Θεωρία αριθμών

Θεωρία Αριθμών είναι ο κλάδος των Θεωρητικών μαθηματικών, που ασχολείται με τις ιδιότητες των ακεραίων αριθμών, καθώς και με προβλήματα που προκύπτουν από τη μελέτη αυτή.

Η σύγχρονη θεωρία αριθμών προέρχεται από την αρχαία ελληνική αριθμητική του Διόφαντου.1 Σελίδα τίτλου της αριθμητικής του Διόφαντου μεταφρασμένη στα λατινικά από τον Μπασέ ντε Μεζιριάκ, έκδοση που σχολιάστηκε από τον Πιερ ντε Φερμά και δημοσιεύθηκε το 1670.

Ανάλογα από το είδος των προβλημάτων και από τις μεθόδους επίλυσής τους η Θεωρία Αριθμών χωρίζεται σε επιμέρους κλάδους.

Η Θεωρία Αριθμών, από τη σκοπιά του ευρύτερου κλάδου της Άλγεβρας, συχνά αποκαλείται ως Αριθμητική.

Σημαντικοί κλάδοι της θεωρίας αριθμών είναι η Αλγεβρική Θεωρία Αριθμών, η Αναλυτική Θεωρία Αριθμών, η Γεωμετρική Θεωρία Αριθμών, η Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και η Πιθανοθεωρητική Θεωρία Αριθμών.

Η Στοιχειώδης Θεωρία Αριθμών ασχολείται με τη μελέτη του δακτυλίου των ακεραίων αριθμών και επεκτάσεών του χωρίς όμως τη χρήση εργαλείων από άλλους κλάδους των μαθηματικών.

Σημαντικά θεωρήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι το Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής, το Μικρό θεώρημα του Φερμά, το θεώρημα του Όιλερ και το Κινεζικό Θεώρημα Υπολοίπων. Εξέχουσα θέση κατέχει επίσης το έργο του γερμανού μαθηματικού επιστήμονα Καρλ Φρίντριχ Γκάους, το οποίο αποτέλεσε τομή στην Ιστορία των Μαθηματικών.

Βασικό αντικείμενο μελέτης της θεωρίας αριθμών είναι οι πρώτοι αριθμοί.

Η θεωρία αριθμών βρίσκει ευρεία εφαρμογή στην Κρυπτογραφία.

Ο γνωστός και διακεκριμένος μαθηματικός Καρλ Φρίντριχ Γκάους, ανέφερε ότι «τα μαθηματικά είναι η βασίλισσα των επιστημών και η θεωρία αριθμών η βασίλισσα των μαθηματικών».

Κριτήρια διαιρετότητας

Η μελέτη της στοιχειώδους θεωρίας αριθμών μπορεί να μας δώσει κάποια κριτήρια διαιρετότητας για τους ακεραίους. Για παράδειγμα ένας αριθμός διαιρείται με το 5 αν το τελευταίο του ψηφίο διαιρείται με το 5, δηλ. είναι 0 ή 5. Ένας αριθμός διαιρείται με το 2 (είναι άρτιος) αν το τελευταίο του ψηφίο διαιρείται με το 2, δηλ. είναι 0, 2, 4, 6, 8. Ένας αριθμός διαιρείται με το 4 αν τα δύο τελευταία του ψηφία διαιρούνται με το 4· με το 8 αν τα τρία τελευταία του ψηφία διαιρούνται με το 8.

Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι ένας αριθμός διαιρείται με το 3 αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3. Αντίστοιχο κριτήριο ισχύει και για το 9.

Ένας αριθμός διαιρείται με το 7 αν: αποσπάσουμε το τελευταίο ψηφίο και αφαιρέσουμε το διπλάσιό του από τον αριθμό που σχηματίζεται από τα ψηφία που έμειναν και δούμε ότι είναι πολλαπλάσιο του 7. Για παράδειγμα, το 5537 διαιρείται με το 7; διπλασιάζω το τελευταίο ψηφίο 7 και το αφαιρώ από το 553: 553 - 7 x 2 = 539. Το 539 διαιρείται με το 7; 53 - 9 x 2 = 35. To 35 διαιρείται με το 7; ναι, άρα και το 539, όπως και το 5537. Το αποτελέσμα πρέπει να είναι σε απολύτη τιμή διότι αν θέλουμε να ακολουθήσουμε την παραπάνω διαδικασία με το αριθμό 119 για παράδειγμα, έχουμε 9 x 2 = 18. Άρα πρέπει απο το υπόλοιπο του αριθμού (δηλαδή το 11) να αφαιρέσουμε το 18, όμως 11 - 18 = -7. Άρα στην εξίσωση το υπόλοιπο μπαίνει σε απόλυτη τιμή. (11 - 18 = |-7| => |-7| = 7, όπου ναι το 7 διαιρείται με τον εαυτό του)

Ένας αριθμός διαιρείται με το 6 αν διαιρείται με το 2 και με το 3. Όμοια για τους σύνθετους αριθμούς· ώστε αρκεί να βρούμε κριτήρια για τους πρώτους αριθμούς. Ένας αριθμός διαιρείται με το 11 αν τα ψηφία του προστεθούν και αφαιρεθούν εναλλάξ και ο αριθμός που προκύπτει διαιρείται με το 11. Για παράδειγμα το 613261 δίνει +6-1+3-2+6-1 = 11, που διαιρείται με το 11, άρα και ο αρχικός αριθμός.

Τα κριτήρια αυτά μας βοηθάνε να κάνουμε υπολογισμούς χρήσιμους στη Θεωρία Αριθμών ταχύτερα.

Ιστορία

Η θεωρία των αριθμών στην Αρχαιότητα και τον Μεσαίωνα

Η πρώτη γραπτή μαρτυρία για τη θεωρία των αριθμών χρονολογείται γύρω στο 2000 π.Χ. Εκείνη την εποχή, οι Βαβυλώνιοι και οι Αιγύπτιοι ήταν ήδη εξοικειωμένοι με τους αριθμούς κάτω του ενός εκατομμυρίου, τα τετράγωνα και ορισμένα πυθαγόρεια τρίγωνα.

Ωστόσο, η συστηματική ανάπτυξη της θεωρίας των αριθμών δεν άρχισε παρά την πρώτη χιλιετία π.Χ. στην Αρχαία Ελλάδα. Ο σημαντικότερος εκπρόσωπός της ήταν ο Ευκλείδης (περίπου 300 π.Χ.), ο οποίος εισήγαγε στη θεωρία των αριθμών τη μέθοδο της μαθηματικής απόδειξης που επινόησε ο Πυθαγόρας. Το πιο διάσημο έργο του, τα Στοιχεία, χρησιμοποιήθηκε ως το βασικό εγχειρίδιο γεωμετρίας και θεωρίας των αριθμών μέχρι τον 18ο αιώνα. Οι τόμοι 7, 8 και 9 ασχολούνται με θέματα της θεωρίας των αριθμών, συμπεριλαμβανομένου του ορισμού του πρώτου αριθμού, μιας μεθόδου για τον υπολογισμό του μεγαλύτερου κοινού διαιρέτη (αλγόριθμος του Ευκλείδη) και της απόδειξης της ύπαρξης άπειρου αριθμού πρώτων αριθμών (θεώρημα του Ευκλείδη).

Τον τρίτο αιώνα μ.Χ., ο Έλληνας μαθηματικός Διόφαντος από την Αλεξάνδρεια ήταν ο πρώτος που ενδιαφέρθηκε για τις εξισώσεις που αργότερα θα έφεραν το όνομά του, τις οποίες προσπάθησε να αναγάγει σε γνωστές περιπτώσεις με γραμμικές αντικαταστάσεις. Με τον τρόπο αυτό, κατάφερε να λύσει έναν αριθμό απλών εξισώσεων. Το κύριο έργο του Διοφάντη είναι τα Αριθμητικά.

Οι Έλληνες έθεσαν πολλά σημαντικά αριθμητικά ερωτήματα - ορισμένα από τα οποία παραμένουν άλυτα μέχρι σήμερα (όπως το πρόβλημα των δίδυμων πρώτων αριθμών και το πρόβλημα των τέλειων αριθμών) ή χρειάστηκαν πολλοί αιώνες για να λυθούν, και τα οποία είναι υποδειγματικά για την ανάπτυξη της θεωρίας των αριθμών.

Με την πτώση των ελληνικών κρατών, η χρυσή εποχή της θεωρίας των αριθμών στην Ευρώπη έφτασε στο τέλος της. Το μόνο όνομα που αξίζει να αναφερθεί από αυτή την περίοδο είναι ο Λεονάρντο ντι Πίζα (Φιμπονάτσι, γύρω στο 1200 μ.Χ.).

Η θεωρία των αριθμών στην πρώιμη σύγχρονη εποχή

Ο Πιερ ντε Φερμά

Ο πρώτος σημαντικός εκφραστής της θεωρίας των αριθμών στη σύγχρονη εποχή ήταν ο Πιερ ντε Φερμά (1607-1665). Απέδειξε το μικρό θεώρημα του Φερμά, μελέτησε την αναπαραστασιμότητα ενός αριθμού ως άθροισμα δύο τετραγώνων και εφηύρε τη μέθοδο της άπειρης καθόδου, με την οποία κατάφερε να λύσει το μεγάλο θεώρημα του Φερμά, το οποίο τεκμηρίωσε στην περίπτωση $n=4$. Η προσπάθειά του να λύσει το μεγάλο θεώρημα γενικά ενέπνευσε τις μεθόδους της θεωρίας των αριθμών στους αιώνες που ακολούθησαν, μέχρι και τη σύγχρονη εποχή.

Στον 18ο αιώνα η θεωρία των αριθμών καθορίστηκε κυρίως από τρεις μαθηματικούς: Οι Λέοναρντ Όιλερ (1707-1783), Ζοζέφ-Λουί Λαγκράνζ (1736-1813) και Αντριέν-Μαρί Λεζάντρ (1752-1833).

Το έργο του Όιλερ είναι τεράστιο και μπορούμε να αναφέρουμε εδώ μόνο ένα μικρό μέρος της δραστηριότητάς του στη θεωρία των αριθμών. Εισήγαγε αναλυτικές μεθόδους στη θεωρία των αριθμών και έτσι βρήκε μια νέα απόδειξη για το άπειρο του συνόλου των πρώτων αριθμών. Επινόησε αριθμοθεωρητικές συναρτήσεις, ιδίως τη συνάρτηση φ του Όιλερ, μελέτησε τις κατατμήσεις και, 100 χρόνια πριν από τον Μπέρνχαρντ Ρίμαν, εξέτασε τη συνάρτηση ζήτα του Ρίμαν. Ανακάλυψε το νόμο της τετραγωνικής αμοιβαιότητας (αλλά δεν μπόρεσε να τον αποδείξει), έδειξε ότι ο αριθμός e του Όιλερ $e$ είναι ανορθολογικός και έλυσε το μεγάλο θεώρημα του Φερμά στην περίπτωση $n=3$..

Ο Λαγκράνζ απέδειξε το θεώρημα του Γουίλσον, θεμελίωσε τη συστηματική θεωρία της εξίσωσης του Πελ και τη θεωρία των τετραγωνικών μορφών, η οποία δεν ολοκληρώθηκε μέχρι το πρώτο μισό του 20ού αιώνα.

Ο Λέοναρντ Όιλερ

Ο Λεζάντρ εισήγαγε το σύμβολο Λεζάντρ στη θεωρία των αριθμών και διατύπωσε τον τετραγωνικό νόμο αμοιβαιότητας στη σημερινή του μορφή. Ωστόσο, η απόδειξή του χρησιμοποίησε το άπειρο του συνόλου των πρώτων αριθμών στην αριθμητική πρόοδο, το οποίο δεν αποδείχθηκε μέχρι το 1832 από τον Πέτερ Γκούσταβ Λεζέν Ντιριχλέ.

Η επόμενη σημαντική ανακάλυψη στην ιστορία της θεωρίας των αριθμών ήρθε με το έργο του Καρλ Φρίντριχ Γκάους (1777-1855). Ο Γκάους ήταν ο πρώτος που έδωσε πλήρεις αποδείξεις (έξι διαφορετικές) του νόμου της τετραγωνικής αμοιβαιότητας. Ανέπτυξε τη θεωρία των τετραγωνικών μορφών του Λεζάντρ και τη μετέτρεψε σε πλήρη θεωρία. Δημιούργησε την αριθμητική των σωμάτων τετραγωνικών αριθμών, παραμένοντας ριζωμένος στην εννοιολόγηση των τετραγωνικών μορφών. Έτσι επινόησε τον νόμο της διάσπασης των πρώτων αριθμών σε $\mathbb {Z} [i]$, τους αριθμούς Γκάους. Παρομοίως, μελέτησε πρώτος τα σώματα διαίρεσης του κύκλου, δηλαδή τις λύσεις της εξίσωσης $x^{p-1}=1$, και ανέπτυξε τον υπολογισμό των αθροισμάτων Γκάους, ο οποίος έχει μεγάλη σημασία ακόμη και σήμερα. Ανακάλυψε επίσης το θεώρημα των πρώτων αριθμών του Γκάους, αλλά δεν μπόρεσε να το αποδείξει. Συνολικά, μπορούμε να πούμε ότι μόνο χάρη στον Γκάους η θεωρία των αριθμών έγινε ανεξάρτητος και συστηματικά οργανωμένος κλάδος.

19ος αιώνας

Ο 19ος αιώνας, ειδικότερα, ήταν η ακμή της αναλυτικής θεωρίας αριθμών. Υπό την καθοδήγηση των Νιλς Χένρικ Άμπελ (1802-1829), Καρλ Γκούσταβ Γιάκομπι (1804-1851), Γκότχολντ Αϊζενστάιν (1823-1852) και Πίτερ Γκούσταβ Λεζέν Ντίριχλετ (1805-1859), αναπτύχθηκε η θεωρία των ελλειπτικών συναρτήσεων, η οποία τελικά έθεσε τη θεωρία των ελλειπτικών καμπυλών σε εντελώς νέα βάση. Ο Ντίριχλετ επινόησε την έννοια της σειράς L και τη χρησιμοποίησε για να αποδείξει το θεώρημα των πρώτων αριθμών στις αριθμητικές πρόοδοι. Οι Ντίριχλετ και Αϊζενστάιν χρησιμοποιούν τη θεωρία των σπονδυλωτών μορφών για να αναλύσουν τον αριθμό των αναπαραστάσεων ενός αριθμού ως άθροισμα τεσσάρων ή πέντε τετραγώνων. Το μοναδιαίο θεώρημα του Ντίριχλετ (ο οποίος διέπρεψε και στον καθαρά αλγεβρικό τομέα) αποτελεί σήμερα έναν από τους ακρογωνιαίους λίθους της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών.

Ο Μπέρνχαρντ Ρίμαν (1826-1866) ανακάλυψε και απέδειξε τη συναρτησιακή εξίσωση της συνάρτησης ζήτα του Ρίμαν και έκανε βαθιές εικασίες που συνέδεαν τις αναλυτικές ιδιότητες της συνάρτησης αυτής με την αριθμητική.

Το σύντομο έργο του Εβαρίστ Γκαλουά (1811-1832), ο οποίος ανέπτυξε τη θεωρία Γκαλουά και έτσι διευκρίνισε πολλά παλιά ζητήματα, όπως το τετράγωνο του κύκλου, την κατασκευή n-γωνίων με τη χρήση πυξίδων και χάρακα και τη δυνατότητα επίλυσης πολυωνυμικών εξισώσεων με τη χρήση εκφράσεων ρίζας, ήταν πολύ σημαντικό για τα μαθηματικά στο σύνολό τους. Η θεωρία Γκαλουά διαδραματίζει σήμερα εξέχοντα ρόλο στη θεωρία αριθμών.

Στην αλγεβρική σχολή του 19ου αιώνα, πρέπει να αναφερθούν ιδιαίτερα οι Ερνστ Έντουαρντ Κάμερ (1810-1893), Λέοπολντ Κρόνεκερ (1823-1891) και Ρίτσαρντ Ντέντεκιντ (1831-1916). Μαζί θεμελίωσαν τους ακρογωνιαίους λίθους της σύγχρονης δομικής έννοιας της άλγεβρας, ιδίως της θεωρίας των ομάδων, των δακτυλίων και των ιδανικών καθώς και των αλγεβρικών αριθμητικών πεδίων. Ο Κρόνεκερ εισήγαγε την έννοια του διαιρέτη και ανακάλυψε τον τύπο που σήμερα είναι γνωστός ως θεώρημα Κρόνεκερ-Βέμπερ, σύμφωνα με το οποίο κάθε αβελιανή επέκταση του πεδίου ορθολογικών αριθμών περιέχεται σε έναν κυκλικό διαιρέτη. Ο Κούμερ απέδειξε το μεγάλο θεώρημα του Φερμά για όλους τους κανονικούς πρώτους αριθμούς και ο Ντέντεκιντ έδειξε την ύπαρξη ακέραιων βάσεων σε αριθμητικά πεδία.

Ο 20ός αιώνας και ο εκσυγχρονισμός

Ο 20ός αιώνας έδωσε επιτέλους στη θεωρία των αριθμών κάποιες από τις λύσεις που αναζητούσε τόσο καιρό:

• την πλήρη λύση του απλούστερου (μη τετριμμένου) τύπου διοφαντικής εξίσωσης: την εξίσωση που ανήκει σε μια τετραγωνική μορφή.
• Με τη θεωρία των πεδίων κλάσεων και τη θεωρία του Ιβασάβατ, μια καθόλου ολοκληρωμένη, αλλά δομικά ικανοποιητική, περιγραφή των αβελιανών και κυκλικών αριθμητικών πεδίων, η οποία οδήγησε σε ένα γενικό νόμο αμοιβαιότητας για υπολείμματα οποιωνδήποτε δυνάμεων, τον νόμο αμοιβαιότητας του Αρτίν.
• Η λύση (που δεν έχει αποδειχθεί ακόμη) του δεύτερου απλούστερου τύπου διοφαντικής εξίσωσης: οι εξισώσεις που ανήκουν σε ελλειπτικές καμπύλες.

Η ανακάλυψη των p-αδικών αριθμών από τον Κουρτ Χένσελ ήταν πρωτοποριακή για τη θεωρία αριθμών του 20ού αιώνα. Βασιζόμενοι στο έργο του, οι μαθηματικοί Χέρμαν Μινκόφσκι και Χέλμουτ Χάσε μπόρεσαν να λύσουν το πρόβλημα των τετραγωνικών μορφών: Μια τετραγωνική μορφή $f(x,y)\in \mathbb {Q} [X,Y]$ έχει ένα ορθολογικό μηδενικό $(x,y)\in \mathbb {Q} ^{2}$ αν έχει μηδέν σε κάθε σώμα $\mathbb {Q} _{p}$ κατέχει. Αυτό το περίφημο θεώρημα των Χάσε-Μινκόφσκι αποτελεί έτσι το πρώτο παράδειγμα μιας τοπικής-παγκόσμιας αρχής που έγινε πολύ σημαντική για τη σύγχρονη θεωρία αριθμών.

Με βάση το έργο του Κούμερ, η θεωρία των σωμάτων τάξης αναπτύχθηκε από μια ολόκληρη σειρά μαθηματικών στις αρχές του εικοστού αιώνα. Μεταξύ αυτών συγκαταλέγονται, ιδίως, οι Νταβίντ Χίλμπερτ, Χέλμουτ Χάσε, Φίλιπ Φουρτβάνγκλερ, Τέιτζι Τακάγκι και Εμίλ Αρτίν, με τον Τακάγκι να αποδεικνύει το σημαντικό θεώρημα ύπαρξης από το οποίο ο Αρτίν κατέληξε στον περίφημο νόμο της αμοιβαιότητας. Ωστόσο, μόλις στο δεύτερο μισό του εικοστού αιώνα ο μαθηματικός Χέλμουτ Μπρούκνερ έδωσε έναν πλήρη υπολογισμό του συμβόλου Χίλμπερτ και συνεπώς την πρακτική εφαρμογή του νόμου της αμοιβαιότητας. Η θεωρία των σωμάτων τάξεων μεταφράστηκε στη σύγχρονη γλώσσα της συνομολογίας ομάδων, της αφηρημένης αρμονικής ανάλυσης και της θεωρίας αναπαραστάσεων από μαθηματικούς όπως ο Τζον Τέιτ και ο Ρόμπερτ Λάνγκλαντς. Ο Λάνγκλαντς υπέθεσε εκτεταμένες γενικεύσεις της θεωρίας του σώματος κλάσεων και έτσι έθεσε τα θεμέλια για το πρόγραμμα Λάνγκλαντς, το οποίο αποτελεί σημαντικό μέρος της τρέχουσας έρευνας στη θεωρία αριθμών.

Για τα κυκλοτομικά σώματα, ο Κενκίτσι Ιγουασάβα ανέπτυξε τελικά τη θεωρία Ιγουασάβα, η οποία επέτρεψε να εξηγηθούν ακόμη καλύτερα τα σώματα αυτά. Ορισμένες p-th σειρές L συνδέονται με αυτά τα σώματα. Η κύρια εικασία της θεωρίας του Ιγουασάβα, η οποία δηλώνει ότι οι διαφορετικές δυνατότητες ορισμού αυτών των σειρών L είναι ισοδύναμες, αποδείχθηκε για ολικά πεδία πραγματικών αριθμών από τους Μπάρι Μαζούρ και Άντριου Γουάιλς στα τέλη της δεκαετίας του 1980.

Οι θεωρητικοί αριθμών έχουν επίσης σημειώσει μεγάλη πρόοδο στον τομέα των ελλειπτικών καμπυλών. Ο Λουίς Μόρντελ μελέτησε τον νόμο των ομάδων για ελλειπτικές καμπύλες και έδειξε ότι η ομάδα των λογικών σημείων τους είναι πάντα πεπερασμένης παραγωγής, μια απλή εκδοχή του θεωρήματος Μόρντελ-Βάιλ. Ο Καρλ Λούντβιχ Ζίγκελ κατάφερε τελικά να δείξει ότι κάθε ελλειπτική καμπύλη έχει μόνο πεπερασμένο αριθμό ακέραιων λύσεων (θεώρημα Ζίγκελ). Το πρόβλημα των ακέραιων και ορθολογικών σημείων στις ελλειπτικές καμπύλες είχε έτσι καταστεί αμφισβητήσιμο.

Ο Μορντέλ υπέθεσε ότι για καμπύλες γένους >1 (οι οποίες δεν είναι πλέον ελλειπτικές καμπύλες), το σύνολο των ορθολογικών σημείων είναι πάντα πεπερασμένο (εικασία Μορντέλ). Ο Γερμανός μαθηματικός Γκερντ Φάλτινγκς το απέδειξε αυτό, γεγονός που του χάρισε το μετάλλιο Φιλντς το 1986. Αυτό έδειξε ότι η εξίσωση του μεγάλου θεωρήματος του Φερμά μπορεί να έχει το πολύ πεπερασμένο αριθμό λύσεων (το θεώρημα λέει ότι δεν υπάρχουν).

Το έργο του Μπράιαν Μπιρτς και του Πίτερ Σουίνερτον-Ντάιερ κατά το δεύτερο μισό του 20ού αιώνα έφερε σημαντικές εξελίξεις. Υπέθεσαν ότι μια ελλειπτική καμπύλη έχει άπειρο αριθμό ορθολογικών λύσεων αν η σειρά L παίρνει μη μηδενική τιμή στο σημείο $s=1$. Αυτή είναι μια πολύ αδύναμη μορφή της εικασίας των Μπιρτς και Σουίνερτον-Ντάιερ. Αν και δεν έχει αποδειχθεί κατ' αρχήν, υπάρχουν ισχυρά θεωρητικά και αριθμητικά επιχειρήματα υπέρ της εγκυρότητάς της. Πιο πρόσφατα, οι Ντον Ζάγκερ και Μπένεντικτ Γκρος απέδειξαν την εγκυρότητά της για ένα μεγάλο αριθμό ελλειπτικών καμπυλών.

Δεν θα πρέπει να ξεχάσουμε να αναφέρουμε την απόδειξη του θεωρήματος της δομοστοιχείωσης (modularity). από τους Κριστόφ Μπρέιγ, Μπράιαν Κόνραντ, Φρεντ Ντάιμοντ και Ρίτσαρντ Τέιλορ το 2001, αφού ο Άντριου Γουάιλς το είχε ήδη αποδείξει για τις περισσότερες ελλειπτικές καμπύλες (1995). Ειδικότερα, το μέρος του θεωρήματος της αρθρωτότητας (που αποδείχθηκε από τον Γουάιλς) δείχνει ότι το μεγάλο θεώρημα του Φερμά είναι αληθές.

Ξένη βιβλιογραφία

Δύο από τα πιο γνωστά βιβλία στην θεωρία αριθμών είναι τα εξής:

• G.H. Hardy· E.M. Wright (2008) [1938]. An introduction to the theory of numbers (αναθεώρηση από τους D.R. Heath-Brown και J.H. Silverman, 6η έκδοση). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5. Ανακτήθηκε στις 2 Μαρτίου 2016. 
• Vinogradov, I.M. (2003) [1954]. Elements of Number Theory (επανέκδοση της 1954 έκδοση). Mineola, NY: Dover Publications. 

Το βιβλίο των Hardy και Wright είναι ένα κλασσικό περιεκτικό βιβλίο, παρόλο που σε κάποια σημεία υστερούν λόγω της επιμονής των συγγραφέων να χρησιμοποιούν στοιχειώδεις μεθόδους(Apostol n.d.). Το κυρίως θετικό στοιχείο του βιβλίου του Vinogradov είναι τα προβλήματα που παρέχει, που σύντομα οδηγούν στα ερευνητικά ενδιαφέροντα του ίδιου του Vinogradov· το κείμενο είναι σχετικά απλό και μινιμαλιστικό. Άλλες δημοφιλείς εισαγωγές στην θεωρία αριθμών είναι τα εξής βιβλία:

• Ivan M. Niven· Herbert S. Zuckerman· Hugh L. Montgomery (2008) [1960]. An introduction to the theory of numbers (reprint of the 5th 1991 έκδοση). John Wiley & Sons. ISBN 978-81-265-1811-1. Ανακτήθηκε στις 28 Φεβρουαρίου 2016. 
• :en:Kenneth H. Rosen (2010). Elementary Number Theory (6th έκδοση). Pearson Education. ISBN 978-0-321-71775-7. Ανακτήθηκε στις 28 Φεβρουαρίου 2016. 

Δημοφιλείς επιλογές ως δεύτερο βιβλίο στην θεωρία αριθμών είναι τα εξής:

• Borevich, A. I.· Shafarevich, Igor R. (1966). Number theory. Pure and Applied Mathematics. 20. Boston, MA: Academic Press. ISBN 978-0-12-117850-5. MR 0195803. 
• Serre, Jean-Pierre (1996) [1973]. A course in arithmetic. Graduate Texts in Mathematics. 7. Springer. ISBN 978-0-387-90040-7. 

Ελληνική βιβλιογραφία

Τα εξής βιβλία στα ελληνικά για την θεωρία αριθμών είναι διαθέσιμα ηλεκτρονικά:

• Ράππος, Ε. (2000). Θεωρία αριθμών. ΕΜΕ. ISBN 9789607341181. 
• Αντωνιάδης, Ι.· Κοντογεώργης, Α. (2015). Θεωρία αριθμών και εφαρμογές. Κάλλιπος, Ανοικτές Ακαδημαϊκές Εκδόσεις. doi:10.57713/kallipos-882. 
• Πουλάκης, Δ.· Αλβανός, Π. (2021). Επανάληψη στη Θεωρία Αριθμών. Κάλλιπος, Ανοικτές Ακαδημαϊκές Εκδόσεις. doi:10.57713/kallipos-9. 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Πολυμέσα σχετικά με το θέμα Number theory στο Wikimedia Commons