Δωδεκάεδρο

Δωδεκάεδρο στη στερεομετρία λέγεται ένα πολύεδρο που έχει δώδεκα έδρες.

Δωδεκάεδρο
(κινούμενο μοντέλο)
Τύπος	Πλατωνικό στερεό
Έδρες	12 πεντάγωνα
Ακμές	30
Κορυφές	20
Διαμόρφωση κορυφής	(5.5.5)
Σύμβολο Σλέφλι (Schläfli)	{5,3}
Ομάδα συμμετρίας	εικοσαεδρική (Ih)
Δυϊκό	Εικοσάεδρο
Ανάπτυγμα

Το κανονικό δωδεκάεδρο είναι ένα από τα Πλατωνικά στερεά, που έχει ως έδρες δώδεκα κανονικά πεντάγωνα, τα οποία ενώνονται ανά τρία σε κάθε κορυφή του.

Ο Ευκλείδης ασχολείται με το κανονικό δωδεκάεδρο στην Πρόταση 17 του 13ου βιβλίου των Στοιχείων του (XXIII.17).

Εκτός από το κανονικό δωδεκάεδρο, άλλα δωδεκάεδρα είναι το ρομβικό δωδεκάεδρο, το δεκαγωνικό πρίσμα, το πενταγωνικό αντιπρίσμα κ.ά.

Γεωμετρικά χαρακτηριστικά κανονικού δωδεκαέδρου

Αν θεωρήσουμε $\alpha \,\!$ το μήκος της ακμής του δωδεκαέδρου, τότε ισχύουν τα εξής:

Ακτίνα περιγεγραμμένης σφαίρας (απόσταση κορυφών από το κέντρο)	$R={\frac {\sqrt {3}}{2}}\phi \alpha ={\frac {\sqrt {3}}{4}}(1+{\sqrt {5}})\alpha \approx 1,401\alpha$
Ακτίνα εγγεγραμμένης σφαίρας (απόσταση εδρών από το κέντρο)	$r={\frac {\phi ^{2}}{2{\sqrt {3-\phi }}}}\alpha ={\frac {1}{20}}{\sqrt {(10(25+11{\sqrt {5}})}}\alpha \approx 1,114\alpha$
Απόσταση ακμών από το κέντρο	$\rho ={\frac {\phi ^{2}}{2}}\alpha ={\frac {1}{4}}(3+{\sqrt {5}})\alpha \approx 1,309\alpha$
Συνολική επιφάνεια	$S=3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\alpha ^{2}\approx 20,646\alpha ^{2}$
Όγκος	$V={\frac {1}{4}}(15+7{\sqrt {5}})\alpha ^{3}\approx 7,663\alpha ^{3}$

όπου $\phi \,\!$ ο χρυσός αριθμός.

Η δίεδρη γωνία του κανονικού δωδεκαέδρου είναι ίση με 116.56505°.

Το δυϊκό πολύεδρο του δωδεκαέδρου είναι το εικοσάεδρο, δηλαδή τα κέντρα των πενταγωνικών εδρών του δωδεκαέδρου αποτελούν κορυφές εικοσαέδρου. Επίσης, ισχύει και το αντίστροφο, δηλαδή τα κέντρα των εδρών του εικοσαέδρου αποτελούν κορυφές δωδεκαέδρου. Τόσο το δωδεκάεδρο όσο και το εικοσάεδρο ανήκουν στην ίδια ομάδα συμμετρίας, την εικοσαεδρική.

Πηγές - Παραπομπές

• Weisstein, Eric W., Dodecaedron (Αγγλικά)