Μιγαδική ανάλυση

Η μιγαδική ανάλυση, γνωστή παραδοσιακά ως η θεωρία των συναρτήσεων των μιγαδικών μεταβλητών, είναι ο κλάδος της μαθηματικής ανάλυσης που ερευνά τις συναρτήσεις των μιγαδικών αριθμών. Είναι χρήσιμη σε πολλούς κλάδους των μαθηματικών, συμπεριλαμβανομένης της αλγεβρικής γεωμετρίας, της θεωρίας των αριθμών, της συνδυαστικής αναλυτικής, των εφαρμοσμένων μαθηματικών, όπως επίσης και στη φυσική, συμπεριλαμβανομένης της υδροδυναμικής και της θερμοδυναμικής, και επίσης σε τομείς της μηχανικής όπως η πυρηνική, η αεροδιαστημική, η μηχανολογική και η ηλεκτρολογική μηχανική.

Τρισδιάστατο διάγραμμα της απόλυτης τιμής της μιγαδικής συνάρτησης γάμμα

Ο Murray R. Spiegel περιέγραψε την ανάλυση μιγαδικών αριθμών ως «έναν από τους πιο όμορφους, όπως επίσης και από τους πιο χρήσιμους κλάδους των Μαθηματικών».

Η μιγαδική ανάλυση ασχολείται ιδιαίτερα με τις αναλυτικές ( ή ολομορφικές) συναρτήσεις των μιγαδικών μεταβλητών (ή πιο γενικά, με τις μερόμορφες συναρτήσεις). Επειδή τα ξεχωριστά πραγματικά και φανταστικά μέρη μίας αναλυτικής συνάρτησης πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση του Laplace, η μαθηματική ανάλυση εφαρμόζεται ευρέως σε δισδιάστατα προβλήματα στη φυσική.

Ιστορία

Η ανάλυση μιγαδικών αριθμών είναι ένας από τους κλασικούς κλάδους των Μαθηματικών με ρίζες στον 19ο αιώνα και λίγο προγενέστερα. Σημαντικοί μαθηματικοί που σχετίζονται με την μιγαδική ανάλυση περιλαμβάνουν τους Λέοναρντ Όιλερ, Καρλ Φρίντριχ Γκάους, Μπέρναρντ Ρίμαν, Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ, Weierstrass και πολλούς ακόμη στον 20ό αιώνα. Η ανάλυση μιγαδικών αριθμών, συγκεκριμένα η θεωρία των σύμμορφων απεικονίσεων, έχει πολλές εφαρμογές στη φυσική και χρησιμοποιείται επίσης στην αναλυτική θεωρία αριθμών. Στη σύγχρονη εποχή έχει γίνει πολύ δημοφιλής μέσω μίας νέας ώθησης από την δυναμική των μιγαδικών αριθμώνκαι τις εικόνες των μορφοκλασματικών, που δημιουργούνται από επαναλαμβανόμενες ολομορφικές συναρτήσεις. Μία ακόμη σημαντική εφαρμογή της μιγαδικής ανάλυσης είναι η θεωρία των χορδών που μελετά σύμμορφες σταθερές στην κβαντική θεωρία.

Μιγαδικές συναρτήσεις

Μιγαδική συνάρτηση είναι αυτή στην οποία η ανεξάρτητη μεταβλητή και η εξαρτημένη μεταβλητή είναι και οι δύο μιγαδικοί αριθμοί. Πιο συγκεκριμένα, μία μιγαδική συνάρτηση είναι μία συνάρτηση της οποίας το πεδίο ορισμού και το πεδίο τιμών είναι υποσύνολα του μιγαδικού επιπέδου (χώρου).

Για οποιαδήποτε μιγαδική συνάρτηση και η ανεξάρτητη μεταβλητή και η εξαρτημένη μεταβλητή μπορεί να διαιρεθούν σε πραγματικά και φανταστικά μέρη:

z = x + iy και

w = f (z) = u (x, y) + iv (x, y)

όπου x, y∈ℝ και u (x, y), v (x, y) είναι πραγματικές συναρτήσεις.

Με άλλα λόγια, τα μέρη της συνάρτησης f (z),

u = u (x, y) and

v = v (x, y)

μπορούν να θεωρηθούν πραγματικές συναρτήσεις των δύο πραγματικών μεταβλητών, x and y.

Η βασικές ιδέες της μιγαδικής ανάλυσης συχνά παρουσιάζονται με την επέκταση των στοιχειωδών πραγματικών συναρτήσεων (για παράδειγμα, εκθετικές συναρτήσεις, λογαριθμικές συναρτήσεις και τριγωνομετρικές συναρτήσεις) στο πεδίο των μιγαδικών αριθμών.

Ολομορφικές συναρτήσεις

Οι ολομορφικές συναρτήσεις είναι μιγαδικές συναρτήσεις, ορισμένες σε ένα ανοιχτό υποσύνολο του μιγαδικού επιπέδου,που είναι διαφορίσιμες. Η μιγαδική διαφορισιμότητα έχει πολύ σημαντικότερες συνέπειες από την συνηθισμένη (πραγματική) διαφορισιμότητα. Για παράδειγμα, οι ολομορφικές συναρτήσεις είναι άπειρα διαφορίσιμες, ενώ οι περισσότερες πραγματικές διαφορίσιμες συναρτήσεις δεν είναι. Οι περισσότερες στοιχειώδεις συναρτήσεις, συμπεριλαμβανομένης της εκθετικής συνάρτησης, των τριγωνομετρικών συναρτήσεων και των πολυωνυμικών συναρτήσεων, είναι ολομορφικές.

Βασικά συμπεράσματα (αποτελέσματα)

Ένα από τα κεντρικά (βασικά) εργαλεία της ανάλυσης μιγαδικών αριθμών είναι το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα. Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα κατά μήκος μίας κλειστής καμπύλης μίας συνάρτησης που είναι ολομορφική παντού εντός της περιοχής που περιβάλλεται από την κλειστή καμπύλη είναι πάντα 0, όπως δηλώνει το θεώρημα των ολοκληρωμάτων του Cauchy. Οι τιμές μίας τέτοιας ολομορφικής συνάρτησης μέσα σε ένα δίσκο μπορούν να υπολογιστούν μέσω ενός επικαμπύλιου ολοκληρώματος στα όρια του δίσκου, όπως φαίνεται στην φόρμουλα ολοκληρωμάτων του Cauchy. Τα επικαμπύλια ολοκληρώματα στο πεδίο των μιγαδικών συχνά χρησιμοποιούνται για να ορίσουν περίπλοκα πραγματικά ολοκληρώματα, και εδώ εφαρμόζεται μεταξύ άλλων η θεωρία των ολοκληρωτικών υπολοίπων (μέθοδοι επικαμπύλιας ολοκλήρωσης). Ένας "πόλος" (ή μεμονομένο σημείο ανωμαλίας) μίας συνάρτησης είναι ένα σημείο όπου η τιμή της συνάρτησης γίνεται άπειρη. Αν μία συνάρτηση έχει ένα τέτοιο πόλο τότε κάποιος μπορεί να υπολογίσει εκεί το ολοκληρωτικό υπόλοιπο της συνάρτησης, κάτι που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υπολογιστούν επικαμπύλια ολοκληρώματα σχετικά με την συνάρτηση. Αυτό είναι το περιεχόμενο του ισχυρού θεωρήματος των ολοκληρωτικών υπολοίπων. Η αξιοσημείωτη συμπεριφορά των ολομορφικών συναρτήσεων κοντά σε ουσιώδη σημεία ανωμαλίας περιγράφεται στο θεώρημα του Picard. Συναρτήσεις που έχουν μόνο πόλους αλλά όχι ουσιώδη σημεία ανωμαλίας ονομάζονται μερόμορφες. Η σειρά Laurent είναι το μιγαδικό ισοδύναμο της σειράς Taylor, αλλά μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να μελετήσουμε την συμπεριφορά των συναρτήσεων κοντά σε σημεία ανωμαλίας μέσα από άπειρα σύνολα περισσότερο κατανοητών συναρτήσεων, όπως οι πολυωνυμικές.

Μία φραγμένη συνάρτηση που είναι ολομορφική σε όλο το μιγαδικό πεδίο είναι σταθερή, αυτό είναι το θεώρημα του Liouville. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δώσει μία λογική και σύντομη απόδειξη για το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας που λέει ότι το πεδίο των μιγαδικών αριθμών είναι αλγεβρικά κλειστό.

Αν μία συνάρτηση είναι ολομορφική σε ένα συνεκτικό πεδίο τότε οι τιμές της προσδιορίζονται πλήρως από τις τιμές της σε οποιοδήποτε μικρότερο υποπεδίο. Η συνάρτηση στο μεγαλύτερο πεδίο συνεχίζεται κανονικά από τις τιμές στο μικρότερο πεδίο. Αυτό επιτρέπει στην επέκταση του ορισμού των συναρτήσεων όπως η συνάρτηση ζήτα του Riemann οι οποίες αρχικά ορίζονται ως άπειρα σύνολα που συγκλίνουν μόνο σε περιορισμένα πεδία σε όλο το μιγαδικό πεδίο. Μερικές φορές, όπως στην περίπτωση του φυσικού λογάριθμου, είναι αδύνατον να συνεχίσουμε αναλυτικά μία ολομορφική συνάρτηση σε ένα περίπλοκο συνεκτικό πεδίο, αλλά είναι πιθανό να το επεκτείνουμε σε μία ολομορφική συνάρτηση σε μία κοντινή επιφάνεια γνωστή ως επιφάνεια Riemann.

Όλα αυτά αναφέρονται στην ανάλυση μιγαδικών αριθμών με μία μεταβλητή. Υπάρχει επίσης μία πλούσια θεωρία για την ανάλυση μιγαδικών αριθμών σε περισσότερες από μία μιγαδικές διαστάσεις στις οποίες οι αναλυτικές ιδιότητες όπως το ανάπτυγμα δυναμοσειράς συνεχίζονται ενώ οι περισσότερες από τις γεωμετρικές ιδιότητες των ολομορφικών συναρτήσεων σε μία μιγαδική διάσταση (όπως η συμμορφία) δε συνεχίζονται. Το θεώρημα των απεικονίσεων του Riemann για την σύμμορφη θέση συγκεκριμένων πεδίων στο μιγαδικό επίπεδο που μπορεί να είναι το σημαντικότερο αποτέλεσμα στην μονοδιάστατη θεωρία αποτυγχάνει σημαντικά σε υψηλότερες διαστάσεις.

Πηγές

• Ablowitz, M. J. & A. S. Fokas, Complex Variables: Introduction and Applications (Cambridge, 2003).
• Ahlfors, L., Complex Analysis (McGraw-Hill, 1953).
• Cartan, H., Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes. (Hermann, 1961). English translation, Elementary Theory of Analytic Functions of One or Several Complex Variables. (Addison-Wesley, 1963).
• Carathéodory, C., Funktionentheorie. (Birkhäuser, 1950). English translation, Theory of Functions of a Complex Variable (Chelsea, 1954). [2 volumes.]
• Carrier, G. F., M. Krook, & C. E. Pearson, Functions of a Complex Variable: Theory and Technique. (McGraw-Hill, 1966).
• Conway, J. B., Functions of One Complex Variable. (Springer, 1973).
• Fisher, S., Complex Variables. (Wadsworth & Brooks/Cole, 1990).
• Forsyth, A., Theory of Functions of a Complex Variable (Cambridge, 1893).
• Freitag, E. & R. Busam, Funktionentheorie. (Springer, 1995). English translation, Complex Analysis. (Springer, 2005).
• Goursat, E., Cours d'analyse mathématique, tome 2. (Gauthier-Villars, 1905). English translation, A course of mathematical analysis, vol. 2, part 1: Functions of a complex variable. (Ginn, 1916).
• Henrici, P., Applied and Computational Complex Analysis (Wiley). [Three volumes: 1974, 1977, 1986.]
• Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics. (Wiley, 1962).
• Lavrentyev, M. & B. Shabat, Методы теории функций комплексного переменного. (Methods of the Theory of Functions of a Complex Variable). (1951, in Russian).
• Markushevich, A. I., Theory of Functions of a Complex Variable, (Prentice-Hall, 1965). [Three volumes.]
• Marsden & Hoffman, Basic Complex Analysis. (Freeman, 1973).
• Needham, T., Visual Complex Analysis. (Oxford, 1997). http://usf.usfca.edu/vca/
• Remmert, R., Theory of Complex Functions. (Springer, 1990).
• Rudin, W., Real and Complex Analysis. (McGraw-Hill, 1966).
• Shaw, W. T., Complex Analysis with Mathematica (Cambridge, 2006).
• Stein, E. & R. Shakarchi, Complex Analysis. (Princeton, 2003).
• Sveshnikov, A. G. & A. N. Tikhonov, Теория функций комплексной переменной. (Nauka, 1967). English translation, The Theory Of Functions Of A Complex Variable (MIR, 1978).
• Titchmarsh, E. C., The Theory of Functions. (Oxford, 1932).
• Wegert, E., Visual Complex Functions. (Birkhäuser, 2012).
• Whittaker, E. T. & G. N. Watson, A Course of Modern Analysis. (Cambridge, 1902). 3rd ed. (1920)