Μοναδιαία υπερβολή

Στη γεωμετρία, η μοναδιαία υπερβολή είναι το σύνολο των σημείων (x,y) στο καρτεσιανό επίπεδο που ικανοποιούν την πεπλεγμένη εξίσωση $x^{2}-y^{2}=1.$ Στη μελέτη των απροσδιόριστων ορθογώνιων ομάδων, η μοναδιαία υπερβολή αποτελεί τη βάση για ένα εναλλακτικό ακτινικό μήκος.

Η μοναδιαία υπερβολή είναι μπλε, η συζυγής της είναι πράσινη και οι ασύμπτωτες είναι κόκκινες.

$r={\sqrt {x^{2}-y^{2}}}.$

Ενώ ο μοναδιαίος κύκλος περιβάλλει το κέντρο του, η μοναδιαία υπερβολή απαιτεί τη συζυγή υπερβολή $y^{2}-x^{2}=1$ για να τη συμπληρώσει στο επίπεδο. Αυτό το ζεύγος υπερβολών μοιράζεται τις ασύμπτωτες y = x και y = -x. Όταν χρησιμοποιείται η συζυγής της μοναδιαίας υπερβολής, το εναλλακτικό ακτινικό μήκος είναι $r={\sqrt {y^{2}-x^{2}}}.$

Η μοναδιαία υπερβολή είναι μια ειδική περίπτωση της ορθογώνιας υπερβολής, με συγκεκριμένο προσανατολισμό, θέση και κλίμακα. Ως εκ τούτου, η εκκεντρότητά της ισούται με ${\sqrt {2}}.$

Η μοναδιαία υπερβολή βρίσκει εφαρμογές όπου ο κύκλος πρέπει να αντικατασταθεί με την υπερβολή για λόγους αναλυτικής γεωμετρίας. Μια εξέχουσα περίπτωση είναι η απεικόνιση του χωροχρόνου ως ψευδοευκλείδειου χώρου. Εκεί οι ασύμπτωτες της μοναδιαίας υπερβολής σχηματίζουν έναν ελαφρύ κώνο. Περαιτέρω, η προσοχή στα εμβαδά των υπερβολικών τομέων από τον Γκρεγκοάρ ντε Σεν-Βινσέν οδήγησε στη συνάρτηση του λογαρίθμου και στη σύγχρονη παραμετροποίηση της υπερβολής με εμβαδά τομέων. Όταν γίνουν κατανοητές οι έννοιες των συζυγών υπερβολών και των υπερβολικών γωνιών, τότε οι κλασικοί μιγαδικοί αριθμοί, οι οποίοι κατασκευάζονται γύρω από τον μοναδιαίο κύκλο, μπορούν να αντικατασταθούν με αριθμούς που κατασκευάζονται γύρω από τη μοναδιαία υπερβολή.

Ασύμπτωτες

Κύριο άρθρο: Ασύμπτωτη της συνάρτησης

Γενικά οι ασυμπτωτικές γραμμές σε μια καμπύλη λέγεται ότι συγκλίνουν προς την καμπύλη. Στην αλγεβρική γεωμετρία και στη θεωρία των αλγεβρικών καμπυλών υπάρχει μια διαφορετική προσέγγιση των ασυμπτωτικών. Η καμπύλη ερμηνεύεται πρώτα στο προβολικό επίπεδο χρησιμοποιώντας ομογενείς συντεταγμένες. Κατόπιν οι ασυμπτωτικές είναι γραμμές που εφάπτονται στην προβολική καμπύλη σε ένα σημείο του απείρου, παρακάμπτοντας έτσι κάθε ανάγκη για την έννοια της απόστασης και της σύγκλισης. Σε ένα συνηθισμένο πλαίσιο οι x, y, z) είναι ομογενείς συντεταγμένες με την ευθεία στο άπειρο να καθορίζεται από την εξίσωση z = 0. Παραδείγματος χάριν, ο C. G. Gibson έγραψε:.

Για την τυπική ορθογώνια υπερβολή $f=x^{2}-y^{2}-1$ στην $\mathbb {R} ^{2}$, η αντίστοιχη προβολική καμπύλη είναι $F=x^{2}-y^{2}-z^{2},$ η οποία συναντά το z = 0 στα σημεία P = (1 : 1 : 0) και Q = (1 : −1 : 0). Τόσο το P όσο και το Q είναι απλά στο F, με εφαπτόμενες x + y = 0, x −y = 0- έτσι ανακτούμε τις γνωστές "ασύμπτωτες" της στοιχειώδους γεωμετρίας.

Διάγραμμα Μινκόφσκι

Το διάγραμμα Μινκόφσκι σχεδιάζεται σε ένα χωροχρονικό επίπεδο όπου η χωρική διάσταση έχει περιοριστεί σε μία μόνο διάσταση. Οι μονάδες της απόστασης και του χρόνου σε ένα τέτοιο επίπεδο είναι οι εξής

• Μονάδες μήκους 30 εκατοστών και νανοδευτερολέπτων, ή
• αστρονομικές μονάδες και διαστήματα των 8 λεπτών και 20 δευτερολέπτων, ή
• έτη φωτός και έτη.

Κάθε μία από αυτές τις κλίμακες συντεταγμένων οδηγεί σε συνδέσεις φωτονίων γεγονότων κατά μήκος διαγώνιων γραμμών με κλίση συν ή μείον ένα. Πέντε στοιχεία αποτελούν το διάγραμμα που χρησιμοποίησε ο Χέρμαν Μινκόφσκι για να περιγράψει τους μετασχηματισμούς της σχετικότητας: η μοναδιαία υπερβολή, η συζυγής υπερβολή της, οι άξονες της υπερβολής, μια διάμετρος της μοναδιαίας υπερβολής και η συζυγής διάμετρος. Το επίπεδο με τους άξονες αναφέρεται σε ένα σύστημα αναφοράς ηρεμίας. Η διάμετρος της μοναδιαίας υπερβολής αντιπροσωπεύει ένα σύστημα αναφοράς σε κίνηση με ταχύτητα a όπου tanh a = y/x and (x,y) είναι το τελικό σημείο της διαμέτρου στη μοναδιαία υπερβολή. Η συζυγής διάμετρος αντιπροσωπεύει το χωρικό υπερεπίπεδο της ταυτόχρονης που αντιστοιχεί στην ταχύτητα α. Σε αυτό το πλαίσιο η μοναδιαία υπερβολή είναι μια υπερβολή βαθμονόμησης. Συνήθως στη μελέτη της σχετικότητας η υπερβολή με κατακόρυφο άξονα λαμβάνεται ως πρωταρχική:

Το βέλος του χρόνου πηγαίνει από κάτω προς τα πάνω στο σχήμα - μια σύμβαση που υιοθετήθηκε από τον Ρίτσαρντ Φάινμαν στα διάσημα διαγράμματά του. Ο χώρος αναπαρίσταται από επίπεδα κάθετα στον άξονα του χρόνου. Το εδώ και τώρα είναι μια ιδιομορφία στη μέση.

Η σύμβαση του κάθετου άξονα χρόνου προέρχεται από τον Μινκόφσκι το 1908 και απεικονίζεται επίσης στη σελίδα 48 του βιβλίου του Έντινγκτον The Nature of the Physical World (Η φύση του φυσικού κόσμου (1928)).

Παραμετροποίηση

Οι κλάδοι της μοναδιαίας υπερβολής εξελίσσονται ως τα σημεία $(\cosh a,\sinh a)$ και $(-\cosh a,-\sinh a)$ ανάλογα με την παράμετρο της υπερβολικής γωνίας $a$.

Ένας άμεσος τρόπος παραμετροποίησης της μοναδιαίας υπερβολής ξεκινά με την υπερβολή xy = 1 παραμετροποιημένη με την εκθετική συνάρτηση: $(e^{t},\ e^{-t}).$

Αυτή η υπερβολή μετασχηματίζεται στη μοναδιαία υπερβολή με μια γραμμική απεικόνιση που έχει τον πίνακα

$A={\tfrac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}\ :$

$(e^{t},\ e^{-t})\ A=({\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}},\ {\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}})=(\cosh t,\ \sinh t).$

Μια πρώιμη έκφραση της παραμετροποιημένης μοναδιαίας υπερβολής βρίσκεται στο βιβλίο Στοιχεία δυναμικής (1878) του Γουίλιαμ Κίνγκτον Κλίφορντ. Περιγράφει την οιονεί αρμονική κίνηση σε μια υπερβολή ως εξής:

Η κίνηση $\rho =\alpha \cosh(nt+\epsilon )+\beta \sinh(nt+\epsilon )$ έχει κάποιες περίεργες αναλογίες με την ελλειπτική αρμονική κίνηση. ... Η επιτάχυνση ${\ddot {\rho }}=n^{2}\rho \ ;$ επομένως είναι πάντα ανάλογη της απόστασης από το κέντρο, όπως και στην ελλειπτική αρμονική κίνηση, αλλά κατευθύνεται μακριά από το κέντρο.

Ως μια ιδιαίτερη κωνική, η υπερβολή μπορεί να παραμετροποιηθεί με τη διαδικασία της πρόσθεσης σημείων σε μια κωνική. Η ακόλουθη περιγραφή δόθηκε από Ρώσους αναλυτές:

Καθορίστε ένα σημείο Ε στην κωνική. Ας θεωρήσουμε ότι τα σημεία στα οποία η ευθεία που διέρχεται από το Ε παράλληλα με το ΑΒ τέμνει για δεύτερη φορά την κωνική είναι το άθροισμα των σημείων Α και Β.

Για την υπερβολή $x^{2}-y^{2}=1$ με σταθερό σημείο Ε = (1,0) το άθροισμα των σημείων $(x_{1},\ y_{1})$ και $(x_{2},\ y_{2})$ είναι το σημείο $(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2},\ y_{1}x_{2}+y_{2}x_{1})$ υπό την παραμετροποίηση $x=\cosh \ t$ και $y=\sinh \ t$ η προσθήκη αυτή αντιστοιχεί στην προσθήκη της παραμέτρου t.

Άλγεβρα μιγαδικού επιπέδου

Ενώ ο μοναδιαίος κύκλος συνδέεται με τους μιγαδικούς αριθμούς, η μοναδιαία υπερβολή είναι το κλειδί για το επίπεδο διαιρεμένου μιγαδικού αριθμού που αποτελείται από z = x + yj, όπου j ² = +1. Τότε jz = y + xj, οπότε η δράση του j στο επίπεδο είναι η ανταλλαγή των συντεταγμένων. Συγκεκριμένα, η δράση αυτή ανταλλάσσει τη μοναδιαία υπερβολή με τη συζυγή της και ανταλλάσσει τα ζεύγη των συζυγών διαμέτρων των υπερβολών.

Όσον αφορά την παράμετρο της υπερβολικής γωνίας α, η μοναδιαία υπερβολή αποτελείται από τα σημεία

$\pm (\cosh a+j\sinh a)$, όπου j = (0,1).

Ο δεξιός κλάδος της μοναδιαίας υπερβολής αντιστοιχεί στον θετικό συντελεστή. Στην πραγματικότητα, αυτός ο κλάδος είναι η εικόνα του εκθετικού χάρτη (θεωρία Lie) που ενεργεί στον άξονα j. Έτσι αυτός ο κλάδος είναι η καμπύλη $f(a)=\exp(aj).$ Η κλίση της καμπύλης στο a δίνεται από την παράγωγο

$f^{\prime }(a)=\sinh a+j\cosh a=jf(a).$ για κάθε a, $f^{\prime }(a$) είναι υπερβολικό-ορθογώνιο στο $f(a)$. Η σχέση αυτή είναι ανάλογη με την καθετότητα των exp(a i) και i exp(a i) όταν i² = − 1.

Δεδομένου ότι $\exp(aj)\exp(bj)=\exp((a+b)j)$, ο κλάδος είναι ομάδα υπό πολλαπλασιασμό.

Σε αντίθεση με την ομάδα των κύκλων, αυτή η ομάδα των μοναδιαίων υπερβολών δεν είναι συμπαγής. Παρόμοια με το συνηθισμένο μιγαδικό επίπεδο, ένα σημείο που δεν βρίσκεται στις διαγωνίους έχει μια πολική αποσύνθεση χρησιμοποιώντας την παραμετροποίηση της μοναδιαίας υπερβολής και το εναλλακτικό ακτινικό μήκος.

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Μιγαδικός αριθμός
• Προβολικός χώρος
• Ορίζουσα
• Υπερβολική γεωμετρία
• Σφαίρα

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix Analysis
• Coordinate Geometry for JEE Advanced, 3E (Free Sample)
• Complex Geometry: An Introduction
• Geometric Concepts for Geometric Design
• The Mathematics of Minkowski Space-Time: With an Introduction to Commutative ...

Δημοσιεύσεις

• Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9. 
• Gray, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L.; Frank, David H.; Fristedt, Bert (1990), Calculus two: linear and nonlinear functions, Berlin: Springer-Verlag, σελ. 375, ISBN 0-387-97388-5, https://archive.org/details/calculustwolinea00flan/page/375 
• Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (2nd έκδοση), New York, NY: Chelsea, ISBN 978-0-8284-1087-8 
• von Petersdorff, Tobias (2006), «Critical Points of Autonomous Systems», Differential Equations for Scientists and Engineers (Math 246 lecture notes), https://www.math.umd.edu/~petersd/246/stab.html 
• Widder, D. V. (1989), Advanced calculus, New York, NY: Dover Publications, σελ. 128, ISBN 0-486-66103-2 
• The Inscribed Angle Theorem for the Hyperbola - Cornell University
• F. Reese Harvey (1990) Spinors and calibrations, Figure 4.33, page 70, Academic Press, ISBN 0-12-329650-1
• K. P. Grotemeyer: Analytische Geometrie. Göschen-Verlag, 1962, p. 143.
• H. Scheid, W. Schwarz: Elemente der Linearen Algebra und der Analysis. Spektrum, Heidelberg, 2009, ISBN 978-3-8274-1971-2, p. 132.