Ρομβικό δωδεκάεδρο

Στη Στερεομετρία, το ρομβικό δωδεκάεδρο είναι ένα κυρτό πολύεδρο, που ανήκει στα καταλανικά στερεά, τα οποία είναι δυϊκά των αρχιμήδειων στερεών. Συγκεκριμένα, το ρομβικό δωδεκάεδρο είναι το δυϊκό του κυβοκτάεδρου. Επίσης, το πολύεδρο αυτό ανήκει στα ζωνόεδρα. Διαθέτει 12 ρομβικές έδρες, 24 ακμές και 14 κορυφές δύο τύπων.

Ρομβικό δωδεκάεδρο
(κινούμενο μοντέλο)
Τύπος	Καταλανικό στερεό
Έδρες	12 ρόμβοι
Ακμές	24
Κορυφές	14
Ομάδα συμμετρίας	οκταεδρική (Oh)
Δυϊκό	Κυβοκτάεδρο
Ανάπτυγμα

Ιδιότητες

Ως δυϊκό ενός από τα στερεά του Αρχιμήδη, το ρομβικό δωδεκάεδρο είναι μεταβατικό ως προς τις έδρες, δηλαδή η ομάδα συμμετρίας του στερεού δρα μεταβατικά στο σύνολο των εδρών του. Έτσι, για κάθε δύο έδρες Α και Β, υπάρχει κάποια περιστροφή ή κατοπτρισμός του στερεού που του επιτρέπει να καταλαμβάνει τον ίδιο χώρο, ενώ μεταβαίνει η έδρα Α στην έδρα Β.

Το ρομβικό δωδεκάεδρο ανήκει στην ειδική κατηγορία των εννέα κυρτών πολυέδρων με μεταβατικές ακμές. Τα άλλα είναι τα πέντε πλατωνικά στερεά, το κυβοκτάεδρο, το εικοσιδωδεκάεδρο και το ρομβικό τριακοντάεδρο.

Μια ακόμη ιδιότητα που έχει το ρομβικό δωδεκάεδρο είναι ότι με αυτό μπορούμε να καλύψουμε πλήρως τον τριδιάστατο χώρο, κάτι ανάλογο με την κάλυψη (πλακόστρωση) του επίπεδου από εξάγωνα.

Διαστάσεις

Ο λόγος της μεγάλης διαγωνίου προς τη μικρή διαγώνιο της κάθε ρομβικής έδρας του πολυέδρου είναι ίσος με √2.

Αν θεωρήσουμε το μήκος της ακμής του στερεού ίσο με τη μονάδα, τότε ισχύουν τα εξής:

Συνολική επιφάνεια	$S=8{\sqrt {2}}\approx 11,314$
Όγκος	$V={\frac {16}{9}}{\sqrt {3}}\approx 3,079$
Ακτίνα περιγεγραμμένης σφαίρας (απόσταση κορυφών από το κέντρο)	$R={\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}\approx 1,155$
Απόσταση ακμών από το κέντρο (μεσοακτίνα)	$\rho ={\frac {2}{3}}{\sqrt {2}}\approx 0,943$
Ακτίνα εγγεγραμμένης σφαίρας (απόσταση εδρών από το κέντρο)	$r={\frac {1}{3}}{\sqrt {6}}\approx 0,816$

Πηγές

• (Αγγλικά) Weisstein, Eric W., Rhombic Dodecahedron στο MathWorld