Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

Αν η αθροιστική συνάρτηση κατανομής μίας τυχαίας μεταβλητής είναι συνεχώς διαφορίσιμη, τότε η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ορίζεται ως η παράγωγος της αθροιστικής συνάρτησης κατανομής:

$f=F'={\frac {dF(x)}{dx}}.$

Μία συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας έχει τις εξής ιδιότητες:

1. $f(x)\geq 0$ σχεδόν παντού
2. $\int _{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1$

Αντιστρόφως αν μία συνάρτηση $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ικανοποιεί τις δύο παραπάνω σχέσεις, τότε ορίζει ένα μέτρο πιθανότητας σύμφωνα με

$\int _{a}^{b}f(x)dx=P(a<X\leq b)$