Ασθενής εικασία του Γκόλντμπαχ

Στη θεωρία των αριθμών, η ασθενής εικασία του Γκόλντμπαχ, επίσης γνωστή ως η περιττή εικασία του Γκόλντμπαχ, το τριμελές πρόβλημα Γκόλντμπαχ ή το πρόβλημα των 3 πρώτων, δηλώνει ότι

Επιστολή του Γκόλντμπαχ προς τον Όιλερ με ημερομηνία 7 Ιουνίου 1742 (λατινικά-γερμανικά)

Κάθε περιττός αριθμός μεγαλύτερος του 5 μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα τριών πρώτων αριθμών. (Ένας πρώτος αριθμός μπορεί να χρησιμοποιηθεί περισσότερες από μία φορές στο ίδιο άθροισμα).

Αυτή η εικασία ονομάζεται "ασθενής" επειδή αν αποδειχθεί η ισχυρή εικασία του Γκόλντμπαχ (σχετικά με τα αθροίσματα δύο πρώτων αριθμών), τότε και αυτή θα είναι αληθής. Διότι αν κάθε ζυγός αριθμός μεγαλύτερος του 4 είναι το άθροισμα δύο περιττών πρώτων αριθμών, η προσθήκη του 3 σε κάθε ζυγό αριθμό μεγαλύτερο του 4 θα παράγει τους περιττούς αριθμούς μεγαλύτερους του 7 (και το ίδιο το 7 είναι ίσο με 2+2+3).

Το 2013, ο Χάραλντ Χέλφγκοτ δημοσίευσε μια απόδειξη της αδύναμης εικασίας του Γκόλντμπαχ. Η απόδειξη έγινε δεκτή για δημοσίευση στη σειρά Annals of Mathematics Studies το 2015, και έκτοτε έχει υποστεί περαιτέρω έλεγχο και αναθεώρηση- στο πλαίσιο αυτής της διαδικασίας δημοσιεύονται κεφάλαια με πλήρη αναφορά, που είναι κοντά στην τελική έκδοση.

Ορισμένοι αναφέρουν την εικασία ως εξής

Κάθε περιττός αριθμός μεγαλύτερος του 7 μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα τριών περιττών πρώτων αριθμών.

Αυτή η εκδοχή αποκλείει το 7 = 2+2+3 επειδή αυτό απαιτεί τον άρτιο πρώτο αριθμό 2. Για τους περιττούς αριθμούς μεγαλύτερους από το 7 είναι ελαφρώς ισχυρότερη, καθώς αποκλείει επίσης αθροίσματα όπως 17 = 2+2+13, τα οποία επιτρέπονται στην άλλη διατύπωση. Η απόδειξη του Χέλφγκοτ καλύπτει και τις δύο εκδοχές της εικασίας. Όπως και η άλλη διατύπωση, έτσι και αυτή προκύπτει άμεσα από την ισχυρή εικασία του Γκόλντμπαχ.

Προέλευση

Κύριο άρθρο: Εικασία του Γκόλντμπαχ

Η εικασία προήλθε από την αλληλογραφία μεταξύ του Κρίστιαν Γκόλντμπαχ και του Λέοναρντ Όιλερ. Μια διατύπωση της ισχυρής εικασίας Γκόλντμπαχ, ισοδύναμη με την πιο κοινή σε όρους αθροισμάτων δύο πρώτων αριθμών, είναι η εξής

Κάθε ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος του 5 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα τριών πρώτων αριθμών.

Η ασθενής εικασία είναι απλώς αυτή η δήλωση που περιορίζεται στην περίπτωση όπου ο ακέραιος είναι περιττός (και ενδεχομένως με την πρόσθετη απαίτηση ότι οι τρεις πρώτοι στο άθροισμα πρέπει να είναι περιττοί).

Χρονοδιάγραμμα αποτελεσμάτων

Το 1923, οι Χάρντι και Λίτλγουντ έδειξαν ότι, υποθέτοντας τη γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν, η αδύναμη εικασία Γκόλντμπαχ είναι αληθής για όλους τους επαρκώς μεγάλους περιττούς αριθμούς. Το 1937, ο Ιβάν Ματβέγιεβιτς Βινόγκραντοφ εξάλειψε την εξάρτηση από τη γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν και απέδειξε άμεσα (βλέπε θεώρημα του Βινόγκραντοφ) ότι όλοι οι επαρκώς μεγάλοι περιττοί αριθμοί μπορούν να εκφραστούν ως άθροισμα τριών πρώτων αριθμών. Η αρχική απόδειξη του Βινόγκραντοφ, καθώς χρησιμοποιούσε το αναποτελεσματικό θεώρημα Ζίγκελ-Βάλφις, δεν έδινε ένα όριο για το «επαρκώς μεγάλο»- ο μαθητής του Κ. Μπορόζντκιν (1956) κατέληξε στο ότι $e^{e^{16.038}}\approx 3^{3^{15}}$ είναι αρκετά μεγάλο. Το ακέραιο μέρος αυτού του αριθμού έχει 4.008.660 δεκαδικά ψηφία, οπότε ο έλεγχος κάθε αριθμού κάτω από αυτό το ποσοστό θα ήταν εντελώς ανέφικτος.

Το 1997, οι Ντεσουγιέ, Έφινγκερ, τε Ρίλε και Ζινόβιεφ δημοσίευσαν ένα αποτέλεσμα που έδειχνε ότι η γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν εμπεριέχει την ασθενή εικασία του Γκόλντμπαχ για όλους τους αριθμούς. Το αποτέλεσμα αυτό συνδυάζει μια γενική δήλωση που ισχύει για αριθμούς μεγαλύτερους από 10²⁰ με μια εκτεταμένη αναζήτηση σε υπολογιστή των μικρών περιπτώσεων. Ο Σαουτέρ διεξήγαγε επίσης μια έρευνα στον υπολογιστή που κάλυπτε τις ίδιες περιπτώσεις περίπου την ίδια χρονική στιγμή.

Ο Ολιβιέ Ραμαρέ έδειξε το 1995 ότι κάθε ζυγός αριθμός n ≥ 4 είναι στην πραγματικότητα το άθροισμα το πολύ έξι πρώτων αριθμών, από το οποίο προκύπτει ότι κάθε περιττός αριθμός n ≥ 5 είναι το άθροισμα το πολύ επτά πρώτων αριθμών. Ο Λέζεκ Κανιέτσκι έδειξε ότι κάθε περιττός ακέραιος αριθμός είναι άθροισμα το πολύ πέντε πρώτων αριθμών, υπό την υπόθεση Ρίμαν. το 2012, ο Τέρενς Τάο το απέδειξε χωρίς την υπόθεση Ρίμαν- αυτό βελτιώνει και τα δύο αποτελέσματα.

Το 2002, οι Λιου Μινγκ-Τσιτ (Πανεπιστήμιο του Χονγκ Κονγκ) και Γουάνγκ Τιαν-Ζε μείωσαν το όριο του Μπορόζντκιν σε περίπου $n>e^{3100}\approx 2\times 10^{1346}$. Ο εκθέτης εξακολουθεί να είναι πολύ μεγάλος για να επιτρέπει τον έλεγχο όλων των μικρότερων αριθμών με υπολογιστή. (Οι έρευνες μέσω υπολογιστή έχουν φθάσει μόνο μέχρι το 1018 για την ισχυρή εικασία Γκόλντμπαχ, και όχι πολύ περισσότερο από αυτό για την ασθενή εικασία Γκόλντμπαχ).

Το 2012 και το 2013, ο Περουβιανός μαθηματικός Χάραλντ Χέλφγκοτ δημοσίευσε ένα ζεύγος εργασιών που βελτιώνουν επαρκώς τις εκτιμήσεις του μεγάλου και του μικρού τόξου, ώστε να αποδείξουν ανεπιφύλακτα την αδύναμη εικασία Γκόλντμπαχ. Εδώ, τα μεγάλα τόξα ${\mathfrak {M}}$ είναι η ένωση των διαστημάτων $\left(a/q-cr_{0}/qx,a/q+cr_{0}/qx\right)$ γύρω από τους ρητούς $a/q,q<r_{0}$ όπου $c$ είναι μια σταθερά. Τα δευτερεύοντα τόξα ${\mathfrak {m}}$ ορίζονται ως ${\mathfrak {m}}=(\mathbb {R} /\mathbb {Z} )\setminus {\mathfrak {M}}$.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

Δείτε επίσης

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Φυσικός λογάριθμος
• Υπόθεση Ρίμαν
• Συνάρτηση ζήτα Ρίμαν
• Πρώτος αριθμός
• Τέρενς Τάο
• Ευρετική
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Χώρος Χίλμπερτ
• Ντάβιντ Χίλμπερτ
• Ευκλείδειος χώρος

Βιβλιογραφία

• Lacort, Mercedes Orús (22 Σεπτεμβρίου 2017). Mathematical induction method in Goldbach's strong conjecture. Lulu.com. ISBN 978-0-244-63490-2. 
• Borwein, Peter B. (2008). The Riemann Hypothesis: A Resource for the Afficionado and Virtuoso Alike. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-72125-5. 
• Hoffmann, Dirk W. (2024). Gödel's Incompleteness Theorems: A Guided Tour Through Kurt Gödel’s Historic Proof. Springer Nature. ISBN 978-3-662-69550-0. 
• Danesi, Marcel (2 Σεπτεμβρίου 2023). Poetic Logic and the Origins of the Mathematical Imagination. Springer Nature. ISBN 978-3-031-31582-4. 
• Nathanson, Melvyn B. (13 Ιανουαρίου 2018). Combinatorial and Additive Number Theory II: CANT, New York, NY, USA, 2015 and 2016. Springer. ISBN 978-3-319-68032-3. 
• Schiff, Joel L. (18 Νοεμβρίου 2020). The Mathematical Universe: From Pythagoras to Planck. Springer Nature. ISBN 978-3-030-50649-0. 
• Lacort, Mercedes Orús (9 Μαρτίου 2019). Fermat Equation over several fields and other historical mathematical conjectures. Lulu.com. ISBN 978-0-244-16645-8. 
• Pengelley, David (29 Ιουνίου 2023). Number Theory Through the Eyes of Sophie Germain: An Inquiry Course. American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-7220-7. 
• Morrison, Karen· Hamshaw, Nick (4 Μαΐου 2023). Cambridge IGCSE(TM) Mathematics Core and Extended Coursebook with Cambridge Online Mathematics (2 Years' Access). Cambridge University Press. ISBN 978-1-009-29791-2. 
• Collins, Julia (7 Νοεμβρίου 2019). Numbers in Minutes. Quercus. ISBN 978-1-78747-730-8. 

Παραπομπές

• Weisstein, Eric W. «Goldbach Conjecture». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 25 Δεκεμβρίου 2024. 
• Darling, David (21 Απριλίου 2008). The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes. Turner Publishing Company. ISBN 978-0-470-30788-5. 
• Vanderveken, Daniel (19 Μαρτίου 2009). Meaning and Speech Acts: Volume 1, Principles of Language Use. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-10490-6. 
• Polya, George (23 Αυγούστου 1990). Mathematics and Plausible Reasoning: Induction and analogy in mathematics. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02509-4. 

Πηγές

• «Goldbach conjecture verification». sweet.ua.pt. Ανακτήθηκε στις 25 Δεκεμβρίου 2024. 
• Eilers, Søren· Johansen, Rune (1 Ιουνίου 2017). Introduction to Experimental Mathematics. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-13279-4. 
• Agarwal, Ravi P. Mathematics Before and After Pythagoras. Springer Nature. ISBN 978-3-031-74224-8. 
• «A Simple Proof of Weak Goldbach Conjecture». doi:10.13140/RG.2.2.32944.12803. 
• «Firoozbakht's conjecture and Cramér's conjecture». Mathematics Stack Exchange (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 24 Δεκεμβρίου 2024.