Συνέχεια συνάρτησης

Στα μαθηματικά, μία συνάρτηση λέγεται συνεχής όταν μια μικρή μεταβολή στο όρισμά της προκαλεί μικρή μόνο μεταβολή στην τιμή της. Για τις συναρτήσεις που ορίζονται στους πραγματικούς αριθμούς η γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα διάστημα (και όχι σε μία ένωση διαστημάτων) μπορεί να σχεδιαστεί χωρίς να χρειαστεί να σηκώσουμε το μολύβι από το χαρτί.

Μαθηματικές Συναρτήσεις
Συναρτήσεις μίας μεταβλητής
$\mathbf {y} =f(x)$
Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών
$\mathbf {z} =f(x_{1},\ldots ,x_{n})$
Βασικές έννοιες συναρτήσεων Μονοτονία συνάρτησης Κυρτότητα συνάρτησης Συμμετρία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Ασύμπτωτες συνάρτησης Όριο συνάρτησης Συνέχεια συνάρτησης Παραγώγιση συνάρτησης Ολοκλήρωση συνάρτησης
Κατηγορίες συναρτήσεων Άρτιες συναρτήσεις Περιττές συναρτήσεις Περιοδικές συναρτήσεις Σύνθετες συναρτήσεις Αντίστροφες συναρτήσεις Αλγεβρικές συναρτήσεις Υπερβατικές συναρτήσεις
Αλγεβρικές συναρτήσεις Πολυωνυμική συνάρτηση $y=ax^{n}+bx^{n-1}+...+cx+d$ Ρητή συνάρτηση $y={\frac {a_{1}x^{n}+b_{1}x^{n-1}+...+c_{1}x+d_{1}}{a_{2}x^{m}+b_{2}x^{m-1}+...+c_{2}x+d_{2}}}$ Άρρητη συνάρτηση $y={\sqrt[{n}]{ax^{n}+bx^{n-1}+...+cx+d}}$
Υπερβατικές συναρτήσεις Εκθετική συνάρτηση $y=a^{x}$ Λογαριθμική συνάρτηση $y=\log _{a}(x)$ Τριγωνομετρικές συναρτήσεις Ημίτονο $y=\sin x$ Συνημίτονο $y=\cos x$ Εφαπτομένη $y=\tan x$

Συνέχεια πραγματικών συναρτήσεων

Ορισμός Κωσύ (γαλλ. Cauchy) ή «έψιλον-δέλτα»

Αν $f:A\rightarrow \mathbb {R}$ είναι μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού $A\subseteq \mathbb {R}$ και το $x_{0}$ ανήκει στο πεδίο ορισμού της, τότε η f ονομάζεται συνεχής στο $x_{0}$ αν

$\forall _{\epsilon >0}\exists _{\delta (x_{0},\epsilon )>0}\forall _{x\in A}\left(|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon \right)$

Η έννοια της συνέχειας μιας συνάρτησης ορίζεται μόνο στα σημεία που ανήκουν στο πεδίο ορισμού της. Η συνάρτηση ονομάζεται συνεχής στο $A$ αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του $A$, δηλαδή αν

$\forall _{x_{0}\in A}\forall _{\epsilon >0}\exists _{\delta (x_{0},\epsilon )>0}\forall _{x\in A}\left(|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon \right)$

Σε αντιδιαστολή με την ομοιόμορφη συνέχεια, η συνέχεια αυτού του είδους λέγεται σημειακή συνέχεια.

Ορισμός μέσω ορίων

Ένας ορισμός που χρησιμοποιεί την έννοια του ορίου στις πραγματικές συναρτήσεις λέει ότι μία συνάρτηση είναι συνεχής σε κάποιο σημείο $x_{0}$ του πεδίου ορισμού της αν το όριο της συνάρτησης στο σημείο αυτό συμπίπτει με την τιμή της, δηλαδή αν:

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})$

Αυτός ο ορισμός όμως δεν είναι αρκετός γιατί το όριο $\lim _{x\to x_{0}}f(x)$ έχει έννοια μόνο όταν το $x_{0}$ είναι σημείο συσσώρευσης της συνάρτησης f και επομένως με τον ορισμό αυτό μπορούμε να ελέγξουμε αν μία συνάρτηση είναι συνεχής μόνο στα σημεία συσσώρευσής της, (αν όμως το $x_{0}$ δεν είναι σημείο συσσώρευσης της f, τότε είναι μεμονωμένο σημείο και επομένως η f είναι έτσι και αλλιώς συνεχής σε αυτό).

Αρχή της μεταφοράς - ορισμός Χάινε (γερμ. Heine)

Μια πραγματική συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο $x_{0}$ του πεδίου ορισμού της Α αν και μόνο αν για κάθε ακολουθία $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ στο Α, με:

$\lim \limits _{n\to \infty }x_{n}=x_{0},$

ισχύει:

$\lim \limits _{n\to \infty }f(x_{n})=f(x_{0})$

Με άλλα λόγια μία πραγματική συνάρτηση είναι συνεχής κατά Χάινε αν διατηρεί τα όρια, δηλαδή αν το όριο των εικόνων ισούται με την εικόνα του ορίου.

Συνέχεια σε τοπολογικούς χώρους

Μια συνάρτηση f ορισμένη στο X που λαμβάνει τιμές στο Y, όπου X και Y είναι τοπολογικοί χώροι, είναι συνεχής στο x όπου $x\in X$ αν για κάθε γειτονιά V της f(x), υπάρχει μια γειτονιά U του x τέτοια ώστε $f(U)\subseteq V$. Με πιο απλά λόγια, αυτό σημαίνει ότι όσο μικρή κι αν γίνεται η V μπορούμε πάντα να βρούμε μια U του x που να απεικονίζεται στην V. Λέμε ότι η f είναι συνεχής αν είναι συνεχής σε κάθε $x\in X$.

Συνέχεια σε διάστημα

Ορισμός

Μία συνάρτηση $\textstyle f$ ονομάζεται συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα $\;\textstyle [a,b]$, υποσύνολο του πεδίου ορισμού της , αν είναι συνεχής σε κάθε $x_{0}\in (a,b)$ και $\;\lim _{x\to a^{+}}f(x)=f(a)\;,\;\lim _{x\to b^{-}}f(x)=f(b)$

Βασικά θεωρήματα συνεχών συναρτήσεων

Θεώρημα Bolzano (Μπολτσάνο)

Αν μια συνάρτηση $\textstyle f$ είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα $\;\textstyle [a,b]$ και ισχύει ότι $f(a)\cdot f(b)<0$ , τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον $\;\xi \in (a,b)$ τέτοιο ώστε $\textstyle f(\xi )=0$.

Γραφικά, το θεώρημα Bolzano, σημαίνει ότι, αν η $\textstyle f$ είναι συνεχής στο $\;\textstyle [a,b]$ και $\textstyle f(a)\;,f(b)$ ετερόσημοι, τότε η γραφική παράσταση της $\;f\;$ τέμνει τον άξονα $\textstyle x'x$ σε ένα τουλάχιστον σημείο μεταξύ των $\textstyle a,b$.

Όπως φαίνεται και από το παραπάνω σχήμα, το $\xi$ δεν είναι αναγκαστικά μοναδικό. Μπορεί να υπάρχουν περισσότερες από μία τιμές για τις οποίες είναι $f(x)=0$.

Εδώ είναι $f(\xi )=f(\xi _{1})=f(\xi _{2})=0$

Το αντίστροφο του θεωρήματος δεν ισχύει, δηλαδή : Αν υπάρχει $\;\xi \in (a,b)$ τέτοιο ώστε $f(\xi )=0$ , τότε ούτε η $f$ είναι υποχρεωτικά συνεχής στο $[a,b]$ , ούτε οι $\textstyle f(a)\;,f(b)$ είναι οπωσδήποτε ετερόσημοι.

Θεώρημα σταθερού σημείου

Αν $\;\textstyle f\;$ συνάρτηση συνεχής στο $\;\textstyle [a,b]$ με $\;\textstyle f:[a,b]\rightarrow [a,b]$ , τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον $\;\;\textstyle \xi \in [a,b]$ , τέτοιο ώστε $\;\textstyle f(\xi )=\xi$.

Θεώρημα ενδιάμεσης τιμής

Το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής βασίζεται στην αρχή της πληρότητας και διατυπώνεται ως εξής:

Αν μια συνάρτηση $\textstyle f$ είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα $\;\textstyle [a,b]$ με $f(a)\neq f(b)$ , τότε για οποιοδήποτε $\textstyle \rho$ μεταξύ των $\textstyle f(a),f(b)$ υπάρχει ένα τουλάχιστον $\;\xi \in (a,b)$ τέτοιο ώστε $\textstyle f(\xi )=\rho$.

Το αντίστροφο και αυτού του θεωρήματος δεν ισχύει. Ακόμη, από το παραπάνω θεώρημα, δεν προκύπτει ότι οι τιμές της συνάρτησης $f$ ανήκουν υποχρεωτικά στο $\textstyle [f(a),f(b)]$,γιατί όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα, υπάρχουν τιμές του $\;\;\textstyle x\in [a,b]$ , τέτοιες ώστε $f(x)=\mu$ , αν και το $\mu$ δεν είναι μεταξύ των $\textstyle f(a),f(b)$.

Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής.

Το θεώρημα μέγιστης-ελάχιστης τιμής διατυπώνεται ως εξής:

Αν μία συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα $[a,b]$, τότε υπάρχουν $x_{1},x_{2}\in [a,b]$ τέτοια ώστε

$f(x_{1})\leq f(x)\leq f(x_{2}),\forall x\in [a,b]$

Δηλαδή , οι τιμές $f(x_{1})=m$ και $f(x_{2})=M$ είναι αντιστοίχως, η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της $f$ στο $[a,b]$.

Το πιο πάνω δεν ισχύει αν η συνάρτηση είναι ορισμένη σε ανοικτό διάστημα. Για παράδειγμα η συνάρτηση $f:(0,1)\rightarrow \mathbb {R}$ με τύπο $f(x)={\frac {1}{x}}$ είναι συνεχής στο (0, 1) αλλά δεν έχει μέγιστο.

Ομοιόμορφη συνέχεια

Η έννοια της ομοιόμορφης συνέχειας είναι πιο ισχυρή από αυτή της (σημειακής) συνέχειας. Επιπλέον, ενώ η συνέχεια μιας συνάρτησης είναι τοπική έννοια, δηλαδή αναφέρεται σε συγκεκριμένα σημεία του πεδίου ορισμού της, η έννοια της ομοιόμορφης συνέχειας αναφέρεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού της.

Λέμε ότι μια συνάρτηση $f:A\rightarrow \mathbb {R}$ είναι ομοιόμορφα συνεχής αν

$\forall _{\epsilon >0}\exists _{\delta (\epsilon )>0}\forall _{x_{0}\in A}\forall _{x\in A}\left(|x-x_{0}|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon \right)$

Η θεμελιώδης διαφορά της ομοιόμορφης συνέχειας από τη σημειακή έγκειται στο ότι η ακτίνα δ δεν εξαρτάται από το κέντρο x₀ κάθε φορά, παρά μόνο από την ακτίνα ε.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Πολυμέσα σχετικά με το θέμα στο Wikimedia Commons