {M'}$ το σημείο τομής του $\mathrm {B\Gamma }$ με το $\mathrm {A'G'}$.

Τα ευθύγραμμα τμήματα ${\rm {M_{B}G'}}$ και ${\rm {BA'}}$ χωρίζουν τo ${\rm {A\Gamma }}$ και ${\rm {G'A'}}$ σε ίσα μέρη. Από το θεώρημα τομής του Θαλή, προκύπτει ότι

${\rm {M_{\Gamma }G'//BA'}}$,

και αντίστοιχα για τα ευθύγραμμα τμήματα ${\rm {M_{\Gamma }G'}}$ και ${\rm {\Gamma A'}}$

${\rm {M_{B}G'//\Gamma A'}}$.

Επομένως, το τετράπλευρο ${\rm {BA'\Gamma G'}}$ έχει τις απέναντι πλευρές του ανά δύο παράλληλες, άρα είναι παραλληλόγραμμο. Οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου διχοτομούνται, άρα ${\rm {M'}}$ είναι το μέσο του ${\rm {B\Gamma }}$ και άρα ${\rm {AM'}}$ η διάμεσος της κορυφής ${\rm {A}}$. Επίσης, ${\rm {M'}}$ το μέσο του ${\rm {G'A'}}$ και άρα ${\rm {AG={\tfrac {2}{3}}AM'}}$. $\square$

Απόδειξη (με διανύσματα)  

Θεωρούμε ένα σημείο αναφοράς ${\rm {O}}$ και το σημείο

${\overrightarrow {\mathrm {OG} }}={\tfrac {1}{3}}\cdot ({\overrightarrow {\mathrm {OA} }}+{\overrightarrow {\mathrm {OB} }}+{\overrightarrow {\mathrm {O\Gamma } }}).$

Θα δείξουμε ότι η προέκταση της $\mathrm {AG}$ κατά ${\tfrac {3}{2}}$ είναι διάμεσος.

${\begin{aligned}{\overrightarrow {\mathrm {OA} }}+{\tfrac {3}{2}}{\overrightarrow {\mathrm {AG} }}&={\overrightarrow {\mathrm {OA} }}+{\tfrac {1}{2}}\cdot ({\overrightarrow {\mathrm {OA} }}+{\overrightarrow {\mathrm {OB} }}+{\overrightarrow {\mathrm {O\Gamma } }})-{\frac {3}{2}}{\overrightarrow {\mathrm {OA} }}\\&={\frac {1}{2}}({\overrightarrow {\mathrm {OB} }}+{\overrightarrow {\mathrm {O\Gamma } }}),\end{aligned}}$

που είναι το μέσο του $\mathrm {B\Gamma }$. $\square$

Απόδειξη (με το αντίστροφο του θεωρήματος του Τσέβα)  

Από το αντίστροφο του θεωρήματος του Τσέβα προκύπτει ότι οι τρεις διάμεσοι ${\rm {AM_{A}}}$, ${\rm {BM_{B}}}$ και ${\rm {\Gamma M_{\Gamma }}}$ συντρέχουν, καθώς

${\rm {{\frac {BM_{A}}{\Gamma M_{A}}}\cdot {\frac {\Gamma M_{B}}{AM_{B}}}\cdot {\frac {AM_{\Gamma }}{BM_{\Gamma }}}={\frac {{\tfrac {1}{2}}\alpha }{{\tfrac {1}{2}}\alpha }}\cdot {\frac {{\tfrac {1}{2}}\beta }{{\tfrac {1}{2}}\beta }}\cdot {\frac {{\tfrac {1}{2}}\gamma }{{\tfrac {1}{2}}\gamma }}=1\cdot 1\cdot 1=1}}$.

Ιδιότητες

Κάποιες από τις κυριότερες ιδιότητες του βαρύκεντρου είναι οι εξής:

• Το βαρύκεντρο χωρίζει τις διαμέσους σε δύο ευθύγραμμα τμήματα με λόγο $2:1$, δηλαδή ${\rm {AG=2\cdot GM_{A}}}$.
• Οι συντεταγμένες του βαρύκεντρου δίνονται από τον μέσο όρο των συντεταγμένων των τριών κορυφών του τριγώνου:

$(G_{x},G_{y})=\left({\tfrac {1}{3}}\cdot (\mathrm {A} _{x}+\mathrm {B} _{x}+\mathrm {\Gamma } _{x}),{\tfrac {1}{3}}\cdot (\mathrm {A} _{y}+\mathrm {B} _{y}+\mathrm {\Gamma } _{y})\right).$

• (Θεώρημα Πάππου) Έστω $\epsilon$ μία ευθεία στο επίπεδο που δεν έχει κοινά σημεία με το $\mathrm {AB\Gamma }$. Τότε η απόσταση του βαρύκεντρου από την $\epsilon$ είναι ο αριθμητικός μέσος των αποστάσεων των τριών κορυφών από την $\epsilon$.
• (Ευθεία του Όιλερ) Έστω $\mathrm {O}$ το περίκεντρο, $\mathrm {H}$ το ορθόκεντρο του τριγώνου $\mathrm {AB\Gamma }$. Τότε τα $\mathrm {G} ,\mathrm {H} ,\mathrm {O}$ είναι συνευθειακά και $\mathrm {HG} =2\cdot \mathrm {OG}$.
• (Σχέση του Λάιμπνιτς) Έστω $\mathrm {M}$ ένα τυχόν σημείο του επιπέδου. Τότε,

$\mathrm {MA} ^{2}+\mathrm {MB} ^{2}+\mathrm {M\Gamma } ^{2}=3\cdot \mathrm {MG} ^{2}+{\frac {1}{3}}\cdot (\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}).$

• Το συμπληρωματικό τρίγωνο ${\rm {M_{A}M_{B}M_{\Gamma }}}$ έχει τις ίδιες διαμέσους και το ίδιο βαρύκεντρο με το τρίγωνο $\mathrm {AB\Gamma }$.

Δείτε επίσης

• Διάμεσος (γεωμετρία)
• Ορθόκεντρο τριγώνου
• Περίκεντρο τριγώνου
• Έγκεντρο τριγώνου