Υπόθεση Ρίμαν

Στα μαθηματικά η Υπόθεση Ρίμαν, η οποία εισήχθη από τον Μπέρναρντ Ρίμαν (1859), είναι η εικασία, πως οι μη τετριμμένες ρίζες της συνάρτησης ζήτα του Ρίμαν, έχουν όλες πραγματικό μέρος 1/2. Η ίδια ονομασία χρησιμοποιείται για σχετικά θέματα, όπως η Υπόθεση Ρίμαν για καμπύλες σε πεπερασμένα πεδία.

Το πραγματικό μέρος (κόκκινο) και το φανταστικό μέρος (μπλε) της συνάρτησης ζήτα του Ρίμαν, καθώς και η κρίσιμη ευθεία Re(s) = 1/2. Οι πρώτες μη τετριμμένες ρίζες της συνάρτησης, εμφανίζονται στα Im(s) = ±14.135, ±21.022 and ±25.011.

Η υπόθεση Ρίμαν συνεπάγεται αποτελέσματα για την κατανομή των πρώτων αριθμών. Συμπεριλαμβανομένων κατάλληλων γενικεύσεων, θεωρείται από κάποιους μαθηματικούς, ως το σημαντικότερο άλυτο πρόβλημα των θεωρητικών μαθηματικών(Bombieri 2000). Η υπόθεση Ρίμαν, μαζί με την Εικασία του Γκόλντμπαχ, αποτελεί μέρος του ογδόου προβλήματος του Χίλμπερτ στον κατάλογο του Ντάβιντ Χίλμπερτ των 23 άλυτων προβλημάτων. Αποτελεί επίσης ένα από τα προβλήματα της χιλιετίας του Clay Mathematics Institute.

Η συνάρτηση ζήτα του Ρίμαν ζ(s) είναι μια συνάρτηση της οποίας το όρισμα s μπορεί να είναι οποιοσδήποτε μιγαδικός αριθμός εκτός του 1, και της οποίας οι τιμές είναι επίσης μιγαδικοί. Έχει ρίζες τους αρνητικούς άρτιους αριθμούς; για τους οποίους ζ(s) = 0, όταν το s είναι ένας από τους -2, -4, -6, .... Αυτές ονομάζονται τετριμμένες ρίζες. Ωστόσο, ακόμη και οι αρνητικοί άρτιοι ακέραιοι δεν είναι οι μόνες τιμές για τις οποίες η συνάρτηση ζήτα είναι μηδέν. Οι άλλες ονομάζονται μη-τετριμμένες ρίζες. Η υπόθεση Ρίμαν αναφέρεται για τις θέσεις αυτών των μη τετριμμένων ριζών, και δηλώνει ότι:

Το πραγματικό μέρος κάθε μη τετριμμένης ρίζας της συνάρτησης ζήτα είναι 1/2.

Έτσι, εάν η υπόθεση είναι σωστή, όλες οι μη τετριμμένες ρίζες βρίσκονται στην κρίσιμη γραμμή που αποτελείται από τους μιγαδικούς αριθμούς 1/2 + it, όπου t είναι ένας πραγματικός αριθμός και i είναι η φανταστική μονάδα.

Υπάρχουν αρκετά μη τεχνικά βιβλία για την υπόθεση Ρίμαν, όπως Derbyshire (2003), Rockmore (2005), Sabbagh (2003), du Sautoy (2003).Τα βιβλία Edwards (1974), Patterson (1988), Borwein και άλλοι (2008) και Mazur & Stein (2014) δίνουν μαθηματικές εισαγωγές, καθώς Titchmarsh (1986), Ivić (1985) και Karatsuba & Voronin (1992) είναι προηγμένες μονογραφίες.

Συνάρτηση ζήτα του Ρίμαν

Η συνάρτηση ζήτα του Ρίμαν ορίζεται για μιγαδικούς s με πραγματικό μέρος μεγαλύτερο του 1 με απολύτως συγκλίνουσα άπειρη σειρά

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots .$

Ο Λέοναρντ Όιλερ έδειξε ότι αυτή η σειρά ισούται με το γινόμενο του Όιλερ

$\zeta (s)=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-s}}}\cdots {\frac {1}{1-p^{-s}}}\cdots$

όπου το άπειρο γινόμενο εκτείνεται σε όλους τους πρώτους αριθμούς p, και πάλι συγκλίνει για μιγαδικούς s με πραγματικό μέρος μεγαλύτερο του 1. Η σύγκλιση του γινομένου του Όιλερ δείχνει ότι η ζ(s) δεν έχει μηδενικά σε αυτή την περιοχή, όπως κανένας από τους παράγοντες δεν έχει μηδενικά.

Η υπόθεση Ρίμαν μιλά για ρίζες εκτός της περιοχής σύγκλισης αυτής της σειράς, άρα πρέπει να είναι αναλυτικά συνέχής σε όλους τους μιγαδικούς s. Αυτό μπορεί να γίνει εκφράζοντας την με όρους της συνάρτησης Dirichlet όπως ακολουθεί. Εάν το πραγματικό μέρος του s είναι μεγαλύτερο από ένα, τότε η συνάρτηση ζήτα ικανοποιεί

$\left(1-{\frac {2}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-\cdots .$

Ωστόσο, η σειρά στα δεξιά συγκλίνει όχι μόνο όταν το s είναι μεγαλύτερο της μονάδας, αλλά γενικότερα όποτε το s έχει θετικό πραγματικό μέρος. Έτσι, αυτή η εναλλακτική σειρά επεκτείνει τη συνάρτηση ζήτα από το Re(s)> 1 στο μεγαλύτερο πεδίο ορισμού Re(s)> 0, εξερώντας τις ρίζες $s=1+2\pi in/\ln(2)$ του $1-2/2^{s}$ (βλ. συνάρτηση Dirichlet). Η συνάρτηση ζήτα μπορεί να επεκταθεί σε αυτές τις τιμές, καθώς, παίρνοντας όρια, δίνοντας μια πεπερασμένη τιμή για όλες τις τιμές του s με θετικό πραγματικό μέρος, εκτός από ένα απλό πόλο στο s = 1.

Στη λωρίδα 0<Re(s)<1 η συνάρτηση ζήτα ικανοποιεί τη συναρτησιακή εξίσωση

$\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s).$

Κάποιος μπορεί στη συνέχεια να ορίσει τη ζ(s) για όλους τους υπόλοιπους μη μηδενικούς μιγαδικούς αριθμούς s υποθέτοντας ότι η εξίσωση αυτή ισχύει εκτός της λωρίδας, και αφήνοντας τη ζ(s) να ισούται με το δεξί μέρος της εξίσωσης, όποτε το s έχει μη θετικό πραγματικό μέρος. Αν το s είναι ένας αρνητικός ακέραιος ζυγός, τότε ζ(s) = 0, επειδή ο παράγοντας sin(πs/2) εξαφανίζεται; αυτές είναι οι τετριμμένες ρίζες της συνάρτησης ζήτα. (Αν s είναι ένας θετικός ζυγός ακέραιος, αυτό το όρισμα δεν εφαρμόζει γιατί οι ρίζες του sin ακυρώνονται από τους πόλους της συνάρτησης γάμμα, καθώς παίρνει ορίσματα αρνητικούς ακεραίους.) Η τιμή ζ(0) = −1/2 δεν καθορίζεται από τη συναρτησιακή εξίσωση, αλλά είναι η οριακή τιμή της ζ(s) αφού το s πλησιάζει το μηδέν. Η συναρτησιακή εξίσωση συνεπάγεται επίσης ότι η συνάρτηση ζήτα δεν έχει άλλες ρίζες με αρνητικό πραγματικό μέρος εκτός από τις τετριμμένες ρίζες, άρα όλες οι μη τετριμμένες ρίζες βρίσκονται στην κρίσιμη λωρίδα όπου το s έχει πραγματικό μέρος μεταξύ 0 και 1.

Ιστορία

"…es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien."

"…είναι πολύ πιθανό ότι όλες οι ρίζες είναι πραγματικές. Φυσικά κάποιος θα ήθελε μια αυστηρή απόδειξη εδώ; Έχω προς το παρόν, μετά από κάποιες φευγαλέες μάταιες απόπειρες, προσωρινά βάλει στην άκρη την αναζήτηση για αυτό, καθώς φαίνεται περιττή για τον επόμενο στόχο της έρευνας μου."

Δήλωση του Ρίμαν για την υπόθεση Ρίμαν, από (Ρίμαν 1859). (Μιλούσε για μια έκδοση της συνάρτησης ζήτα, τροποποιημένη έτσι ώστε οι ρίζες της να είναι πραγματικοί παρά πάνω στην κρίσιμη γραμμή.)

Στην εφημερίδα του 1859 On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude ο Ρίμαν βρήκε ένα αναλυτικό τύπο για τον αριθμό των πρώτων π(x) λιγότερο από ένα δοσμένο αριθμό x. Ο τύπος του δινόταν από από όρους της σχετικής συνάρτησης

${\begin{aligned}\Pi (x)&=\pi (x)+{\tfrac {1}{2}}\pi (x^{\frac {1}{2}})+{\tfrac {1}{3}}\pi (x^{\frac {1}{3}})+{\tfrac {1}{4}}\pi (x^{\frac {1}{4}})\\&\ \ \ \ +{\tfrac {1}{5}}\pi (x^{\frac {1}{5}})+{\tfrac {1}{6}}\pi (x^{\frac {1}{6}})+\cdots \end{aligned}}$

η οποία μετρά τους πρώτους και τις πρώτες δυνάμεις μέχρι το x, μετρώντας μια πρώτη δύναμη pⁿ σαν 1/n ενός πρώτου. Το πλήθος των πρώτων μπορεί να ανακτηθεί από αυτή τη συνάρτηση από

${\begin{aligned}\pi (x)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\Pi (x^{\frac {1}{n}})\\&=\Pi (x)-{\frac {1}{2}}\Pi (x^{\frac {1}{2}})-{\frac {1}{3}}\Pi (x^{\frac {1}{3}})-{\frac {1}{5}}\Pi (x^{\frac {1}{5}})\\&\ \ \ \ +{\frac {1}{6}}\Pi (x^{\frac {1}{6}})-\cdots ,\end{aligned}}$

όπου μ είναι η συνάρτηση του Möbius. Ο τύπος του Ρίμαν γίνεται ακολούθως

${\begin{aligned}\Pi _{0}(x)&=\operatorname {Li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {Li} (x^{\rho })-\log(2)\\&\ \ \ \ +\int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{t(t^{2}-1)\log(t)}}\end{aligned}}$

όπου το άθροισμα είναι μεγαλύτερο των μη τετριμμένων ρίζών της συνάρτησης ζήτα και όπου Π₀ είναι μια ελαφρώς τροποποιημένη εκδοχή της Π, η οποία αντικαθιστά τη τιμή της στα σημεία ασυνέχειας της με το μέσο όρο των άνω και κάτω ορίων της:

$\Pi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\Pi (x-\varepsilon )+\Pi (x+\varepsilon )}{2}}.$

Η άθροιση στον τύπο του Ρίμαν δεν είναι απολύτως συγκλίνουσα, αλλά μπορεί να εκτιμηθεί παίρνοντας τις ρίζες ρ με σειρά βάση της απόλυτης τιμής του φανταστικού τους μέρους. Η συνάρτηση Li που προκύπτει στον πρώτο όρο είναι η (μη αντισταθμίσιμη) λογαριθμική συνάρτηση ολοκληρώματος που δίνεται από την κύρια τιμή Cauchy του αποκλίνονοντος ολοκληρώματος

$\operatorname {Li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\log(t)}}.$

Οι όροι Li(x^ρ) που αφορούν τις ρίζες της συνάρτησης ζήτα χρειάζονται κάποια προσοχή στον ορισμό τους καθώς η Li έχει σημεία διακλάδωσης στο 0 και 1, και ορίζονται (για x > 1) με αναλυτική συνέχεια στη μιγαδική μεταβλητή ρ μέσα στην περιοχή Re(ρ) > 0, δηλαδή θα πρέπει να θεωρούνται ως Ei(ρ ln x). Οι άλλοι όροι αντιστοιχούν επίσης σε ρίζες: ο κυρίαρχος όρος Li(x) προέρχεται από το πόλο στο s = 1, θεωρούμενος ως μια ρίζα πολλαπλότητας -1, και οι υπόλοιποι μικροί όροι προέρχονται από τις τετριμμένες ρίζες. Για κάποιες γραφικές παραστάσεις των αθροισμάτων των πρώτων μερικών όρων της σειράς αυτής βλ. Riesel & Göhl (1970) ή Zagier (1977).

Αυτός ο τύπος λέει ότι οι ρίζες της συνάρτησης ζήτα του Ρίμαν ελέγχουν τις ταλαντώσεις των πρώτων γύρω από τις "αναμενόμενες" θέσεις τους. Ο Ρίμαν γνώριζε ότι οι μη τετριμμένες ρίζες της συνάρτησης ζήτα ήταν συμμετρικά κατανεμημένες γύρω από τη γραμμή s = 1/2 + it, και ήξερε ότι όλες της οι μη τετριμμένες ρίζες της πρέπει να βρίσκονται στην περιοχή 0 ≤ Re(s) ≤ 1. Έλεγξε ότι μερικές από τις ρίζες βρίσκονται πάνω στην κρίσιμη γραμμή με πραγματικό μέρος 1/2 και ισχυρίστηκε ότι όλες κάνουν; αυτή είναι η υπόθεση Ρίμαν.

Συνέπειες της υπόθεσης Ρίμαν

Οι πρακτικές χρήσεις της υπόθεσης του Ρίμαν περιλαμβάνουν πολλές δηλώσεις γνωστές σωστά κάτω από την υπόθεση Ρίμαν, και μερικές οι οποίες μπορούν να αποδειχθούν ισοδύναμες με την υπόθεση Ρίμαν.

Κατανομή των πρώτων αριθμών

Ο αναλυτικός τύπος Ρίμαν για τον αριθμό των πρώτων μικρότερο από ένα δοσμένο αριθμό σε όρους ενός αθροίσματος πέρα των ριζών της συνάρτησης ζήτα του Ρίμαν λέει ότι το μέγεθος των ταλαντώσεων των πρώτων γύρω από την αναμενόμενη τους θέση ελέγχεται από τα πραγματικά μέρη των ριζών της συνάρτησης ζήτα. Ειδικότερα ο όρος σφάλματος στο θεώρημα πρώτων αριθμών είναι στενά συνδεδεμένος με τη θέση των ριζών: για παράδειγμα, το ελάχιστο ανω φράγμα των πραγματικών μερών των ριζών είναι το μέγιστο κάτω φράγμα των αριθμών β των οποίων το σφάλμα είναι O(x^β)(Ingham 1932).

Ο Von Koch (1901) απέδειξε ότι η υπόθεση Ρίμαν είναι ισοδύναμη με το «καλύτερο δυνατό» φράγμα για το σφάλμα του Θεωρήματος πρώτων αριθμών.

Μια ακριβής έκδοση του αποτελέσματος του Κοχ, εξαιτίας του Schoenfeld (1976), λέει ότι η υπόθεση Ρίμαν είναι ισοδύναμη με

$|\pi (x)-\operatorname {Li} (x)|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\log(x),\qquad {\text{for all }}x\geq 2657.$

Ο Schoenfeld (1976) έδειξε επίσης ότι η υπόθεση Ρίμαν είναι ισοδύναμη με

$|\psi (x)-x|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\log ^{2}(x),\qquad {\text{for all }}x\geq 73.2,$

όπου ψ(x) είναι η δεύτερη συνάρτηση του Chebyshev.

Η ανάπτυξη των αριθμητικών συναρτήσεων

Η υπόθεση Ρίμαν συνεπάγεται ισχυρά φράγματα σχετικά με την ανάπτυξη πολλών άλλων αριθμητικών συναρτήσεων, πέραν των πρώτων αριθμών καταμετρώντας συνάρτηση παραπάνω.

Ένα παράδειγμα αφορά τη συνάρτηση του Möbius μ. Η δήλωση ότι η εξίσωση

${\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}$

είναι έγκυρη για κάθε s με πραγματικό μέρος μεγαλύτερο του 1/2, με το άθροισμα στη δεξιά πλευρά να συγκλίνει, είναι ισοδύναμη με την υπόθεση Ρίμαν. Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε επίσης ότι αν η συνάρτηση του Mertens ορίζεται από

$M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)$

τότε ο ισχυρισμός ότι

$M(x)=O(x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon })$

για κάθε θετικό ε είναι ισοδύναμη με την υπόθεση Ρίμαν (J.E. Littlewood, 1912; βλέπε για παράδειγμα: σημείο 14.25 σε Titchmarsh (1986)). (Για την ερμηνία των συμβόλων αυτών, βλέπε Big Ο notation.) Η ορίζουσα της τάξης n πίνακα Redheffer είναι ίση με M(n), άρα η υπόθεση Ρίμαν μπορεί επίσης να αναφέρεται ως προϋπόθεση για την ανάπτυξη αυτών των καθοριστικών παραγόντων. Η υπόθεση Ρίμαν βάζει ένα μάλλον αυστηρό φράγμα στην ανάπτυξη του M, από τότε που ο Odlyzko & te Riele (1985) διέψευσε τις ελαφρώς ισχυρότερες εικασίες του Mertens.

$|M(x)|\leq {\sqrt {x}}.$

Η υπόθεση Ρίμαν είναι ισοδύναμη με πολλές άλλες εικασίες σχετικά με το ρυθμό αύξησης άλλων αριθμητικών συναρτήσεων εκτός από τη μ(n). Ένα τυπικό παράδειγμα είναι το θεώρημα του Robin (Robin 1984), το οποίο ορίζει ότι αν σ(n) είναι η διαιρεταία συνάρτηση, που δίνεται από

$\sigma (n)=\sum _{d\mid n}d$

τότε

$\sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n$

για όλους τους n > 5040 αν και μόνο αν η υπόθεση Ρίμαν είναι αληθής, όπου γ είναι η σταθερά του Οιλερ-Mascheroni.

Ένα άλλο παράδειγμα βρέθηκε από τον Jérôme Franel, και παρατάθηκε από τον Landau (βλ. Franel & Landau (1924)). Η υπόθεση Ρίμαν είναι ισοδύναμη με διάφορες δηλώσεις που δείχνουν ότι οι όροι της ακολουθίας Farey είναι αρκετά ομαλοί. Μια τέτοια ισοδυναμία έχει ως εξής: αν F_n είναι η Farey ακολουθία τάξης n, αρχίζοντας με 1/n και μέχρι το 1 / 1, τότε ο ισχυρισμός ότι για όλα τα ε> 0

$\sum _{i=1}^{m}|F_{n}(i)-{\tfrac {i}{m}}|=O(n^{{\frac {1}{2}}+\epsilon })$

είναι ισοδύναμο με την υπόθεση Ρίμαν. Εδώ

$m=\sum _{i=1}^{n}\phi (i)$

είναι ο αριθμός των όρων της ακολουθίας Farey τάξης n.

Για παράδειγμα από τη θεωρία ομάδων, αν g(n) είναι η συνάρτηση Λαντάου που δίνεται από τη μέγιστη σειρά των στοιχείων της συμμετρικής ομάδας S _n βαθμού n, τότε το Massias, Nicolas & Robin (1988) έδειξε ότι η υπόθεση Ρίμαν είναι ισοδύναμη με το φράγμα

$\log g(n)<{\sqrt {\operatorname {Li} ^{-1}(n)}}$

για όλα τα αρκετά μεγάλα n.

Η υπόθεση Lindelöf και η ανάπτυξη της συνάρτησης ζήτα

Η υπόθεση Ρίμαν έχει διάφορες ασθενέστερες συνέπειες, επίσης; μια είναι η υπόθεση Lindelöf για το ρυθμό ανάπτυξης της συνάρτησης ζήτα στην κρίσιμη γραμμή, η οποία λέει ότι, για κάθε ε > 0,

$\zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)=O(t^{\varepsilon }),$

καθώς το t → ∞.

Η υπόθεση Ρίμαν συνεπάγεται επίσης αρκετά αυστηρά φράγματα για το ρυθμό ανάπτυξης της συνάρτησης ζήτα σε άλλες περιοχές της κρίσιμης λωρίδας. Για παράδειγμα, αυτό σημαίνει ότι

$e^{\gamma }\leq \limsup _{t\rightarrow +\infty }{\frac {|\zeta (1+it)|}{\log \log t}}\leq 2e^{\gamma }$

${\frac {6}{\pi ^{2}}}e^{\gamma }\leq \limsup _{t\rightarrow +\infty }{\frac {1/|\zeta (1+it)|}{\log \log t}}\leq {\frac {12}{\pi ^{2}}}e^{\gamma }$

άρα ο ρυθμός ανάπτυξης της ζ(1+it) και της αντίστροφης της θα είναι γνωστά μέχρι ένα παράγοντα 2(Titchmarsh 1986).

Εικασία των μεγάλων κενών μεταξύ των πρώτων

Το θεώρημα πρώτων αριθμών συνεπάγεται ότι, κατά μέσο όρο, το κενό μεταξύ του πρώτου p και του επόμενου διαδοχικού του είναι log p. Ωστόσο, κάποια κενά μεταξύ των πρώτων αριθμών μπορεί να είναι πολύ μεγαλύτερα από το μέσο όρο. Ο Κράμερ απέδειξε ότι, αν υποτεθεί η υπόθεση Ρίμαν, κάθε κενό είναι O(√p log p). Αυτή είναι μια περίπτωση κατά την οποία ακόμη και το καλύτερο φράγμα που μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας την υπόθεση Ρίμαν είναι πολύ ασθενέστερο από το τι φαίνεται αληθινό: Η εικασία του Κράμερ λέει ότι κάθε κενό είναι O((log p)²), το οποίο, καθώς μεγαλύτερο από το μέσο κενό, είναι πολύ μικρότερο από το φράγμα που συνάγεται από την υπόθεση Ρίμαν. Αριθμητικές αποδείξεις υποστηρίζουν την εικασία του Κράμερ (Nicely 1999).

Κριτήρια ισοδύναμα της υπόθεσης Ρίμαν

Πολλές καταστάσεις ισοδύναμες με την υπόθεση Ρίμαν έχουν βρεθεί, αν και μέχρι στιγμής καμιά από αυτές δεν έχει οδηγήσει σε σημαντική πρόοδο στην απόδειξη της(ή στην αναίρεση της). Μερικά τυπικά παραδείγματα είναι όπως ακολουθεί. (Άλλοι περιλαμβάνουν τη διαιρεταία συνάρτηση σ(n).)

Το κριτήριο Riesz δόθηκε από τον Riesz (1916), σύμφωνα με το οποίο το φράγμα

$-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{(k-1)!\zeta (2k)}}=O\left(x^{{\frac {1}{4}}+\epsilon }\right)$

ισχύει για όλα τα ε > 0 αν και μόνο αν η υπόθεση Ρίμαν ισχύει.

Ο Nyman (1950) απέδειξε ότι η υπόθεση Ρίμαν είναι αληθής αν και μόνο αν ο χώρος των συναρτήσεων της μορφής

$f(x)=\sum _{\nu =1}^{n}c_{\nu }\rho \left({\frac {\theta _{\nu }}{x}}\right)$

όπου ρ(z) είναι το κλασματικό μέρος του z, 0 ≤ θ_ν ≤ 1, και

$\sum _{\nu =1}^{n}c_{\nu }\theta _{\nu }=0$,

είναι πυκνό στο χώρο Hilbert L²(0,1) των τετραγωνικών ολοκληρώσιμων συναρτήσεων στο διάστημα της μονάδας. Ο Beurling (1955) το επέκτεινε αυτό, δείχνοντας ότι η συνάρτηση ζήτα δεν έχει ρίζες με πραγματικό μέρος μεγαλύτερο του 1/p αν και μόνο αν αυτός ο συναρτησιακός χώρος είναι πυκνός στο L^p(0,1)

Ο Σάλεμ (1953) έδειξε ότι η υπόθεση Ρίμαν είναι αληθής αν και μόνο αν η ολοκληρωτική εξίσωση

$\int _{0}^{\infty }{\frac {z^{-\sigma -1}\phi (z)\,dz}{{e^{x/z}}+1}}=0$

έχει μη τετριμένες φραγμένες λύσεις $\phi$ για $1/2<\sigma <1$.

Το Κριτήριο του Weil είναι η δήλωση ότι η θετικότητα μιας ορισμένης συνάρτησης είναι ισοδύναμη με την υπόθεση Ρίμαν. Σχετικό είναι το κριτήριο του Λι, μια δήλωση ότι η θετικότητα μιας συγκεκριμένης ακολουθίας αριθμών είναι ισοδύναμη με την υπόθεση Ρίμαν.

Ο Speiser (1934) απέδειξε ότι η υπόθεση Ρίμαν είναι ισοδύναμη με τη δήλωση ότι η $\zeta '(s)$, η παράγωγος της ζ(s), δεν έχει ρίζες μέσα στη λωρίδα

$0<\Re (s)<{\frac {1}{2}}.$

Το ότι το ζ έχει μόνο απλές ρίζες πάνω στην κρίσιμη γραμμή είναι ισοδύναμο με την παράγωγο του που δεν έχει ρίζες στην κρίσιμη γραμμή.

Συνέπειες της γενικευμένης υπόθεσης Ρίμαν

Πολλές εφαρμογές χρησιμοποιούν τη γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν για σειρές Dirichlet ή συνατήσεις ζήτα αριθμιτικών πεδίων παρά απλώς την υπόθεση Ρίμαν. Πολλές βασικές ιδιότητες της συνάρτησης ζήτα μπορούν εύκολα να γενικευθούν σε όλες τις σειρές Dirichlet, έτσι είναι πιθανό ότι μια μέθοδος που αποδεικνύει την υπόθεση Ρίμαν για τη συνάρτηση ζήτα του Ρίμαν θα δούλευε επίσης για την γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν για Dirichlet συναρτήσεις. Πολλά αποτελέσματα πρώτα αποδείχθηκαν χρησιμοποιώντας τη γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν δόθηκαν αργότερα άνευ όρων αποδείξεις χωρίς τη χρήση της, αν και αυτά ήταν συνήθως πολύ πιο δύσκολα. Πολλές από τις συνέπειες της παρακάτω λίστας έχουν ληφθεί από τον Conrad (2010).

• Το 1913, ο Gronwall έδειξε ότι η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν συνεπάγεται ότι η λίστα με τα φανταστικά τετραγωνικά πεδία με αριθμό κατηγορίας 1 του Γκάους είναι πλήρης, αν και οι Baker, Stark και Heegner έδωσαν αργότερα άνευ όρων αποδείξεις αυτού χωρίς τη χρήση της γενικευμένης υπόθεσης Ρίμαν.
• Το 1917, οι Hardy και Littlewood έδειξαν ότι η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν συνεπάγεται μια εικασία του Chebyshev όπου

$\lim _{x\to 1^{-}}\sum _{p>2}(-1)^{(p+1)/2}x^{p}=+\infty ,$

η οποία λέει ότι με κάποια έννοια οι πρώτοι 3 mod 4 είναι πιο συχνοί από τους πρώτους 1 mod 4.

• Το 1923 οι Hardy and Littlewood έδειξαν ότι η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν συνεπάγεται μια αδύναμη μορφή της εικασίας του Γκόλντμπαχ για μονούς αριθμούς: ότι κάθε αρκετά μεγάλος μονός αριθμός είναι το άθροισμα τριών πρώτων, αν και το 1937 ο Vinogradov έδωσε μια άνευ όρων απόδειξη. Το 1997 οι Deshouillers, Effinger, te Riele, and Zinoviev έδειξαν ότι η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν συνεπάγεται ότι κάθε μονός αριθμός μεγαλύτερος του 5 είναι το άθροισμα τριών πρώτων.
• Το 1934, ο Chowla έδειξε ότι η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν συνεπάγεται ότι ο πρώτος πρώτος αριθμός στην αριθμητική πρόοδο a mod m είναι στο μέγιστο Km²log(m)² για κάποια σταθερή σταθερά K.
• Το 1967, ο Hooley έδειξε ότι η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν συνεπάγεται την εικασία αρχικών ριζών του Αρτιν.
• Το 1973, Weinberger έδειξε ότι η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν συνεπάγεται ότι η λίστα του Όιλερ με ιδανικούς αριθμούς είναι πλήρης.
• Ο Weinberger (1973) έδειξε ότι η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν για τις συναστήσεις ζήτα όλων των αλγεβρικών αριθμητικών πεδίων συνεπάγεται ότι οποιοδήποτε αριθμητικό πεδίο κλάσης 1 είναι είτε ευκλείδειο ή ένα φανταστικό δευτεροβάθμιο αριθμητικό πεδίο με διακρίνουσα −19, −43, −67, or −163.
• Το 1976, ο G. Miller έδειξε ότι η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν συνεπάγεται ότι κάποιος μπορεί να ελέγξει αν ένας αριθμός είναι πρώτος σε πολυωνυμικό χρόνο μέσω του έλεγχου Μίλλερ. Το 2002, Manindra Agrawal, Neeraj Kayal και Nitin Saxena απέδειξαν αυτό το αποτέλεσμα ανευ όρων με τη χρήση του AKS ελέγχου προτεραιότητας.
• Ο Odlyzko (1990) ανέλυσε πως η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δώσει καθαρότερες εκτιμήσεις για διακρίνουσες και κλάσεις αριθμών αριθμητικών πεδίων.
• Ο Ono & Soundararajan (1997) έδειξε ότι η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν συνεπάγεται ότι η δευτεροβάθμια ολοκληρωτική μορφή του Ραμανούτζαν x² +y² + 10z² εκπροσωπεί όλους τους ακέραιους αριθμούς που αντιπροσωπεύει τοπικά, με ακριβώς 18 εξαιρέσεις.

Αποκλεισμένη μέση

Μερικές συνέπειες της υπόθεσης Ρίμαν είναι επίσης συνέπειες της άρνησής της, και είναι έτσι θεωρήματα. Στην ανάλυση τους από Hecke, Deuring, Mordell, θεώρημα Heilbronn, (Ιρλανδία & Rosen 1990, σελ. 359) λένε

Η μέθοδος της απόδειξης εδώ είναι πραγματικά εκπληκτική. Αν η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν είναι αληθής, τότε το θεώρημα είναι αληθές. Αν η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν είναι ψευδής, ο τότε το θεώρημα είναι αληθές. Έτσι, το θεώρημα είναι αλήθεια!!   (σημεία στίξης στο πρωτότυπο)

Προσοχή πρέπει να λαμβάνεται για να καταλάβουμε τι εννοούμε λέγοντας ότι η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν είναι ψευδής: πρέπει κανείς να προσδιορίσει επακριβώς ποια κλάση σειρών Dirichlet δίνει ένα αντιπαράδειγμα.

Θεώρημα του Littlewood

Αυτό αφορά το πρόσημο του σφάλματος στο θεώρημα πρώτων αριθμών. Έχει υπολογιστεί ότι π(x) < Li(x) για όλα τα x ≤ 10²³, και δεν είναι γνωστή καμία τιμή x για την οποία π(x) > Li(x). Δες αυτόν τον πίνακα.

Το 1914 ο Littlewood απέδειξε ότι υπάρχουν αυθαίρετα μεγάλες τιμές του x για τις οποίες

$\pi (x)>\operatorname {Li} (x)+{\frac {1}{3}}{\frac {\sqrt {x}}{\log x}}\log \log \log x,$

και επίσης ότι υπάρχουν αυθαίρετα μεγάλες τιμές του x για τις οποίες

$\pi (x)<\operatorname {Li} (x)-{\frac {1}{3}}{\frac {\sqrt {x}}{\log x}}\log \log \log x.$

Έτσι η διαφορά π(x) − Li(x) αλλάζει πρόσημο απείρως πολλές φορές. Ο αριθμός του Skewes είναι μια εκτίμηση της τιμής του x που αντιστοιχεί στην πρώτη αλλαγή προσήμου.

Η απόδειξη του Littlewood χωρίζεται σε δύο περιπτώσεις: η υπόθεση Ρίμαν θεωρείται ψευδής (περίπου μισή σελίδα του Ingham 1932, Chapt. V), και η υπόθεση Ρίμαν θεωρείται αληθής (περίπου μια ντουζίνα σελίδες).

Εικασία κλάσεων αριθμών του Γκάους

Αυτή είναι η εικασία (πρώτη φορά αναφέρθηκε στο άρθρο 303 του Γκάους Disquisitiones Arithmeticae) ότι υπάρχει μόνο ένας πεπερασμένος αριθμός φανταστικών τετραγωνικών πεδίων με συγκεκριμένο αριθμό κλάσης. Ένας τρόπος να το αποδείξουμε θα ήταν να δείξουμε ότι η διακρίνουσα D → −∞ ο αριθμός κλάσης h(D) → ∞.

Η παρακάτω ακολουθία θεωρημάτων που αφορούν την υπόθεση Ρίμαν περιγράφεται στο Ireland & Rosen 1990, σελίδες 358–361:

Θεώρημα (Hecke; 1918). Θέτουμε D < 0 να είναι η διακρίνουσα ενός φανταστικού τετραγωνικού αριθμητικού πεδίου K. Υποθέτουμε την γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν για L-συναρτήσεις όλων των φανταστικών τετραγωνικών Dirichlet χαρακτήρων. Στη συνέχεια, υπάρχει μια απόλυτη σταθερά C έτσι ώστε

$h(D)>C{\frac {\sqrt {|D|}}{\log |D|}}.$

Θεώρημα (Deuring; 1933). Αν η υπόθεση Ρίμαν είναι ψευδής τότε h(D) > 1 αν |D| είναι αρκετά μεγάλη.

Θεώρημα (Mordell; 1934). Αν η υπόθεση Ρίμαν είναι ψευδής τότε h(D) → ∞ καθώς D → −∞.

Θεώρημα (Heilbronn; 1934). Αν η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν είναι ψευδής για την L-συνάρτηση κάποιου φανταστικού τετραγωνικού Dirichlet χαρακτήρα τότε h(D) → ∞ καθώς D → −∞.

(Στη δουλειά των Hecke και Heilbronn, οι μόνες L-συναρτήσεις που προκύπτουν είναι αυτές που συνδέονται με φανταστικούς τετραγωνικούς χαρακτήρες, και είναι μόνο για αυτές τις L-συναρτήσεις για τις οποίες η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν είναι αληθής ή η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν είναι ψευδής προορίζεται; ενα λάθος στη γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν για την L-συνάρτηση ενός κυβικού χαρακτήρα Dirichlet θα σήμαινε κυριολεκτικά ότι η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν είναι ψευδής, αλλά αυτό δεν ήταν το είδος του σφάλματος της γενικευμένης υπόθεσης Ρίμαν που είχε στο μυαλό του ο Heilbronn, άρα η υπόθεση του ήταν πιο περιορισμένη από το κανονικό η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν είναι ψευδής.)

Το 1935, ο Carl Siegel αργότερα ενίσχυσε το αποτέλεσμα χωρίς τη χρήση υπόθεσης Ρίμαν ή γενικευμένης υπόθεσης Ρίμαν με οποιονδήποτε τρόπο.

Η ανάπτυξη της συνάρτησης του Όιλερ

Το 1983 ο J. L. Nicolas απέδειξε (Ribenboim 1996, σελ. 320) ότι

$\varphi (n)<e^{-\gamma }{\frac {n}{\log \log n}}$

για απείρως πολλά n, όπου φ(n) είναι η συνάρτηση του Όιλερ και γ είναι η σταθερά του Όιλερ.

Ο Ribenboim παρατηρεί ότι:

Η μέθοδος της απόδειξης είναι ενδιαφέρον, δεδομένου ότι η ανισότητα αυτή παρουσιάστηκε για πρώτη φορά με βάση την υπόθεση ότι η υπόθεση Riemann είναι αλήθής, δεύτερον υπό την αντίθετη υπόθεση.

Γενικεύσεις και ανάλογα της υπόθεσης Ρίμαν

L-σειρές του Dirichlet και άλλα αριθμητικά πεδία

Η υπόθεση Ρίμαν μπορεί να γενικευθεί αντικαθιστώντας την συνάρτηση ζήτα με την επίσημη παρόμοια, αλλά πολύ πιο γενική, παγκόσμιες L-συναρτήσεις. Στο ευρύτερο αυτό πλαίσιο, περιμένει κανείς οι μη τετριμμένες ρίζες των παγκόσμιων L-συναρτήσεων να έχουν πραγματικό μέρος 1/2. Είναι αυτές οι εικασίες, παρά την κλασική υπόθεση Ρίμαν μόνο για την απλή συνάρτηση ζήτα του Ρίμαν, οι οποίες αντιπροσωπεύουν την πραγματική σημασία της υπόθεσης Ρίμαν στα μαθηματικά.

Η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν επεκτείνει την υπόθεση Ρίμαν σε όλες τις L-συναρτήσεις Dirichlet. Ειδικότερα, αυτό συνεπάγεται την εικασία ότι οι ρίζες Siegel (ρίζες των L-συναρτήσεων μεταξύ 1/2 και 1) δεν υπάρχουν.

Η επεκτεταμένη υπόθεση Ρίμαν επεκτείνει την υπόθεση Ρίμαν σε όλες τις Dedekind ζήτα συναρτήσεις των αλγεβρικών αριθμητικών πεδίων. Η επεκτεταμένη υπόθεση Ρίμαν για αβελιανή επέκταση των ρητών είναι ισοδύναμη με την γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν. Η υπόθεση Ρίμαν μπορεί επίσης να επεκταθεί στις L-συναρτήσεις των χαρακτήρων Hecke αριθμητικών πεδίων.

Η μεγαλιώδης υπόθεση Ρίμαν την επεκτείνει σε όλες τις αυτομορφικές συναρτήσεις ζήτα, όπως είναι ο μετασχηματισμός του Mellin των ιδιομορφών Hecke.

Πεδία συναρτήσεων και συναρτήσεις ζήτα με πολλαπλοτήτες πέρα των πεπερασμένων πεδίων

Ο Αρτιν (1924) εισήγαγε τις παγκόσμιες συναρτήσεις ζήτα των (δευτεροβάθμιων) πεδίων συναρτήσεων και εικάστηκε ένα ανάλογο της υπόθεσης Ρίμαν για αυτούς, το οποίο είχε αποδειχθεί από τον Hasse της περίπτωσης γένους 1 και από τον Weil (1948) γενικότερα. Για παράδειγμα, το γεγονός ότι το άθροισμα Γκάους, του δευτεροβάθμιου χαρακτήρα ενός πεπερασμένου πεδίου μεγέθους q (με τον q περιττό), έχει απόλυτη τιμή

${\sqrt {q}}$

είναι πραγματικά ένα παράδειγμα της υπόθεσης Ρίμαν στη ρύθμιση του πεδίου συνάρτησης. Αυτό οδήγησε τον Weil (1949) να εικάσει μια παρόμοια δήλωση για όλες τις αλγεβρικές πολλαπλότητες; οι αποτελεσματικές εικασίες του Weil είχαν αποδειχθεί από τον Pierre Deligne (1974, 1980).

Αριθμητικές συναρτήσεις ζήτα αριθμητικών διατάξεων και των L-παραγόντων τους

Οι αριθμητικές συναρτήσεις ζήτα γενικεύουν τις Ρίμαν και Dedekind ζήτα συναρτήσεις καθώς και οι ζήτα συναρτήσεις με πολλαπλότητες πέρα των πεπερασμένων πεδίων σε κάθε αριθμητική διάταξη ή μια δίαταξη πεπερασμένου τύπου πάνω στους ακέραιους. Η αριθμητική συναρτηση ζήτα μιας ομαλής συνδεδεμένης ισοδιάστατης αριθμητικής δίαταξης της διάστασης του Κρόνεκερ n μπορεί να παραγοντοποιηθεί σε γινόμενο κατάλληλα ορισμένων L-συναρτήσεων και ενός βοηθητικού παράγοντα Ζαν-Πιερ Σερ (1970). Υποθέτοντας μια συναρτησιακή εξίσωση και μερομορφική συνέχεια, η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν για τον L-παράγοντα αναφέρει ότι οι ρίζες της μέσα στην κρίσιμη λωρίδα $\Re (s)\in (0,n)$ βρίσκονται πάνω στην κεντρική γραμμή. Αντίστοιχα, η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν για την αριθμητική ζήτα συνάρτηση μιας ομαλής συνδεδεμένης ισοδιάστατης αριθμητικής δίαταξης δηλώνει ότι οι ρίζες τησ μέσα στην κρίσιμη λωρίδα βρίσκονται πάνω στις κάθετες γραμμές $\Re (s)=1/2,3/2,\dots ,n-1/2$ και οι πόλοι της μέσα στην κρίσιμη λωρίδα βρίσκονται πάνω σε κάθετες γραμμές $\Re (s)=1,2,\dots ,n-1$. Αυτό είναι γνωστό για διατάξεις σε θετική χαρακτηριστική και ακολουθεί από τον Pierre Deligne (1974, 1980), αλλά παραμένει εντελώς άγνωστη στη χαρακτηριστική μηδέν.

Συναρτήσεις ζήτα Selberg

Ο Selberg (1956) εισήγαγε τις συναρτήσεις ζήτα Selberg μιας επιφάνειας Ρίμαν. Αυτές είναι παρόμοιες με τη συνάρτηση ζήτα του Ρίμαν: έχουν μια συναρτησιακή εξίσωση, και ένα άπειρο γινόμενο παρόμοιο με το γινόμενο Όιλερ, αλλά παρμένο από κλειστές γεωδαισιακές παρά πρώτες. Ο τύπος ίχνους του Selberg είναι ο ανάλογος για τέτοιες συναρτήσεις των αναλυτικών τύπων στη θεωρία πρώτων αριθμών. Ο Selberg απέδειξε ότι οι συναρτήσεις ζήτα Selberg ικανοποιούν το ανάλογο της υπόθεσης Ρίμαν, με τα φανταστικά μέρη των ριζών τους να σχετίζονται με τις ιδιοτιμές του τελεστή Λαπλάς της επιφάνειας Ρίμαν.

Συναρτήσεις ζήτα Ihara

Η συνάρτηση ζήτα Ihara ενός πεπερασμένου γραφήματος είναι μια ανάλογη της συνάρτησης ζήτα Selberg που εισάχθηκε από τον Yasutaka Ihara. Ένα ομαλό πεπερασμένο γράφημα είναι ενα γράφημα Ραμανούτζαν, ένα μαθηματικό μοντέλο αποτελεσματικών δικτύων επικοινωνίας, αν και μόνο αν η συνάρτηση του ζήτα Ihara ικανοποιεί την αναλογία της υπόθεσης Ρίμαν, όπως τονίστηκε από τον T. Sunada.

Εικασία ζεύγους συσχέτισης του Montgomery

Ο Montgomery (1973) πρότεινε την εικασία ζεύγους συσχέτισης την οποία οι συσχετισμένες συναρτήσεις των (κατάλληλα κανονικοποιημένων) ριζών της συνάρτησης ζήτα πρέπει να είναι οι ίδιες με αυτές των ιδιοτιμών ενός τυχαίου ερμιτιανού πίνακα. Ο Odlyzko (1987) έδειξε ότι αυτό υποστηρίζεται από μεγάλης κλίμακας αριθμητικούς υπολογισμούς αυτών των συναρτήσεων συσχέτισης.

Ο Montgomery έδειξε ότι (υποθέτοντας την υπόθεση Ρίμαν) τουλάχιστον τα 2/3 όλων των ριζών είναι απλές, και μια σχετική εικασία είναι ότι όλες οι ρίζες της συνάρτησης ζήτα είναι απλές (ή γενικότερα δεν έχουν μη τετριμμένες ακέραιες γραμμικές σχέσεις μεταξύ των φανταστικών μέρών τους). Οι συναρτήσεις ζήτα Dedekind όλων των αλγεβρικών αριθμητικών πεδίων, οι οποίες γενικεύουν την συνάρτηση ζήτα του Ρίμαν, συχνά έχουν πολλαπλές μιγαδικές ρίζες. Αυτό γιατί οι συναρτήσεις ζήτα Dedekind παραγοντοποιούνται σαν ένα γινόμενο δυνάμεων των L-συναρτήσεων του Αρτιν, άρα οι ρίζες των L-συναρτήσεων του Αρτιν μερικές φορές οδηγηγούν σε πολλαπλές ρίζες των ζήτα συναρτήσεων Dedekind. Άλλα παραδείγματα ζήτα συναρτήσεων με πολλαπλές ρίζες είναι οι L-συναρτήσεις κάποιων ελλειπτικών καμπυλών: αυτές μπορούν να έχουν πολλαπλές ρίζες στο πραγματικό της κρίσιμης γραμμής τους; Η εικασία του Birch-Swinnerton-Dyer προβλέπει ότι η πολλαπλότητα αυτής της ρίζας είναι η τάξη της ελλειπτικής καμπύλης.

Άλλες συναρτήσεις ζήτα

Υπάρχουν πολλά άλλα παραδείγματα συναρτήσεων ζήτα με αναλογίες της υπόθεσης Ρίμαν, κάποιες από τις οποίες έχουν αποδειχθεί. Οι συναρτήσεις ζήτα Goss των πεδίων συναρτήσεων έχουν μια υπόθεση Ρίμαν, που αποδείχθηκε από τον Sheats (1998). [[Κύρια εικασία της θεωρίας του Iwasawa]|Η κύρια εικασία]] της θεωρίας του Iwasawa, αποδείχθηκε από τους Barry Mazur και Andrew Wiles για κυκλοτομικά πεδία, και από τον Wiles για ολοκληρωμένα πραγματικά πεδία, προσδιορίζει τις ρίζες μιας p-αδικης L-συνάρτησης με τις ιδιοτιμές ενός τελεστή, ώστε να μπορεί να θεωρηθεί ως ανάλογη της εικασίας του Χίλμπερτ–Pólya για ''p''-αδικες ''L''-συναρτήσεις (Wiles 2000).

Προσπάθειες για την απόδειξη της υπόθεσης Ρίμαν

Αρκετοί μαθηματικοί ασχολήθηκαν την υπόθεση του Ρίμαν, αλλά καμία από τις προσπάθειές τους δεν είχαν γίνει ακόμη δεκτές ως σωστές λύσεις. Ο Γουότκινγκς (2007) παραθέτει μερικές λανθασμένες λύσεις, και πολλά άλλα είναι ανακοινώθηκαν συχνά.

Θεωρία Τελεστή

Οι Χίλμπερτ και Polya ισχυρίστηκαν ότι ένας τρόπος για να ολοκληρωθεί η υπόθεση του Riemann θα ήταν να βρεθεί ένας αυτοσυζυγής τελεστής, fαυτό- συζυγής τελεστής, από την ύπαρξη του οποίου θα συνεπαγόταν η δήλωση των πραγματικών μερών των μηδενικών σημείων των ζ(s), όταν θα εφαρμοζόταν το κριτήριο των πραγματικών ιδιοτιμών. Ορισμένα επιχειρήματα υπέρ της εν λόγω υπόθεσης προκύπτουν από τις διάφορες αναλογίες των συναρτήσεων ζ του Riemann, των οποίων οι μηδενικές τιμές αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές του ίδιου τελεστή: οι μηδενικές της συνάρτησης ζ της πολλαπλότητας ενός πεπερασμένου πεδίου αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές ενός στοιχείου του Frobenius για μια ομάδα συνομολογίας, τις μηδενικές τιμές της συνάρτησης ζ Selberg είναι οι ιδιοτιμές ενός Τελεστής Λαπλάς για μία επιφάνεια του Ρίμαν, και οι μηδενικές τιμές μίας p-adic συνάρτησης ζήτα αντιστοιχούν στα ιδιοδιανύσματα μίας δράσης Galois σε ιδανικές ομάδες.

Ο Odlyzko (1987) έδειξε ότι η κατανομή των μηδενικών τιμών της συνάρτησης ζ του Reimann παρουσιάζει κοινές στατιστικές ιδιότητες με τις ιδιοτιμές των τυχαίων πλεγμάτων που προκύπτουν από το Γκαουσιανό μοναδιαίο σύνολο. . Το στοιχείο αυτό υποστηρίζουν οι Χίλμπερτ – Polya.

Το 1999, ο Μάικλ Μπέρυ και ο Jon Keating υποστήριξαν ότι υπάρχει μία άγνωστη ποσοτικοποίηση του ${\hat {H}}$ από την κλασική Hamiltonian H = xp έτσι ώστε

$\zeta (1/2+i{\hat {H}})=0$

και ακόμη πιο έντονα, ότι οι μηδενικές τιμές του Reimann να είναι κοινές στο φάσμα του τελεστή $1/2+i{\hat {H}}$. Το παραπάνω έρχεται σε αντίθεση με την κανονική ποσοτικοποίηση, γεγονός που οδηγεί στην αρχή αβεβαιότητας του Heisenberg $[x,p]=1/2$ και τους φυσικούς αριθμούς ως φάσμα για τον κβαντικό αρμονικό ταλαντωτή. Το κρίσιμο σημείο είναι ότι ο Hamiltonian θα πρέπει να είναι ένας αυτό-συζυγής τελεστής, έτσι ώστε η ποσοτικοποίηση θα ήταν η υλοποίηση του προγράμματος των Χίλπμερτ–Polya. Αναφορικά με αυτό το ποσοτικό μηχανικό πρόβλημα, οι Μπέρυ–Connes ισχυρίστηκαν ότι το αντίστροφο δυναμικό του Hamiltonian συνδέεται με τη μισή - παράγωγο της συνάρτησης,

$N(s)={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Arg} \xi (1/2+i{\sqrt {s}})$

σύμφωνα με τη μέθοδο των Berry – Connes

$V^{-1}(x)={\sqrt {4\pi }}{\frac {d^{1/2}N(x)}{dx^{1/2}}}$

(Connes 1999). Αυτό οδηγεί σε έναν Hamiltonian, του οποίου οι ιδιοτιμές είναι το τετράγωνο του φανταστικού μέρους των μηδενικών τιμών του Ρίμαν και, επίσης, η συναρτησιακή ορίζουσα του Hamiltonian τελεστή είναι απλώς η συνάρτηση Xi του Ρίμαν. Στην πραγματικότητα η συνάρτηση Xi του Reimann θα μπορούσε να είναι ανάλογη στη συναρτησιακή ορίζουσα (παράγωγο Hadamard)

$\det(H+1/4+s(s-1))$

όπως αποδείχθηκε από τον Connes και άλλους.

${\frac {\xi (s)}{\xi (0)}}={\frac {\det(H+s(s-1)+1/4)}{\det(H+1/4)}}.$

Η αναλογία στην υπόθεση του Riemann για τα πεπερασμένα πεδία υποδεικνύει ότι το πεδίο Hilbert, το οποίο περιέχει τις ιδιοτιμές και αντιστοιχεί στις μηδενικές τιμές μπορεί να είναι ένα είδος ομάδας συνομολογίας του φάσματος Spec(Z) των ακέραιων. Ο Deninger (1998) παρουσίασε ορισμένες προσπάθειες που έγιναν μέχρις ότου διατυπωθεί η θεωρία συνομολογίας (Leichtnam 2005).

Ο Zagier (1983) κατασκεύασε ένα φυσικό πεδίο αναλλοίωτων συναρτήσεων του άνω μισού επιπέδου το οποίο έχει ιδιοδιανύσματα υπό τον τελεστή Laplacian, το οποίο αντιστοιχεί στις μηδενικές τιμές της συνάρτησης ζ του Ρίμαν – και σημείωσε ότι στη σπάνια περίπτωση που θα μπορούσε κάποιος να αποδείξει την ύπαρξη ενός κατάλληλου θετικού ορισμένου εσωτερικού γινομένου σε αυτό το πεδίο, θα μπορούσε να ακολουθήσει η υπόθεση του Ρίμαν. Ο Cartier (1982) ανέλυσε ένα παρόμοιο παράδειγμα, όπου εξαιτίας ενός περίεργου ιού, ένα ηλεκτρονικό πρόγραμμα κατηγοριοποίησε τις μηδενικές τιμές της ζήτα συνάρτησης του Ρίμαν ως ιδιοτιμές του ίδιου Λαπλασιανού τελεστή .

Οι Schumayer & Hutchinson (2011) μελέτησαν τις προσπάθειες που έγιναν για να κατασκευαστεί ένα κατάλληλο φυσικό μοντέλο που να σχετίζεται με τη συνάρτηση ζ του Ρίμαν.

Θεώρημα του Lee-Yang

Το Θεώρημα του Lee-Yang αναφέρει ότι τα μηδενικά της συγκεκριμένης συνάρτησης επιμερισμού στη στατιστική μηχανική βρίσκονται όλα σε μια "κρίσιμη γραμμή" με το πραγματικό μέρος 0, και αυτό έχει οδηγήσει σε κάποια υπόθεση για μια σχέση με την υπόθεση Ρίμαν (Knauf 1999).

Αποτέλεσμα του Turán

Ο Πολ Τουράν (1948) έδειξε ότι αν οι συναρτήσεις

$\sum _{n=1}^{N}n^{-s}$

δεν έχουν μηδενικά, όταν το πραγματικό μέρος του s είναι μεγαλύτερο από ένα τότε

$T(x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\lambda (n)}{n}}\geq 0{\text{ for }}x>0,$

όπου λ(n) είναι η συνάρτηση Liouville που δίνεται από (-1)^r, αν ο n έχει r πρώτους παράγοντες. Έδειξε ότι αυτό με τη σειρά του θα σήμαινε ότι η υπόθεση Ρίμαν είναι αλήθεια. Ωστόσο Haselgrove (1958) απέδειξε ότι η Τ(Χ) είναι αρνητική για απείρως πολλά Χ (και επίσης διέψευσε τη στενά συνδεδεμένη εικασία της Pólya), και Borwein, Ferguson & Mossinghoff (2008) έδειξε ότι τα μικρότερα τέτοια x είναι 72185376951205. Spira έδειξε από αριθμητικούς υπολογισμούς ότι η πεπερασμένη σειρά Dirichlet παραπάνω, για Ν=19 έχει ένα μηδέν με πραγματικό μέρος μεγαλύτερο από 1. Ο Τουράν έδειξε επίσης ότι μία κάπως ασθενέστερη υπόθεση, η ανυπαρξία των μηδενικών με πραγματικό μέρος μεγαλύτερο από το 1+N^−1/2+ε για μεγάλο "Ν" στην πεπερασμένη σειρά Dirichlet παραπάνω, συνεπάγεται επίσης την υπόθεση Ρίμαν, αλλά ο Montgomery (1983) έδειξε ότι για όλα τα αρκετά μεγάλα  N οι σειρές αυτές έχουν μηδενικά με πραγματικό μέρος μεγαλύτερο από 1 + (log log N)/(4 log N). Ως εκ τούτου, το αποτέλεσμα του Τουράν είναι κενή αλήθεια και δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βοηθήσει να αποδειχτεί η υπόθεση Ρίμαν.

Μη αντιμεταθετική γεωμετρία

Ο Connes (1999, 2000) είχε περιγράψει μια σχέση μεταξύ της υπόθεσης Ρίμαν και της μη αντιμεταθετικής γεωμετρίας, και δείχνει ότι μία κατάλληλη αναλογία του τύπου ίχνους του Selberg για τη δράση της idèle ομάδας στο χώρο κατηγορίας adèle συνεπάγεται την υπόθεση Ρίμαν. Μερικές από αυτές τις ιδέες αναλύονται στο Lapidus (2008).

Ο χώρος του Χίλμπερτ(Hilbert) με ακεραίες(παντού αναλυτικές) συναρτήσεις

Louis de Branges (1992) έδειξε ότι η υπόθεση Ρίμαν θα ακολουθούταν από μια θετική συνθήκη σε ένα συγκεκριμένο χώρο του Χίλμπερτ των ακεραίων συναρτήσεων. Ωστόσο ο Conrey & Li (2000) έδειξε ότι οι απαραίτητες θετικές προϋποθέσεις δεν είναι ικανοποιητικές.

Ψευδοκρύσταλλοι

Η υπόθεση Ρίμαν συνεπάγεται ότι τα μηδενικά της συνάρτησης ζήτα σχηματίζουν ένα ψευδοκρύσταλλο, που σημαίνει μια κατανομή με διακριτική στήριξη του μετασχηματισμού Fourier, είχε επίσης διακριτική στήριξη. Ο Dyson (2009) πρότεινε, προσπαθώντας να αποδείξει την υπόθεση Ρίμαν με ταξινόμηση, ή τουλάχιστον τη μελέτη, 1-διαστάσεων ψευδοκρυστάλλων.

Αριθμητικές ζήτα συναρτήσεις των μοντέλων των ελλειπτικών καμπυλών επί των αριθμητικών πεδίων

Όταν κάποιος πηγαίνει από τη γεωμετρική διάσταση ένα, π.χ. ένα αλγεβρικό αριθμητικό πεδίο, στη γεωμετρική διάσταση δύο, π.χ. ένα κανονικό μοντέλο της ελλειπτικής καμπύλης ενός αριθμητικού πεδίου, το δισδιάστατο τμήμα της γενικευμένης υπόθεσης Ρίμαν για την συνάρτηση ζήτα του μοντέλου αφορά στους πόλους της συνάρτησης ζ. Στη διάσταση ένα, η μελέτη του ολοκληρώματος της ζήτα στην ερευνητική μελέτη του Tate δεν οδηγεί σε καινούργιες πληροφορίες για την υπόθεση του Riemann. Αντίθετα, στη διάσταση δύο η μελέτη του Ιβάν Φεσενκο για τη δισδιάστατη γενίκευση στη μελέτη του Tate περιλαμβάνει μία ολοκληρωμένη παρουσίαση του ολοκληρώματος της συνάρτησης ζ που συνδέεται στενά με τη συνάρτηση ζ. Σε αυτήν την καινούργια συνθήκη, η οποία δεν υφίσταται στη διάσταση ένα, οι πόλοι της συνάρτησης ζ μπορούν να μελετηθούν μέσω του ολοκληρώματος της συνάρτησης ζ και των σχετικών adele ομάδων. Ο σχετικός ισχυρισμός του Φεσένκο (2010) για τη θετικότητα του τέταρτου παραγώγου μίας ορισμένης συνάρτησης που σχετίζεται με το ολοκλήρωμα της συνάρτησης ζ υποδεικνύει το πολικό τμήμα της γενικευμένης υπόθεσης Ρίμαν. Ο Suzuki (2011) απέδειξε ότι ο τελευταίος, σε συνδυασμό με κάποιες τεχνικές υποθέσεις, υποδεικνύει την εικασία του Φεσένκο.

Πολλαπλές συναρτήσεις ζ

Η απόδειξη του Deligne για την υπόθεση Ρίμαν αναφορικά με τα πεπερασμένα πεδία χρησιμοποίησε τις συναρτήσεις ζ για την πολλαπλότητα των γινομένων, των οποίων οι μηδενικές τιμές και οι πόλοι αντιστοιχούν στο σύνολο των μηδενικών τιμών και των πόλων της πρότυπης συνάρτησης ζ, έτσι ώστε να περιοριστούν τα πραγματικά μέρη των μηδενικών τιμών της πρότυπης συνάρτησης ζ. Αναλογικά, ο Kurokawa (1992) εισήγαγε τις πολλαπλές συναρτήσεις ζ, των οποίων οι μηδενικές τιμές και οι πόλοι αντιστοιχούν στο σύνολο των μηδενικών τιμών και των πόλων της συνάρτησης ζ του Ρίμαν. Για να κάνει τις σειρές να συγκλίνουν περιόρισε το σύνολο των μηδενικών τιμών ή των πόλων, όλα με μη – αρνητικό υποθετικό τμήμα. Μέχρι τώρα, τα γνωστά όρια των μηδενικών τιμών και των πόλων των πολλαπλών συναρτήσεων ζ δεν είναι αρκετά δυνατά, ώστε να δώσουν χρήσιμες εκτιμήσεις για τις μηδενικές τιμές της συνάρτησης ζ του Ρίμαν.

Τοποθεσία των μηδενικών στοιχείων

Πλήθος των μηδενικών στοιχείων

Η συναρτησιακή εξίσωση σε συνδυασμό με το επιχείρημα της αρχής συνεπάγεται ότι ο αριθμός των μηδενικών της συνάρτησης ζήτα με φανταστικό μέρος μεταξύ 0 και T δίνεται από

$N(T)={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\xi (s))={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)s(s-1)/2)$

για s=1/2+iT, όπου το επιχείρημα ορίζεται μεταβάλλοντας τη συνεχώς κατά μήκος της γραμμής με Im(s)=T, ξεκινώντας με το επιχείρημα 0 στο ∞+iT. Αυτό είναι το άθροισμα ενός μεγάλου, αλλά καλά κατανοητού όρου

${\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\pi ^{-s/2}s(s-1)/2)={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+7/8+O(1/T)$

και ενός μικρού αλλά αρκετά μυστηριώδη όρου

$S(T)={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\zeta (1/2+iT))=O(\log(T)).$

Έτσι, η πυκνότητα των μηδενικών με φανταστικό μέρος κοντά στο Τ είναι περίπου log(T)/2π, και η συνάρτηση S περιγράφει τις μικρές αποκλίσεις από αυτό. Η συνάρτηση S(t) πηδά κατά 1 σε κάθε μηδενικό της συνάρτησης ζήτα, και για t ≥ 8 μειώνεται μονότονα μεταξύ μηδενικών με παράγωγο κοντά −log t.

Ο Karatsuba (1996) απέδειξε ότι κάθε διάστημα (T, T+H] για $H\geq T^{{\frac {27}{82}}+\varepsilon }$ περιέχει τουλάχιστον

$H(\ln T)^{\frac {1}{3}}e^{-c{\sqrt {\ln \ln T}}}$

σημεία όπου η συνάρτηση S(t) αλλάζει πρόσημο.

Ο Σέλμπεργκ (1946) έδειξε ότι ο μέσος όρος των ροπών, της δύναμμης του S δίνονται από

$\int _{0}^{T}|S(t)|^{2k}dt={\frac {(2k)!}{k!(2\pi )^{2k}}}T(\log \log T)^{k}+O(T(\log \log T)^{k-1/2}).$

Αυτό υποδηλώνει ότι S(T)/(log log T)^1/2 μοιάζει με μια τυχαία μεταβλητή με μέσο όρο 0 και διακύμανση 2π² (Ghosh (1983) απέδειξε αυτό το γεγονός). Ειδικότερα |S(T)| είναι συνήθως κάπου γύρω (log log T)^1/2, αλλά μερικές φορές πολύ μεγαλύτερες. Η ακριβής σειρά της αύξησης του S( Τ) δεν είναι γνωστή. Δεν υπήρξε μόνιμη βελτίωση στο αρχικό φράγμα του Ρίμαν S(T)=O(log T), αν και η υπόθεση Ρίμαν συνεπάγεται το ελαφρώς μικρότερο φράγμα S(T)=O(log T/log log T) (Titchmarsh 1985). Η πραγματική τάξη του μεγέθους μπορεί να είναι κάπως μικρότερη από αυτή, όπως τυχαίες συναρτήσεις με την ίδια κατανομή όπως S(T) τείνουν να έχουν μεγαλύτερη ταξη για το log(T)^1/2. Στην άλλη κατεύθυνση, δεν μπορεί να είναι πάρα πολύ μικρή: Σέλμπεργκ (1946) showed that S(T) ≠ o((log T)^1/3/(log log T)^7/3), και υποθέτοντας ότι η υπόθεση Ρίμαν Μοντγκόμερι έδειξε ότι S(T) ≠ o((log T)^1/2/(log log T)^1/2).

Αριθμητικοί υπολογισμοί επιβεβαιώνουν ότι S αναπτύσσεται πολύ αργά: |S(T)| < 1 για T < 280, |S(T)| < 2 για T < 6800000, και η μεγαλύτερη τιμή της |S(T)| που βρέθηκε μέχρι στιγμής δεν είναι πολύ μεγαλύτερη από 3 ((Odlyzko 2002)).

Η εκτίμηση του Ρίμαν ότι S(T) = O(log T), σημαίνει ότι τα κενά μεταξύ των μηδενικών είναι φραγμένα, και ο Littlewood το απέδειξε, δείχνοντας ότι οι διαφορές ανάμεσα στα φανταστικά τους μέρη τείνουν στο μηδέν.

Θεώρημα των Hadamard και de la Vallée-Poussin

Οι Hadamard (1896) και de la Vallée-Poussin (1896) ) ανεξαρτήτως απέδειξαν ότι το 0 δεν μπορεί να βρίσκεται στη γραμμή του Re(s) = 1. Στη συναρτησιακή εξίσωση όπου δεν υπάρχουν μηδενικά με πραγματικό μέρος μεγαλύτερο από το 1, συμπεραίνεται ότι όλα τα μη-τετριμμένα μηδενικά πρέπει να βρίσκονται στο εσωτερικό της κρίσιμης λωρίδας 0 < Re(s) < 1. Αυτό ήταν ένα σημαντικό βήμα στην απόδειξη του θεωρήματος των πρώτων αριθμών.

Τα δυο πρωτότυπα των αποδείξεων, όπου η λειτουργία ζήτα δεν έχει μηδενικά με πραγματικό μέρος 1, είναι παρόμοια, και εξαρτώνται από την απόδειξη στην οποία προκύπτει ότι αν ζ(1+it) εξαφανίζεται, τότε ζ(1+2it) είναι μοναδική, κάτι το οποίο δεν είναι δυνατόν. Ένας τρόπος να γίνει αυτό είναι με τη χρήση της ανισότητας

$|\zeta (\sigma )^{3}\zeta (\sigma +it)^{4}\zeta (\sigma +2it)|\geq 1$n

για σ>1, t πραγματικό , και κοιτάζοντας στο όριο σ → 1. Αυτή η ανισότητα προκύπτει λαμβάνοντας το πραγματικό μέρος από το λογάριθμο του Όιλερ

$|\zeta (\sigma +it)|=\exp \Re \sum _{p^{n}}{\frac {p^{-n(\sigma +it)}}{n}}=\exp \sum _{p^{n}}{\frac {p^{-n\sigma }\cos(t\log p^{n})}{n}},$

όπου το σύνολο είναι μεγαλύτερο από όλες τις πρώτες δυνάμεις pⁿ, άρα

$|\zeta (\sigma )^{3}\zeta (\sigma +it)^{4}\zeta (\sigma +2it)|=\exp \sum _{p^{n}}p^{-n\sigma }{\frac {3+4\cos(t\log p^{n})+\cos(2t\log p^{n})}{n}}$

το οποίο είναι τουλάχιστον 1, επειδή όλοι οι όροι στο άθροισμα είναι θετική, λόγω της ανισότητας

$3+4\cos(\theta )+\cos(2\theta )=2(1+\cos(\theta ))^{2}\geq 0.$

Περιοχές χωρίς μηδενικά

Ο De la Vallée-Poussin (1899–1900) απέδειξε ότι, εάν σ + it είναι μηδέν της Ζήτα συνάρτησης του Ρίμαν, τότε 1 − σ ≥ C/log(t) για κάποια θετική σταθερά C.Με άλλα λόγια τα μηδενικά δεν μπορούν να είναι πάρα πολύ κοντά στη γραμμή σ = 1:υπάρχει μια χωρίς-μηδενικά περιοχή κοντά σε αυτή τη γραμμή. Αυτή η χωρίς-μηδενικά περιοχή έχει διευρυνθεί από αρκετούς συγγραφείς. Ο Ford (2002) έδωσε μια έκδοση με ρητές αριθμητικές σταθερές: ζ(σ + it ) ≠ 0 όταν |t | ≥ 3 και

$\sigma \geq 1-{\frac {1}{57.54(\log {|t|})^{2/3}(\log {\log {|t|}})^{1/3}}}.$

Μηδενικές τιμές στην κρίσιμη γραμμή

Ο Hardy (1914) και ο Hardy & Littlewood (1921) ) έδειξαν ότι υπάρχουν απείρως πολλά μηδενικά στην κρίσιμη γραμμή, εξετάζοντας στιγμές ορισμένων λειτουργιών που σχετίζονται με τη συνάρτηση Ζήτα. Ο Selberg (1942)απέδειξε ότι τουλάχιστον ένα (μικρό) θετικό ποσοστό των μηδενικών κείνται επί της γραμμής. Ο Levinson (1974) βελτίωσε αυτό το ποσοστό στο ένα τρίτο των ριζών συσχετίζοντας τα μηδενικά της συνάρτησης Ζήτα με εκείνα της παραγώγου της, και ο Conrey (1989) βελτιώθηκε περαιτέρω σε αυτό με τα δύο πέμπτα.

Τα περισσότερα μηδενικά βρίσκονται κοντά στην κρίσιμη γραμμή. Πιο συγκεκριμένα, οι Bohr & Landau (1914) ) έδειξαν ότι για κάθε θετικό ε, όλα, αλλά ένα απειροελάχιστο ποσοστό των μηδενικών βρίσκονται σε απόσταση ε της κρίσιμης γραμμής. Ο Ivić (1985) δίνει αρκετά πιο ακριβές εκδόσεις αυτού του αποτελέσματος, που ονομάζεται μηδενική εκτίμηση πυκνότητας, στο οποίο δεσμεύεται ο αριθμός των μηδενικών σε περιοχές με φανταστικό μέρος στα πιο πολλά T και πραγματικό μέρος τουλάχιστον 1/2+ε.

Εικασίες των Hardy–Littlewood

Το 1914 ο Godfrey Harold Hardy απέδειξε ότι $\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)$ ότι έχει απείρως πολλά πραγματικά μηδενικά.

Έστω N(T) είναι ο συνολικός αριθμός των πραγματικών μηδενικών, είναι ο συνολικός αριθμός των μηδενικών περιττής τάξεως της συνάρτησης

$\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right),$

που βρίσκεται στο διάστημα (0, T].

Οι επόμενες δύο εικασίες των Hardy and Τζον Έτενσορ Λίτολγουτ Littlewood για την απόσταση μεταξύ των πραγματικών μηδενικών $\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)$ και για την πυκνότητα των μηδενικά $\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)$ για χρονικά διαστήματα (T, T+H] ] για αρκετά μεγάλο T > 0, $H=T^{a+\varepsilon }$ και με όσο το δυνατόν λιγότερο αξία του a > 0, όπου ε > 0 είναι αυθαίρετα μικρό αριθμό, άνοιξαν δύο νέες κατευθύνσεις στην έρευνα της Ζήτα συνάρτησης:

1. για κάθε ε > 0 υπάρχει $T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0$ ώστε για το $T\geq T_{0}$ και $H=T^{0.25+\varepsilon }$ το διάστημα $(T,T+H]$ περιέχει ένα μηδενικό περιττής τάξεως της συνάρτησης $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$.

2. για κάθε ε> 0 υπάρχουν $T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0$ και c = c(ε) > 0, τέτοια ώστε για $T\geq T_{0}$ και $H=T^{0.5+\varepsilon }$ η ανισότητα $N_{0}(T+H)-N_{0}(T)\geq cH$ είναι αληθής.

Εικασία του Selberg

Η παρακάτω παράγραφος δεν αφορά στη σύγκλιση του Selberg αλλά στην εικασία του Selberg για τη συνάρτηση ζήτα.

Ο Alte Selberg (1942) μελέτησε το πρόβλημα των Hardy – Littlewood 2 και απέδειξε ότι για κάθε ε>0 αντιστοιχεί $T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0$ και c = c(ε) > 0, με αποτέλεσμα για $T\geq T_{0}$ και $H=T^{0.5+\varepsilon }$ η ανισότητα $N(T+H)-N(T)\geq cH\log T$ να είναι αληθής. Ο Selberg υπέθεσε ότι το παραπάνω θα μπορούσε να επεκταθεί σε $H=T^{0.5}$. Ο Karatsuba (1984a, 1984b, 1985) απέδειξε ότι για μία σταθερή ε που ικανοποιεί τη συνθήκη 0 < ε < 0.001,, ένα αρκετά μεγάλο T και για $H=T^{a+\varepsilon }$, $a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}}$, το διάστημα (T, T+H) περιέχει τουλάχιστον cHln(T) πραγματικές μηδενικές τιμές από τη συνάρτηση ζήτα του Ρίμαν $\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)$ και επομένως επιβεβαιώνει την υπόθεση του Selberg. Οι εκτιμήσεις των Selberg και Karatsuba δεν μπορούν να βελτιωθούν αναφορικά με τη σειρά ανάπτυξης καθώς T → ∞.

Ο Karatsuba (1992) απέδειξε ότι ένα ανάλογο της υπόθεσης του Selberg ικανοποιεί σχεδόν όλα τα διαστήματα (T, T+H], $H=T^{\varepsilon }$, όπου ε είναι ένας αυθαίρετος μικρός παγιωμένος θετικός αριθμός. Η μέθοδος του Karatsuba μας επιτρέπει να ερευνήσουμε τις μηδενικές τιμές της συνάρτησης ζ του Ρίμαν για τα πολύ μικρά διαστήματα της κριτικής γραμμής, δηλαδή, για τα διαστήματα (T, T+H], ), το μήκος H, το οποίο αναπτύσσεται πολύ αργά, ακόμα και έναν αυθαίρετα μικρό βαθμό Τ. Συγκεκριμένα, απέδειξε ότι για όλους τους αριθμούς ε, το $\varepsilon _{1}$ ικανοποιεί τη συνθήκη $0<\varepsilon ,\varepsilon _{1}<1$ σχεδόν για όλα τα διαστήματα (T, T+H] για $H\geq \exp {\{(\ln T)^{\varepsilon }\}}$ περιέχουν τουλάχιστον $H(\ln T)^{1-\varepsilon _{1}}$ μηδενικές τιμές για τη συνάρτηση $\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)$. Αυτήν η εκτίμηση είναι πολύ κοντά στο αποτέλεσμα που προκύπτει από την υπόθεση Ρίμαν.

Αριθμητικοί υπολογισμοί

Η απόλυτη τιμή της συνάρτησης ζ

Η συνάρτηση

$\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\zeta (s)$

έχει τις ίδιες μηδενικές τιμές όπως η συνάρτηση ζ στην κρίσιμη γραμμή, και είναι πραγματική για την κρίσιμη γραμμή, εξαιτίας της συναρτησιακής εξίσωσης, έτσι ώστε να μπορεί κάποιος να αποδείξει την ύπαρξη των μηδενικών τιμών ακριβώς στην πραγματική γραμμή μεταξύ δύο σημείων, ελέγχοντας αριθμητικά αν η συνάρτηση έχει αντίθετα πρόσημα σε αυτά τα σημεία. Συνήθως, σε έναν τύπο

$\zeta ({\tfrac {1}{2}}+it)=Z(t)e^{-i\theta (t)}$

όπου η Z συνάρτηση του Hardy και η Ρίμαν–Siegel συνάρτηση θήτα θ ορίζονται μοναδικά από αυτόν τον τύπο και με τη συνθήκη ότι είναι ομαλές πραγματικές συναρτήσεις με θ(0) = 0. Υπολογίζοντας πολλά διαστήματα όπου η συνάρτηση Z αλλάζει πρόσημο, μπορεί κάποιος να αποδείξει ότι υπάρχουν πολλές μηδενικές τιμές για την κρίσιμη γραμμή. Για να επαληθευτεί η υπόθεση Ρίμαν μέχρι ένα υποθετικό σημείο T των μηδενικών τιμών, θα πρέπει κανείς να ελέγξει αν υπάρχουν περαιτέρω μηδενικές τιμές κάτω από τη γραμμή αυτής της περιοχής. Αυτό μπορεί να γίνει αν υπολογίσει κανείς το συνολικό αριθμό των μηδενικών τιμών σε αυτήν την περιοχή και ελέγχοντας αν είναι ίδιος με τον αριθμό των μηδενικών τιμών που βρέθηκαν στη γραμμή. Αυτό επιτρέπει σε κάποιον να επαληθεύσει την υπόθεση Ρίμαν υπολογίζοντας οποιαδήποτε επιθυμητή τιμή T (δεδομένου ότι όλες οι μηδενικές τιμές της συνάρτησης ζ σε αυτήν την περιοχή είναι απλές και πάνω στην κρίσιμη γραμμή).

Παρακάτω παρουσιάζονται ορισμένοι υπολογισμοί των μηδενικών τιμών της συνάρτησης ζ. Μέχρι τώρα όλες οι μηδενικές τιμές που έχουν ελεγχθεί είναι πάνω στην κρίσιμη γραμμή και είναι απλές. (Μία πολλαπλή μηδενική τιμή θα μπορούσε να προκαλέσει προβλήματα στην εύρεση αλγορίθμων και η οποία εξαρτάται από τον εντοπισμό των αλλαγών στα πρόσημα μεταξύ των μηδενικών τιμών). Για τους πίνακες των μηδενικών τιμών δείτε Haselgrove & Miller (1960) or Odlyzko.

Έτος	Πλήθος Μηδενικών	Συγγραφέας
1859?	3	Ο Μ. Ρίμαν χρησιμοποίησε τον τύπο των Ρίμαν-Σιέγκελ (αδημοσίευτο, αλλά αναφέρθηκε στο Siegel 1932).
1903	15	Ο J. P. Gram (1903) χρησιμοποίησε την άθροιση των Όιλερ-Μακλόρεν και ανακάλυψε τον νόμο του Γκραμ. Έδειξε ότι όλα τα 10 μηδενικά με φανταστικό μέρος το πολύ 50 βρίσκονται στην κρίσιμη γραμμή με πραγματικό μέρος 1/2, από τον υπολογισμό του αθροίσματος των αντίστροφων των 10ων δυνάμεων των ριζών που βρέθηκαν.
1914	79 (γn ≤ 200)	Ο R. J. Backlund (1914) εισήγαγε μια καλύτερη μέθοδος για τον έλεγχο όλων των μηδενικών σημειών, μέχρι εκείνο το σημείο που βρίσκεται πάνω στη γραμμή, μελετώντας το όρισμα S(Τ) της συνάρτησης ζήτα.
1925	138 (γn ≤ 300)	Ο J. I. Hutchinson (1925) βρήκε την πρώτη αποτυχία του νόμου του Γκραμ, στο σημείο Γκραμ g126.
1935	195	Ο E. C. Titchmarsh (1935) χρησιμοποίησε την Riemann–Siegel formula που πρόσφατα ανακαλύφθηκε ξανα, ο οποίος είναι πολύ πιο γρήγορος από ό, τι η Euler-Maclaurin άθροιση. Χρειάζονται περίπου O(T3/2+ε) βήματα για τον έλεγχο μηδενικών σημείων, με φανταστικό μέρος λιγότερο από το Τ, ενώ με τη μέθοδο Όιλερ-Μακλόρεν χρειάζονται περίπου O(T2+ε) βήματα.
1936	1041	Ο E. C. Titchmarsh (1936) και ο L. J. Comrie ήταν οι τελευταίοι που προσπάθησαν να βρουν μηδενικά, με το χέρι.
1953	1104	Ο A. M. Turing (1953) βρείκε έναν πιο αποτελεσματικό τρόπο για να βεβαιωθεί ότι όλα τα μηδενικά μέχρι κάποιο σημείο, προέρχονται από τα μηδενικά που βρίσκονται πάνω στη γραμμή, ελέγχοντας ότι η Ζ έχει το σωστό πρόσημο σε διάφορα συνεχόμενα σημεία Γκραμ και χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι S(T) έχει μέση τιμή 0. Αυτό απαιτεί σχεδόν καμία επιπλέον δουλειά, επειδή το πρόσημο της Ζ στα σημεία Γκραμ είναι ήδη γνωστό από την εύρεση των μηδενικών, και εξακολουθεί να χρησιμοποιείται η ίδια μέθοδος. Αυτή ήταν η πρώτη χρήση ενός ψηφιακού υπολογιστή για τον υπολογισμό των μηδενικων.
1956	15000	Ο D. H. Lehmer (1956) ανακάλυψε μερικές περιπτώσεις όπου η συνάρτηση ζήτα έχει μηδενικά που είναι "μόλις" που βρίσκονται πάνω στη γραμμή: δύο μηδενικά της συνάρτησης ζήτα είναι τόσο κοντά μεταξύ τους που είναι ασυνήθιστα δύσκολο να βρεθεί μια αλλαγή προσήμου μεταξύ τους. Αυτό ονομάζεται «φαινόμενο του Lehmer", και το πρώτο εμφανίζεται στα μηδενικά με φανταστικά μέρη 7005.063 και 7005.101, που διαφέρουν μόνο κατά .04, ενώ η μέση διαφορά μεταξύ των άλλων μηδενικών κοντά σε αυτό το σημείο είναι περίπου 1.
1956	25000	D. H. Lehmer
1958	35337	N. A. Meller
1966	250000	R. S. Lehman
1968	3500000	Ο Rosser, Yohe & Schoenfeld (1969) δήλωσε τον κανόνα του Ρόσσερ(Rosser's rule)(περιγράφεται παρακάτω).
1977	40000000	Ρ. Π. Μπραντ
1979	81000001	Ρ. Π. Μπραντ
1982	200000001	Ρ. Π. Μπραντ, J. van de Lune, H. J. J. te Riele, D. T. Winter
1983	300000001	J. van de Lune, H. J. J. te Riele
1986	1500000001	van de Lune, te Riele & Winter (1986) έδωσε κάποια στατιστικά στοιχεία σχετικά με τα μηδενικά και έδωσε αρκετές γραφικές παραστάσεις του Ζ σε μέρη όπου έχει ασυνήθιστη συμπεριφορά.
1987	Μερικά μεγάλα (~1012) ύψος	Ο A. M. Odlyzko (1987) υπολόγισε μικρότερο αριθμό από μηδενικά με πολύ μεγαλύτερο ύψος, περίπου 1012, με υψηλή ακρίβεια για έλεγχο. Εικασία του Μοντγκόμερι για το ζεύγος συσχέτισης.
1992	Μερικά μεγάλα (~1020) ύψος	Ο A. M. Odlyzko (1992) υπολόγισε 175 εκατομμύρια μηδενικά με ύψη περίπου 1020 και μερικά ακόμη με ύψη περίπου 2 × 1020 , και έδωσε μια εκτενή συζήτηση των αποτελεσμάτων.
1998	10000 από τα μεγάλα (~1021) ύψος	A. M. Odlyzko (1998) υπολόγισε μερικά μηδενικά με ύψους περίπου 1021
2001	10000000000	J. van de Lune (δεν εκδόθηκε)
2004	900000000000	S. Wedeniwski (ZetaGrid κατανεμημένα συστήματα πληροφορικής)
2004	10000000000000 και μερικά από τα μεγάλα (up to ~1024) ύψος	Ο X. Gourdon (2004) και ο Patrick Demichel χρησιμοποίησαν τον αλγόριθμο των Odlyzko–Schönhage. Έλεγξαν επίσης δύο δισεκατομμύρια μηδενικά με ύψη γύρω στα 1013, 1014, ..., 1024.

Τα σημεία του Gram

Το σημείο του Gram Το σημείο του Gram είναι ένα σημείο πάνω στην κρίσιμη γραμμή 1/2 + it όπου η συνάρτηση ζ είναι πραγματική και μη – μηδενική. Αν χρησιμοποιήσουμε την παράσταση για τη συνάρτηση ζ πάνω στην κρίσιμη γραμμή, ζ(1/2 + it) = Z(t)e ^− iθ(t),όπου η Z συνάρτηση του Hardy, , είναι πραγματική για πραγματικά t, και η θ είναι η Ρίμαν–Siegel συνάρτηση θήτα, θα διαπιστώσουμε ότι η συνάρτηση ζ είναι πραγματική όταν sin(θ(t)) = 0. Αυτό υποδεικνύει ότι θ(t) είναι ένας πολλαπλός ακέραιος του π, ο οποίος επιτρέπει τον εύκολο υπολογισμό των σημείων Gram, λόγω της θέσης τους, αντιστρέφοντας απλά τον τύπο για τη θ. Συνήθως αριθμούνται ως g_n for n = 0, 1, ..., όπου g_n είναι η μοναδική λύση για τη θ(t) = nπ.

Ο Gram σημείωσε ότι συνήθως υπήρχε ακριβώς μία μηδενική τιμή για τη συνάρτηση ζήτα μεταξύ δύο σημείων Gram; Ο Hutchinson ονόμασε αυτήν την παρατήρηση νόμο του Gram. Υπάρχουν αρκετές ακόμα δηλώσεις που αποκαλούνται νόμος του Gram: για παράδειγμα, η (−1)ⁿZ(g_n) είναι συνήθως θετική, ή η Z(t) έχει συνήθως αντίθετο πρόσημο για διαδοχικά σημεία Gram. Τα υποθετικά σημεία γ_nτων πρώτων μηδενικών τιμών (με μπλε χρώμα) και τα πρώτα σημεία Gram g_n παρουσιάζονται στον ακόλουθο πίνακα.

		g−1	γ1	g0	γ2	g1	γ3	g2	γ4	g3	γ5	g4	γ6	g5
0.000	3.436	9.667	14.135	17.846	21.022	23.170	25.011	27.670	30.425	31.718	32.935	35.467	37.586	38.999

Αυτή η παράσταση δείχνει τις τιμές του ζ(1/2+it) στο μιγαδικό επίπεδο για 0 ≤ t ≤ 34. (Για t=0, ζ(1/2) ≈ -1.460 αντιστοιχεί στο αριστερότερο σημείο της κόκκινης καμπύλης.) Ο κανόνας του Gram αναφέρει ότι η καμπύλη διασχίζει συνήθως το πραγματικό άξονα μία φορά μεταξύ των μηδενικών της τιμών.

Το πρώτο σφάλμα τoυ νόμου Gram παρουσιάζεται στη 127η μηδενική τιμή και στο g₁₂₆, σημείο Gramm, τα οποία είναι σε «λανθασμένη» σειρά.

g124	γ126	g125	g126	γ127	γ128	g127	γ129	g128
279.148	279.229	280.802	282.455	282.465	283.211	284.104	284.836	285.752

Ένα σημείο Gram θεωρείται καλή αν η συνάρτηση ζ έχει θετικό πρόσημο στο 1/2 + it. Οι δείκτες για τα "κακά" σημεία Gram, όπου η Z έχει "λανθασμένο" πρόσημο είναι οι 126, 134, 195, 211 ...Διαδικτυακή Εγκυκλοπαίδεια για τις ακέραιες ακολουθίες. Το Gram block είναι ένα διάστημα που ορίζεται από δύο σημεία Gram και δηλώνει ότι όλα τα σημεία Gram που βρίσκονται σε αυτό το διάστημα είναι κακά. Μία αναδιατύπωση του νόμου του Gram, η οποία καλείται νόμος Rosser, εξαιτίας των Rosser, Yohe & Schoenfeld (1969) δηλώνει ότι τα Gram blocks έχουν έναν αναμενόμενο αριθμό μηδενικών τιμών (τον ίδιο αριθμό με τα διαστήματα Gram), παρόλο που κάποια μεμονωμένα διαστήματα Gram σε ένα block μπορεί να μην έχουν μόνο μία μηδενική τιμή. Για παράδειγμα, το διάστημα που ορίζεται από τα σημεία g₁₂₅ και g₁₂₇ είναι ένα Gram block που περιέχει ένα μοναδικό κακό σημείο Gram g₁₂₆, και περιέχει τον αναμενόμενο αριθμό 2 των μηδενικών τιμών, παρόλο που κανένα από τα δύο διαστήματα Gram δεν περιέχει μία μοναδική μηδενική τιμή. Ο Rosser κ.ά. υποστήριξαν ότι δεν υπάρχουν εξαιρέσεις στον κανόνα του Rosser στα πρώτα 3 εκατομμύρια μηδενικά στοιχεία, αν και υπάρχουν άπειρες εξαιρέσεις στο νόμο Rosser αναφορικά με ολόκληρη τη συνάρτηση ζ.

Οι νόμοι του Gram και του Rosser δηλώνουν ότι κατά μία έννοια οι μηδενικές τιμές δεν παρεκκλίνουν πολύ από τις αναμενόμενες θέσεις τους. Η απόσταση από ένα μηδενικό σημείο από την αναμενόμενη θέση του ελέγχεται από τη συνάρτηση S η οποία ορίζεται παραπάνω, και η οποία αναπτύσσεται εξαιρετικά αργά: η μέση τιμή της είναι της τάξεως (log log T)^1/2, , η οποία φτάνει στο 2 για το Τ περίπου στο 10²⁴. Αυτό σημαίνει ότι και οι δύο νόμοι ισχύουν τις περισσότερες φορές για μία μικρή τιμή του Τ, αλλά συνήθως στο τέλος διασπώνται. Πράγματι, ο Trudgian (2011) απέδειξε ότι τόσο ο νόμος Gram όσο και ο νόμος Rosser παρουσιάζουν σφάλματα για μία θετική αναλογία περιπτώσεων. Πιο συγκεκριμένα, αναμένεται ότι στο 73% των περιπτώσεων μία μηδενική τιμή περικλείεται από δύο διαδοχικά σημεία Gram, αλλά, μακροπρόθεσμα, στο 14% των περιπτώσεων περικλείεται μία μη μηδενική τιμή και στο 13% δύο μηδενικές τιμές.

Επιχειρήματα υπέρ και κατά της υπόθεσης Ρίμαν

Οι μαθηματικές εργασίες για την υπόθεση του Ρίμαν διατηρούν μία επιφύλαξη ως προς την αλήθεια της. Μεταξύ των συγγραφέων που εκφέρουν μία άποψη, οι περισσότεροι από αυτούς, όπως ο Ρίμαν (1859) ή ο Bombieri (2000), υπονοούν πως πιστεύουν (ή τουλάχιστον ελπίζουν) να είναι αληθής. Οι λίγοι συγγραφείς που εκφράζουν σοβαρές αμφιβολίες για την αλήθεια της, όπως ο Ivić (2008), ο οποίος επιχειρηματολογεί υπέρ της σκεπτικής του θέσης, και ο Littlewood (1962), ο οποίος δηλώνει ξεκάθαρα πως πιστεύει ότι είναι ψευδής και ότι δεν υπάρχουν κανενός είδους αποδείξεις για αυτήν και ούτε κάποιος φανταστικός λόγος που θα την καθιστούσε αληθή. Το κεντρικό θέμα συζήτησης των ερευνητικών άρθρων (Bombieri 2000, Conrey 2003 και Sarnak 2008) είναι ότι οι αποδείξεις υπέρ της αλήθειας της είναι ισχυρές, αλλά δεν είναι καθοριστικές, με αποτέλεσμα παρόλο που μπορεί να είναι αληθής, μπορεί να υπάρχει μία λογική αμφιβολία για αυτήν.

Μερικά επιχειρήματα υπέρ (ή κατά) της υπόθεσης του Riemann κατηγοριοποιούνται από τους Sarnak (2008), Conrey (2003) και Ivić (2008) και περιλαμβάνουν τις ακόλουθες αιτιολογίες.

• Έχουν ήδη αποδειχθεί πολλά ανάλογα της υπόθεσης Ρίμαν. Η απόδειξη της υπόθεσης Ρίμαν για τις πολλαπλότητες σε πεπερασμένα πεδία από τον Deligne (1974) είναι πιθανόν το μοναδικό ισχυρό θεωρητικό επιχείρημα υπέρ της υπόθεσης Ρίμαν. Παρέχει κάποιες αποδείξεις για τον γενικό ισχυρισμό ότι όλες οι συναρτήσεις ζ που σχετίζονται τους αυτομορφικούς τύπους ικανοποιούν την υπόθεση Ρίμαν, η οποία περιλαμβάνει την κλασσική υπόθεση Ρίμαν ως ειδική περίπτωση. Παρομοίως, η συνάρτηση ζ του Selberg ικανοποιεί την αναλογία της υπόθεσης Ρίμαν και, κατά κάποιο τρόπο, μοιάζουν με τη συνάρτηση ζ του Ρίμαν, καθώς έχουν μία λειτουργική εξίσωση και ένα πεπερασμένο ανάπτυγμα γινομένου ανάλογο με το ανάπτυγμα γινομένου του Όιλερ. Ωστόσο, υπάρχουν και κάποιες ακόμα σημαντικές διαφορές. Για παράδειγμα, δε δίνονται από τη σειρά Dirichlet. Η υπόθεση Ρίμαν για τη συνάρτηση ζ του Goss αποδείχθηκε από τον Sheats (1998). Αντίθετα με αυτά τα θετικά παραδείγματα, ωστόσο, ορισμένες συναρτήσεις ζ του Epstein δεν ικανοποιούν την υπόθεση Ρίμαν, παρόλο που έχουν έναν πεπερασμένο αριθμό μηδενικών τιμών πάνω στην κρίσιμη γραμμή ((Titchmarsh 1986)). Αυτές οι συναρτήσεις είναι παρόμοιες με τη συνάρτηση ζ του Ρίμαν και έχουν ανάπτυγμα από τη σειρά του Dirichlet και μία συναρτησιακή εξίσωση, αλλά εκείνες οι συναρτήσεις που είναι γνωστές ότι δεν ικανοποιούν την υπόθεση Ρίμαν δεν έχουν γινόμενο Euler και δε συνδέονται άμεσα με τις αυτομορφικές παραστάσεις.
• Πρώτον, η αριθμητική επαλήθευση ότι πολλές μηδενικές τιμές βρίσκονται επί της γραμμής είναι από μόνη της μία ισχυρή απόδειξη. Ωστόσο, η αναλυτική αριθμητική θεωρία έχει πολλές θεωρίες που υποστηρίζονται από πολλές αριθμητικές αποδείξεις, οι οποίες στο τέλος αποδεικνύονται λαθεμένες. Δείτε για παράδειγμα τον αριθμό Skewes, όπου η πρώτη κιόλας εξαίρεση στην κατά τα άλλα πειστική θεωρία αναφορικά με την υπόθεση Ρίμαν προκύπτει πιθανότατα περίπου στο 10³¹⁶; ένα αντιπαράδειγμα για τη συνάρτηση Ρίμαν με ένα υποθετικό μέρος αυτού του μεγέθους θα ήταν πέρα από οτιδήποτε μπορεί να υπολογιστεί με αυτήν την άμεση μέθοδο. Το πρόβλημα είναι ότι η συμπεριφορά της επηρεάζεται συχνά από τις συναρτήσεις που αυξάνονται πολύ αργά, όπως ο λογάριθμος log log T, οι οποίες τείνουν προς το άπειρο, αλλά με τόσο αργούς ρυθμούς που δεν ανιχνεύονται από αυτόν τον υπολογισμό. Αυτές οι συναρτήσεις παρατηρούνται στη θεωρία της συνάρτησης ζ, ελέγχοντας τη συμπεριφορά των μηδενικών της τιμών. Για παράδειγμα, η συνάρτηση S(T) που αναφέρθηκε παραπάνω έχει ένα μέσο μέγεθος περίπου (log log T)^1/2 . Καθώς η S(T) αυξάνεται κατά δύο, σε οποιοδήποτε παράδειγμα για την υπόθεση Ρίμαν, θα περίμενε κανείς τα αντιπαραδείγματα για την υπόθεση Ρίμαν να ξεκινούν μόνο όταν η S(T) γίνεται μεγαλύτερη. Δεν είναι ποτέ πάνω από 3, όπως έχει υπολογιστεί μέχρι σήμερα, αλλά είναι γνωστό ότι δεν έχει όρια, υποδεικνύοντας ότι οι υπολογισμοί δεν έχουν φτάσει ακόμα στην περιοχή της τυπικής συμπεριφοράς για τη συνάρτηση ζ.
• Το πιθανολογικό επιχείρημα του Denjoy για την υπόθεση Ρίμαν (Edwards 1974) ) βασίζεται στην παρατήρηση ότι αν μ(x) είναι μία τυχαία σειρά των "1" και των "−1" τότε για κάθε ε > 0, τα μερικά σύνολα

$M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)$

(οι τιμές οι οποίες είναι οι θέσεις για ένα απλό τυχαίο δρόμο) ικανοποιούν το όριο

$M(x)=O(x^{1/2+\varepsilon })$

με πιθανότητα 1. Η υπόθεση Ρίμαν είναι ίση με αυτό το όριο για τη συνάρτηση Möbius μ και τη συνάρτηση Mertens M οι οποίες προκύπτουν κατά τον ίδιο τρόπο από αυτή. Με άλλα λόγια, η υπόθεση Ρίμαν είναι σαν να λέμε ότι η μ(x) ) συμπεριφέρεται όπως μία τυχαία ρίψη κερμάτων. Όταν η μ(x) είναι μη-μηδενική, το πρόσημό της καθιστά τους πρώτους παράγοντες του x ισότιμους. Έτσι, ανεπίσημα, η υπόθεση του Ρίμαν εικάζει ότι η ισότητα του αριθμού των πρώτων παραγόντων ενός ακέραιου συμπεριφέρεται τυχαία. Τέτοια πιθανολογικά επιχειρήματα στην αριθμητική θεωρία δίνουν, συχνά, τη σωστή απάντηση, αλλά δεν είναι εύκολο να σταθεροποιηθούν και, περιστασιακά, δίνουν λάθος απάντηση για κάποια αποτελέσματα, όπως το θεώρημα του Maier.

• Οι υπολογισμοί του Odlyzko (1987) έδειξαν ότι οι μηδενικές τιμές της συνάρτησης ζήτα συμπεριφέρονται όπως οι ιδιοτιμές ενός τυχαίου πλέγματος Hermitian, υπονοώντας ότι είναι οι ιδιοτιμές κάποιων αυτό- συζυγών τελεστών, οι οποίες υποδεικνύουν την υπόθεση Ρίμαν. Ωστόσο, όλες οι προσπάθειες να βρεθεί ένας τέτοιος τελεστής έχουν αποτύχει.
• Υπάρχουν πολλά θεωρήματα, όπως ο αδύναμος ισχυρισμός του Goldbach για επαρκώς μεγάλους περιττούς αριθμούς, τα οποία αποδείχθηκαν με τη γενίκευση της υπόθεσης Ρίμαν, η οποία χρησιμοποιείται ως αληθής χωρίς όρους. Θα μπορούσε κανείς να το θεωρήσει ως φτωχή απόδειξη για τη γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν, καθώς πολλές από τις "προβλέψεις" της αποδείχθηκαν αληθείς.
• Το φαινόμενο του Lehmer (Lehmer 1956) όπου δύο μηδενικές τιμές είναι μερικές φορές πολύ κοντά, χρησιμοποιείται ως ένας σοβαρός λόγος αμφισβήτησης της υπόθεσης Ρίμαν. Ωστόσο, θα περίμενες κανείς το φαινόμενο αυτό να συμβαίνει περιστασιακά και τυχαία, ακόμα και αν η υπόθεση Ρίμαν ήταν αληθής, ενώ οι υπολογισμοί του Odlyzko δείχνουν ότι τα γειτονικά ζευγάρια των μηδενικών τιμών προκύπτουν ακριβώς όπως έχει προβλεφθεί από τον εικασία του Μοντγκόμερι.
• Ο Patterson (1988) υποστηρίζει ότι ο πιο ακαταμάχητος λόγος υπέρ της υπόθεσης Ρίμαν για τους περισσότερους μαθηματικούς είναι η ελπίδα ότι οι πρώτες τιμές κατανέμονται όσο το δυνατό πιο κανονικά.

Δείτε επίσης

• Γενικευμένη Υπόθεση του Ρίμαν
• Μεγάλη υπόθεση του Ρίμαν
• Το 8ο πρόβλημα του Hilbert
• Βραβείο της Χιλιετίας για τα προβλήματα
• Εικασία του Ρίμαν για καμπύλες πάνω από πεπερασμένα πεδία

Παραπομπές

• Artin, Emil (1924), «Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. II. Analytischer Teil», Mathematische Zeitschrift 19 (1): 207–246, doi:10.1007/BF01181075 
• Beurling, Arne (1955), «A closure problem related to the Riemann zeta-function», Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 41 (5): 312–314, doi:10.1073/pnas.41.5.312 
• Bohr, H.; Landau, E. (1914), «Ein Satz über Dirichletsche Reihen mit Anwendung auf die ζ-Funktion und die L-Funktionen», Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 37 (1): 269–272, doi:10.1007/BF03014823 
• Bombieri, Enrico (2000), The Riemann Hypothesis – official problem description, Clay Mathematics Institute, http://www.claymath.org/sites/default/files/official_problem_description.pdf, ανακτήθηκε στις 2008-10-25  Reprinted in (Borwein και άλλοι 2008).
• Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan και άλλοι., επιμ.. (2008), The Riemann Hypothesis: A Resource for the Afficionado and Virtuoso Alike, CMS Books in Mathematics, New York: Springer, doi:10.1007/978-0-387-72126-2, ISBN 978-0-387-72125-5 
• Borwein, Peter; Ferguson, Ron; Mossinghoff, Michael J. (2008), «Sign changes in sums of the Liouville function», Mathematics of Computation 77 (263): 1681–1694, doi:10.1090/S0025-5718-08-02036-X 
• de Branges, Louis (1992), «The convergence of Euler products», Journal of Functional Analysis 107 (1): 122–210, doi:10.1016/0022-1236(92)90103-P 
• Cartier, P. (1982), «Comment l'hypothèse de Riemann ne fut pas prouvée», Seminar on Number Theory, Paris 1980–81 (Paris, 1980/1981), Progr. Math., 22, Boston, MA: Birkhäuser Boston, σελ. 35–48 
• Connes, Alain (1999), «Trace formula in noncommutative geometry and the zeros of the Riemann zeta function», Selecta Mathematica. New Series 5 (1): 29–106, doi:10.1007/s000290050042 
• Connes, Alain (2000), «Noncommutative geometry and the Riemann zeta function», Mathematics: frontiers and perspectives, Providence, R.I.: American Mathematical Society, σελ. 35–54 
• Conrey, J. B. (1989), «More than two fifths of the zeros of the Riemann zeta function are on the critical line», J. Reine angew. Math. 399: 1–16, http://www.digizeitschriften.de/resolveppn/GDZPPN002206781, ανακτήθηκε στις 2014-06-27 
• Conrey, J. Brian (2003), «The Riemann Hypothesis», Notices of the American Mathematical Society: 341–353, http://www.ams.org/notices/200303/fea-conrey-web.pdf  Reprinted in (Borwein και άλλοι 2008).
• Conrey, J. B.; Li, Xian-Jin (2000), «A note on some positivity conditions related to zeta and L-functions», International Mathematics Research Notices 2000 (18): 929–940, doi:10.1155/S1073792800000489 
• Deligne, Pierre (1974), «La conjecture de Weil. I», Publications Mathématiques de l'IHÉS 43: 273–307, doi:10.1007/BF02684373, http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1974__43__273_0 
• Deligne, Pierre (1980), «La conjecture de Weil : II», Publications Mathématiques de l'IHÉS 52: 137–252, doi:10.1007/BF02684780, http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1980__52__137_0 
• Deninger, Christopher (1998), Some analogies between number theory and dynamical systems on foliated spaces, «Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Berlin, 1998)», Documenta Mathematica: 163–186, http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/documenta/xvol-icm/00/Deninger.MAN.html 
• Derbyshire, John (2003), Prime Obsession, Joseph Henry Press, Washington, DC, ISBN 978-0-309-08549-6 
• Dyson, Freeman (2009), «Birds and frogs», Notices of the American Mathematical Society 56 (2): 212–223, http://www.ams.org/notices/200902/rtx090200212p.pdf 
• Edwards, H. M. (1974), Riemann's Zeta Function, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-41740-0 
• Fesenko, Ivan (2010), «Analysis on arithmetic schemes. II», Journal of K-theory 5: 437–557, doi:10.1017/is010004028jkt103 
• Ford, Kevin (2002), «Vinogradov's integral and bounds for the Riemann zeta function», Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series 85 (3): 565–633, doi:10.1112/S0024611502013655 
• Franel, J.; Landau, E. (1924), «Les suites de Farey et le problème des nombres premiers" (Franel, 198–201); "Bemerkungen zu der vorstehenden Abhandlung von Herrn Franel (Landau, 202–206)», Göttinger Nachrichten: 198–206 
• Ghosh, Amit (1983), «On the Riemann zeta function—mean value theorems and the distribution of |S(T)|», J. Number Theory 17: 93–102, doi:10.1016/0022-314X(83)90010-0 
• Gourdon, Xavier (2004), The 10¹³ first zeros of the Riemann Zeta function, and zeros computation at very large height, http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zetazeros1e13-1e24.pdf 
• Gram, J. P. (1903), «Note sur les zéros de la fonction ζ(s) de Riemann», Acta Mathematica 27: 289–304, doi:10.1007/BF02421310 
• Hadamard, Jacques (1896), «Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques», Bulletin Société Mathématique de France 14: 199–220, http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1896__24__199_1  Reprinted in (Borwein και άλλοι 2008).
• Hardy, G. H. (1914), «Sur les Zéros de la Fonction ζ(s) de Riemann», C. R. Acad. Sci. Paris 158: 1012–1014, http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3111d.image.f1014.langEN  Reprinted in (Borwein και άλλοι 2008).
• Hardy, G. H.; Littlewood, J. E. (1921), «The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line», Math. Z. 10 (3–4): 283–317, doi:10.1007/BF01211614 
• Haselgrove, C. B. (1958), «A disproof of a conjecture of Pólya», Mathematika 5 (2): 141–145, doi:10.1112/S0025579300001480, ISSN 0025-5793,   Reprinted in (Borwein και άλλοι 2008).
• Haselgrove, C. B.; Miller, J. C. P. (1960), Tables of the Riemann zeta function, Royal Society Mathematical Tables, Vol. 6, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-06152-0  Review
• Hutchinson, J. I. (1925), «On the Roots of the Riemann Zeta-Function», Transactions of the American Mathematical Society 27 (1): 49–60, doi:10.2307/1989163 
• Ingham, A.E. (1990), The Distribution of Prime Numbers, Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, 30, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-39789-6 
• Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory (Second edition), New York: Springer, ISBN 0-387-97329-X 
• Ivić, A. (1985), The Riemann Zeta Function, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-80634-9  (Reprinted by Dover 2003)
• Ivić, Aleksandar (2008), «On some reasons for doubting the Riemann hypothesis», στο: Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan και άλλοι, επιμ., The Riemann Hypothesis: A Resource for the Afficionado and Virtuoso Alike, CMS Books in Mathematics, New York: Springer, σελ. 131–160, ISBN 978-0-387-72125-5 
• Karatsuba, A. A. (1984a), «Zeros of the function ζ(s) on short intervals of the critical line», Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 48 (3): 569–584 
• Karatsuba, A. A. (1984b), «Distribution of zeros of the function ζ(1/2 + it)», Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 48 (6): 1214–1224 
• Karatsuba, A. A. (1985), «Zeros of the Riemann zeta-function on the critical line», Trudy Mat. Inst. Steklov. (167): 167–178 
• Karatsuba, A. A. (1992), «On the number of zeros of the Riemann zeta-function lying in almost all short intervals of the critical line», Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Mat. 56 (2): 372–397 
• Karatsuba, A. A.; Voronin, S. M. (1992), The Riemann zeta-function, de Gruyter Expositions in Mathematics, 5, Berlin: Walter de Gruyter & Co., ISBN 978-3-11-013170-3 
• Keating, Jonathan P.; Snaith, N. C. (2000), «Random matrix theory and ζ(1/2 + it)», Communications in Mathematical Physics 214 (1): 57–89, doi:10.1007/s002200000261 
• Knauf, Andreas (1999), «Number theory, dynamical systems and statistical mechanics», Reviews in Mathematical Physics. A Journal for Both Review and Original Research Papers in the Field of Mathematical Physics 11 (8): 1027–1060, doi:10.1142/S0129055X99000325 
• von Koch, Helge (1901), «Sur la distribution des nombres premiers», Acta Mathematica 24: 159–182, doi:10.1007/BF02403071 
• Kurokawa, Nobushige (1992), «Multiple zeta functions: an example», Zeta functions in geometry (Tokyo, 1990), Adv. Stud. Pure Math., 21, Tokyo: Kinokuniya, σελ. 219–226 
• Lapidus, Michel L. (2008), In search of the Riemann zeros, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4222-5 
• «Zeta-function», Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Zeta-function 
• Lehmer, D. H. (1956), «Extended computation of the Riemann zeta-function», Mathematika. A Journal of Pure and Applied Mathematics 3 (2): 102–108, doi:10.1112/S0025579300001753 
• Leichtnam, Eric (2005), «An invitation to Deninger's work on arithmetic zeta functions», Geometry, spectral theory, groups, and dynamics, Contemp. Math., 387, Providence, RI: Amer. Math. Soc., σελ. 201–236 .
• Levinson, N. (1974), «More than one-third of the zeros of Riemann's zeta function are on σ = 1/2», Adv. In Math. 13 (4): 383–436, doi:10.1016/0001-8708(74)90074-7 
• Littlewood, J. E. (1962), «The Riemann hypothesis», The scientist speculates: an anthology of partly baked idea, New York: Basic books 
• van de Lune, J.; te Riele, H. J. J.; Winter, D. T. (1986), «On the zeros of the Riemann zeta function in the critical strip. IV», Mathematics of Computation 46 (174): 667–681, doi:10.2307/2008005 
• Massias, J.-P.; Nicolas, Jean-Louis; Robin, G. (1988), «Évaluation asymptotique de l'ordre maximum d'un élément du groupe symétrique», Polska Akademia Nauk. Instytut Matematyczny. Acta Arithmetica 50 (3): 221–242, http://matwbn.icm.edu.pl/tresc.php?wyd=6&tom=50&jez=, ανακτήθηκε στις 2014-06-27 
• Mazur, Barry; Stein, William (2014), Primes. What is Riemann's hypothesis?, http://modular.math.washington.edu/rh/, ανακτήθηκε στις 2014-06-27 
• Montgomery, Hugh L. (1973), «The pair correlation of zeros of the zeta function», Analytic number theory, Proc. Sympos. Pure Math., XXIV, Providence, R.I.: American Mathematical Society, σελ. 181–193  Reprinted in (Borwein και άλλοι 2008).
• Montgomery, Hugh L. (1983), «Zeros of approximations to the zeta function», στο: Erdős, Paul, επιμ., Studies in pure mathematics. To the memory of Paul Turán, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, σελ. 497–506, ISBN 978-3-7643-1288-6 
• Nicely, Thomas R. (1999), «New maximal prime gaps and first occurrences», Mathematics of Computation 68 (227): 1311–1315, doi:10.1090/S0025-5718-99-01065-0, http://www.trnicely.net/gaps/gaps.html, ανακτήθηκε στις 2014-06-27 .
• Nyman, Bertil (1950), On the One-Dimensional Translation Group and Semi-Group in Certain Function Spaces, PhD Thesis, University of Uppsala: University of Uppsala 
• Odlyzko, A. M.; te Riele, H. J. J. (1985), «Disproof of the Mertens conjecture», Journal für die reine und angewandte Mathematik 357: 138–160, doi:10.1515/crll.1985.357.138, http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=262633, ανακτήθηκε στις 2014-06-27 
• Odlyzko, A. M. (1987), «On the distribution of spacings between zeros of the zeta function», Mathematics of Computation 48 (177): 273–308, doi:10.2307/2007890 
• Odlyzko, A. M. (1990), «Bounds for discriminants and related estimates for class numbers, regulators and zeros of zeta functions: a survey of recent results», Séminaire de Théorie des Nombres de Bordeaux, Série 2 2 (1): 119–141, doi:10.5802/jtnb.22, http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1990__2_1_119_0 
• Odlyzko, A. M. (1992), The 10²⁰-th zero of the Riemann zeta function and 175 million of its neighbors, http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/unpublished/zeta.10to20.1992.pdf  This unpublished book describes the implementation of the algorithm and discusses the results in detail.
• Odlyzko, A. M. (1998), The 10²¹st zero of the Riemann zeta function, http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/unpublished/zeta.10to21.pdf 
• Ono, Ken; Soundararajan, K. (1997), «Ramanujan's ternary quadratic form», Inventiones Mathematicae 130 (3): 415–454, doi:10.1007/s002220050191 
• Patterson, S. J. (1988), An introduction to the theory of the Riemann zeta-function, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 14, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33535-5 
• Ribenboim, Paulo (1996), The New Book of Prime Number Records, New York: Springer, ISBN 0-387-94457-5 
• Riemann, Bernhard (1859), «Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse», Monatsberichte der Berliner Akademie, http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Zeta/ . In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953). Original manuscript (with English translation). Reprinted in (Borwein και άλλοι 2008) and (Edwards 1874)
• Riesel, Hans; Göhl, Gunnar (1970), «Some calculations related to Riemann's prime number formula», Mathematics of Computation 24 (112): 969–983, doi:10.2307/2004630 
• Riesz, M. (1916), «Sur l'hypothèse de Riemann», Acta Mathematica 40: 185–190, doi:10.1007/BF02418544 
• Robin, G. (1984), «Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Neuvième Série 63 (2): 187–213 
• Rockmore, Dan (2005), Stalking the Riemann hypothesis, Pantheon Books, ISBN 978-0-375-42136-5, https://archive.org/details/stalkingriemannh00danr 
• Rosser, J. Barkley; Yohe, J. M.; Schoenfeld, Lowell (1969), «Rigorous computation and the zeros of the Riemann zeta-function. (With discussion)», Information Processing 68 (Proc. IFIP Congress, Edinburgh, 1968), Vol. 1: Mathematics, Software, Amsterdam: North-Holland, σελ. 70–76 
• Rudin, Walter (1973), Functional Analysis, 1st edition (January 1973), New York: McGraw-Hill, ISBN 0-070-54225-2 
• Sabbagh, Karl (2003), The Riemann hypothesis, Farrar, Straus and Giroux, New York, ISBN 978-0-374-25007-2, https://archive.org/details/riemannhypothesi00sabb 
• Salem, Raphaël (1953), «Sur une proposition équivalente à l'hypothèse de Riemann», Les Comptes rendus de l'Académie des sciences 236: 1127–1128 
• Sarnak, Peter (2008), «Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis», στο: Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan και άλλοι, επιμ., The Riemann Hypothesis: A Resource for the Afficionado and Virtuoso Alike, CMS Books in Mathematics, New York: Springer, σελ. 107–115, ISBN 978-0-387-72125-5, http://www.claymath.org/sites/default/files/sarnak_rh_0.pdf, ανακτήθηκε στις 2014-06-27 
• du Sautoy, Marcus (2003), The music of the primes, HarperCollins Publishers, ISBN 978-0-06-621070-4, https://archive.org/details/musicofprimessea00dusa 
• Schoenfeld, Lowell (1976), «Sharper bounds for the Chebyshev functions θ(x) and ψ(x). II», Mathematics of Computation 30 (134): 337–360, doi:10.2307/2005976 
• Schumayer, Daniel; Hutchinson, David A. W. (2011), Physics of the Riemann Hypothesis 
• Selberg, Atle (1942), «On the zeros of Riemann's zeta-function», Skr. Norske Vid. Akad. Oslo I. 10: 59 pp 
• Selberg, Atle (1946), «Contributions to the theory of the Riemann zeta-function», Arch. Math. Naturvid. 48 (5): 89–155 
• Selberg, Atle (1956), «Harmonic analysis and discontinuous groups in weakly symmetric Riemannian spaces with applications to Dirichlet series», J. Indian Math. Soc. (N.S.) 20: 47–87 
• Serre, Jean-Pierre (1970), «Facteurs locaux des fonctions zeta des varietés algébriques (définitions et conjectures)», Séminaire Delange-Pisot-Poitou 19 
• Sheats, Jeffrey T. (1998), «The Riemann hypothesis for the Goss zeta function for F_q[T]», Journal of Number Theory 71 (1): 121–157, doi:10.1006/jnth.1998.2232 
• Siegel, C. L. (1932), «Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie», Quellen Studien zur Geschichte der Math. Astron. und Phys. Abt. B: Studien 2: 45–80  Reprinted in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966.
• Speiser, Andreas (1934), «Geometrisches zur Riemannschen Zetafunktion», Mathematische Annalen 110: 514–521, doi:10.1007/BF01448042, http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0110&DMDID=DMDLOG_0032&L=1, ανακτήθηκε στις 2014-06-27 
• Stein, William; Mazur, Barry (2007), What is Riemann’s Hypothesis?, http://modular.math.washington.edu/edu/2007/simuw07/notes/rh.pdf, ανακτήθηκε στις 2014-06-27 
• Suzuki, Masatoshi (2011), «Positivity of certain functions associated with analysis on elliptic surfaces», Journal of Number Theory 131: 1770–1796, doi:10.1016/j.jnt.2011.03.007 
• Titchmarsh, Edward Charles (1935), «The Zeros of the Riemann Zeta-Function», Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences (The Royal Society) 151 (873): 234–255, doi:10.1098/rspa.1935.0146 
• Titchmarsh, Edward Charles (1936), «The Zeros of the Riemann Zeta-Function», Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences (The Royal Society) 157 (891): 261–263, doi:10.1098/rspa.1936.0192 
• Titchmarsh, Edward Charles (1986), The theory of the Riemann zeta-function (2nd έκδοση), The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853369-6 
• Trudgian, Timothy (2011), «On the success and failure of Gram's Law and the Rosser Rule», Acta Arithmetica 125: 225–256 
• Turán, Paul (1948), «On some approximative Dirichlet-polynomials in the theory of the zeta-function of Riemann», Danske Vid. Selsk. Mat.-Fys. Medd. 24 (17): 36  Reprinted in (Borwein και άλλοι 2008).
• Turing, Alan M. (1953), «Some calculations of the Riemann zeta-function», Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series 3: 99–117, doi:10.1112/plms/s3-3.1.99 
• de la Vallée-Poussin, Ch.J. (1896), «Recherches analytiques sur la théorie des nombers premiers», Ann. Soc. Sci. Bruxelles 20: 183–256 
• de la Vallée-Poussin, Ch.J. (1899–1900), «Sur la fonction ζ(s) de Riemann et la nombre des nombres premiers inférieurs à une limite donnée», Mem. Couronnes Acad. Sci. Belg. 59 (1)  Reprinted in (Borwein και άλλοι 2008).
• Weil, André (1948), Sur les courbes algébriques et les variétés qui s'en déduisent, Actualités Sci. Ind., no. 1041 = Publ. Inst. Math. Univ. Strasbourg 7 (1945), Hermann et Cie., Paris 
• Weil, André (1949), «Numbers of solutions of equations in finite fields», Bulletin of the American Mathematical Society 55 (5): 497–508, doi:10.1090/S0002-9904-1949-09219-4  Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by Andre Weil ISBN 0-387-90330-5
• Weinberger, Peter J. (1973), «On Euclidean rings of algebraic integers», Analytic number theory ( St. Louis Univ., 1972), Proc. Sympos. Pure Math., 24, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., σελ. 321–332 
• Wiles, Andrew (2000), «Twenty years of number theory», Mathematics: frontiers and perspectives, Providence, R.I.: American Mathematical Society, σελ. 329–342, ISBN 978-0-8218-2697-3 
• Zagier, Don (1977), «The first 50 million prime numbers», Math. Intelligencer (Springer) 0: 7–19, doi:10.1007/BF03039306, http://modular.math.washington.edu/edu/2007/simuw07/misc/zagier-the_first_50_million_prime_numbers.pdf, ανακτήθηκε στις 2014-06-27 
• Zagier, Don (1981), «Eisenstein series and the Riemann zeta function», Automorphic forms, representation theory and arithmetic (Bombay, 1979), Tata Inst. Fund. Res. Studies in Math., 10, Tata Inst. Fundamental Res., Bombay, σελ. 275–301 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• American institute of mathematics, Riemann hypothesis
• Apostol, Tom, Where are the zeros of zeta of s?, http://www.math.wisc.edu/~robbin/funnysongs.html#Zeta  Poem about the Riemann hypothesis, sung by John Derbyshire.
• Borwein, Peter, The Riemann Hypothesis, http://oldweb.cecm.sfu.ca/~pborwein/COURSE/MATH08/LECTURE.pdf, ανακτήθηκε στις 2014-06-29  (Slides for a lecture)
• Conrad, K. (2010), Consequences of the Riemann hypothesis, http://mathoverflow.net/questions/17232 
• Conrey, J. Brian; Farmer, David W, Equivalences to the Riemann hypothesis, http://aimath.org/pl/rhequivalences, ανακτήθηκε στις 2014-06-29 
• Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal (2004), Computation of zeros of the Zeta function, http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zetazeroscompute.html  (Reviews the GUE hypothesis, provides an extensive bibliography as well).
• Odlyzko, Andrew, Home page, http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/  including papers on the zeros of the zeta function and tables of the zeros of the zeta function
• Odlyzko, Andrew (2002), Zeros of the Riemann zeta function: Conjectures and computations, http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/talks/riemann-conjectures.pdf  Slides of a talk
• Pegg, Ed (2004), Ten Trillion Zeta Zeros, Math Games website, http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_10_18_04.html, ανακτήθηκε στις 2014-06-29 . A discussion of Xavier Gourdon's calculation of the first ten trillion non-trivial zeros
• Pugh, Glen, Java applet for plotting Z(t), http://web.viu.ca/pughg/RiemannZeta/RiemannZetaLong.html, ανακτήθηκε στις 2014-06-29 
• Rubinstein, Michael, algorithm for generating the zeros, http://pmmac03.math.uwaterloo.ca/~mrubinst/l_function_public/L.html, ανακτήθηκε στις 2014-06-29 .
• du Sautoy, Marcus (2006), Prime Numbers Get Hitched, Seed Magazine, http://www.seedmagazine.com/news/2006/03/prime_numbers_get_hitched.php, ανακτήθηκε στις 2014-06-29 
• Stein, William A., What is Riemann's hypothesis, http://modular.math.washington.edu/edu/2007/simuw07/index.html, ανακτήθηκε στις 2014-06-29 
• de Vries, Andreas (2004), The Graph of the Riemann Zeta function ζ(s), http://math-it.org/Mathematik/Riemann/RiemannApplet.html , a simple animated Java applet.
• Watkins, Matthew R. (2007-07-18), Proposed proofs of the Riemann Hypothesis, http://secamlocal.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/RHproofs.htm 
• Zetagrid (2002) A distributed computing project that attempted to disprove Riemann's hypothesis; closed in November 2005