Δέκατο τρίτο πρόβλημα του Χίλμπερτ

Το δέκατο τρίτο πρόβλημα του Χίλμπερτ είναι ένα από τα 23 προβλήματα του Χίλμπερτ που παρατίθενται στο διάσημο κατάλογο που συνέταξε το 1900 ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ. Περιλαμβάνει την απόδειξη της ύπαρξης λύσης για όλες τις εξισώσεις 7ου βαθμού χρησιμοποιώντας αλγεβρικές (παραλλαγή: συνεχείς) συναρτήσεις δύο ορίων. Παρουσιάστηκε για πρώτη φορά στο πλαίσιο της νομογραφίας, και συγκεκριμένα της «νομογραφικής κατασκευής» - μιας διαδικασίας με την οποία μια συνάρτηση πολλών μεταβλητών κατασκευάζεται χρησιμοποιώντας συναρτήσεις δύο μεταβλητών. Η παραλλαγή για τις συνεχείς συναρτήσεις επιλύθηκε καταφατικά το 1957 από τον Βλαντίμιρ Άρνολντ, όταν απέδειξε το θεωρία αναπαραστάσεων Κολμογκόροφ-Άρνολντ, αλλά η παραλλαγή για τις αλγεβρικές συναρτήσεις παραμένει άλυτη.

Εισαγωγή

Χρησιμοποιώντας τις μεθόδους που πρωτοστάτησαν οι Βάλτερ φον Τσίρνχαους (1683), Έρλαντ Σάμιουελ Μπρινγκ (1786) και Τζορτζ Τζέραρντ (1834), Γουίλιαμ Ρόουαν Χάμιλτον έδειξε το 1836 ότι κάθε εξίσωση έβδομου βαθμού μπορεί να αναχθεί μέσω ριζών στη μορφή. $x^{7}+ax^{3}+bx^{2}+cx+1=0$

Όσον αφορά την εξίσωση αυτή, ο Χίλμπερτ αναρωτήθηκε αν η λύση της, x, που θεωρείται συνάρτηση των τριών μεταβλητών a, b και c, μπορεί να εκφραστεί ως σύνθεση πεπερασμένου αριθμού συναρτήσεων δύο μεταβλητών.

Ο Βλαντιμίρ Άρνολντ διέψευσε αυτή την εικασία το 1957 (σε ηλικία 19 ετών) με βάση το έργο του δασκάλου του Αντρέι Κολμογκόροφ, αποδεικνύοντας γενικότερα ότι όλες οι συνεχείς συναρτήσεις μπορούν να εκφραστούν με σύνθεση από έναν πεπερασμένο αριθμό συνεχών συναρτήσεων δύο μεταβλητών. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν n(2n + 1) καθολικές (global) συνεχείς συναρτήσεις Φ_ij (από [0, 1] σε [0, 1]) τέτοιες ώστε για κάθε συνεχή συνάρτηση f :[0, 1]ⁿ → [0, 1], να υπάρχουν 2n + 1 συνεχείς συναρτήσεις g_j :[0, 1] → [0, 1] τέτοιες ώστε

$f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{j=1}^{2n+1}g_{j}\left(\sum _{i=1}^{n}\Phi _{ij}(x_{i})\right).$

Ένα χρόνο νωρίτερα, ο Κολμογκόροφ έδειξε ότι οι συναρτήσεις 3 μεταβλητών ήταν επαρκείς, οπότε ο Άρνολντ βελτίωσε αυτό το 3 σε 2. Ο Άρνολντ μελέτησε επίσης το ανάλογο ερώτημα για τις αλγεβρικές συναρτήσεις, σε συνεργασία με τον Γκόρο Σιμούρα.

Ιστορία

Ο Χίλμπερτ αρχικά έθεσε το πρόβλημά του για τις αλγεβρικές συναρτήσεις (Hilbert 1927, «...Existenz von algebraischen Funktionen...», δηλαδή «...ύπαρξη αλγεβρικών συναρτήσεων...», βλέπε επίσης Αμπιάνκαρ 1997, Βίτουσκιν 2004). Ωστόσο, ο Χίλμπερτ ρώτησε επίσης σε μια μεταγενέστερη εκδοχή αυτού του προβλήματος αν υπάρχει λύση στην κλάση των συνεχών συναρτήσεων.

Μια γενίκευση της δεύτερης («συνεχούς») παραλλαγής του προβλήματος είναι το εξής ερώτημα: Μήπως κάθε συνεχής συνάρτηση τριών μεταβλητών μπορεί να εκφραστεί ως σύνθεση πεπερασμένου αριθμού συνεχών συναρτήσεων δύο μεταβλητών; Η καταφατική απάντηση σε αυτό το γενικό ερώτημα δόθηκε το 1957 από τον Βλαντιμίρ Άρνολντ, τότε μόλις δεκαεννέα ετών και φοιτητή του Αντρέι Κολμογκόροφ όπως είδαμε παραπάνω. Ο Κολμογκόροφ είχε δείξει το προηγούμενο έτος ότι οποιαδήποτε συνάρτηση πολλών μεταβλητών μπορεί να κατασκευαστεί με πεπερασμένο αριθμό συναρτήσεων τριών μεταβλητών. Στη συνέχεια ο Άρνολντ επέκτεινε την εργασία αυτή για να δείξει ότι στην πραγματικότητα απαιτούνται μόνο συναρτήσεις δύο μεταβλητών, απαντώντας έτσι στο ερώτημα του Χίλμπερτ όταν τέθηκε για την κατηγορία των συνεχών συναρτήσεων.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Proof of Dehn's Theorem at Everything2
• Weisstein, Eric W., "Dehn Invariant" από το MathWorld.
• Dehn Invariant at Everything2
• Ντέιβιντ Χίλμπερτ, Μαθηματικά προβλήματα, 6ο πρόβλημα, σε αγγλική μετάφραση.

Δείτε επίσης

• Μερική διαφορική εξίσωση
• Καρλ Φρίντριχ Γκάους
• Προβολικός χώρος
• Δυναμικός προγραμματισμός
• Μαθηματική ανάλυση
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μερική διαφορική εξίσωση
• Δευτεροβάθμια εξίσωση
• Χώρος Χίλμπερτ
• Ντάβιντ Χίλμπερτ
• Ευκλείδειος χώρος
• Θεωρία αριθμών
• Ισοσκελές τρίγωνο

Βιβλιογραφία

• Kuhlmann, Franz-Viktor· Kuhlmann, Salma (1 Ιανουαρίου 2002). Valuation Theory and Its Applications. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-7139-3. 
• Charpentier, Eric· LESNE, Annick (13 Σεπτεμβρίου 2007). Kolmogorov's Heritage in Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-36351-4. 
• Benedetto, John J. (10 Μαρτίου 2020). Journal of Fourier Analysis and Applications Special Issue. CRC Press. ISBN 978-1-000-65843-9. 
• ConferenceSeries. Proceedings of 4th International Conference on BigData Analysis and Data Mining 2017: Journal of Computer Engineering & Information Technology : Volume 6. ConferenceSeries. 
• Arnold, Vladimir I. (22 Οκτωβρίου 2009). Vladimir I. Arnold - Collected Works: Representations of Functions, Celestial Mechanics, and KAM Theory 1957-1965. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-01742-1. 
• Benaroya, Haym· Han, Seon Mi (2 Μαΐου 2013). Probabilistic Models for Dynamical Systems. CRC Press. ISBN 978-1-4398-5015-2. 
• Evesham, Harold Ainsley (2010). The History and Development of Nomography. Docent Press. ISBN 978-1-4564-7962-6. 
• Kolmogorov in Perspective. American Mathematical Soc. 2000. ISBN 978-0-8218-2918-9. 
• Friedland, Gerald (1 Δεκεμβρίου 2023). Information-Driven Machine Learning: Data Science as an Engineering Discipline. Springer Nature. ISBN 978-3-031-39477-5. 
• Lowen, R.· Roubens, M. R. (6 Δεκεμβρίου 2012). Fuzzy Logic: State of the Art. Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-011-2014-2. 

Παραπομπές

• Shreeram Shankar Abhyankar, "Hilbert's Thirteenth Problem", Algèbre non commutative, groupes quantiques et invariants (Reims, 1995), 1–11, Sémin. Congr., 2, Soc. Math. France, Paris, 1997.
• V. I. Arnold and Goro Shimura, Superposition of algebraic functions (1976), in Mathematical Developments Arising From Hilbert Problems, Volume 1, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 28 (1976), pp. 45–46.
• Hilbert, D. (1927). «Über die Gleichung neunten Grades». Mathematische Annalen 97: 243–250. ISSN 0025-5831. https://eudml.org/doc/182637. 
• Lorentz, George G. (1966). Approximation of Functions. New York Chicago Toronto: Holt, Rinehart and Winston. Chapter 11. MR 0213785. 
• Vitushkin, A. G. (2004-02-28). «On Hilbert's thirteenth problem and related questions» (στα αγγλικά). Russian Mathematical Surveys 59 (1): 11. doi:10.1070/RM2004v059n01ABEH000698. ISSN 0036-0279. https://iopscience.iop.org/article/10.1070/RM2004v059n01ABEH000698. 
• Farb, Benson; Wolfson, Jesse (2020-06-11). «Resolvent degree, Hilbert’s 13th Problem and geometry» (στα αγγλικά). L’Enseignement Mathématique 65 (3): 303–376. doi:10.4171/lem/65-3/4-2. ISSN 0013-8584. https://ems.press/journals/lem/articles/16962. 

Πηγές

• Benjamin Hart Yandell (2002). The Honors Class, Hilbert's Problems and their solvers by Benjamin Hart Yandell b19510316 d20040825 [2002] {510'.9'04--dc21}. 
• «Hilbert's 23 problems | mathematics | Britannica». www.britannica.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 15 Δεκεμβρίου 2024. 
• Bhatnagar, Nirdosh (21 Νοεμβρίου 2018). Mathematical Principles of the Internet, Volume 2: Mathematics. CRC Press. ISBN 978-1-351-37911-3. 
• Irwin, George William· Warwick, K. (1995). Neural Network Applications in Control. IET. ISBN 978-0-85296-852-9. 
• «The representability hierarchy and Hilbert's 13th problem -The University of Chicago Department of Mathematics» (PDF).