Παραμετρικό σύστημα συντεταγμένων
| Το λήμμα δεν περιέχει πηγές ή αυτές που περιέχει δεν επαρκούν. |
Το παραμετρικό σύστημα συντεταγμένων αποτελεί μία γενίκευση η οποία εμπεριέχει το κλασικό Καρτεσιανό σύστημα. Είναι δυνατόν να εφαρμοστεί σε αυτό ο απειροστικός λογισμός. Επίσης είναι δυνατόν να υπολογιστεί το μήκος καμπυλόγραμμου τμήματος στον τρισδιάστατο χώρο, το εμβαδό κλπ.
Ορισμός Παραμετρικών συναρτήσεων
ΕπεξεργασίαΠαραμετρικές δύο διαστάσεων
ΕπεξεργασίαΟρίζουμε το ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με άξονες Χ(τ), Υ(τ).
Κάθε σημείο Μ στο επίπεδο,ορίζεται από το ζεύγος (Χ(τ), Υ(τ)) για την ίδια τιμή της μεταβλητής τ.
Έτσι έχουμε το σημείο Μ(Χ(τ), Υ(τ)). Το τ είναι πραγματικός αριθμός.
Πρόκειται για γεωμετρική απεικόνιση της αντιστοιχίας του πεδίου των τιμών της συνάρτησης Υ(τ) ως προς το πεδίο των τιμών της συνάρτησης Χ(τ).
Αν Χ(τ)= τ τότε συμπίπτει με το κλασικό ζεύγος (Υ=φ(χ)).
Γενικότερα αν Υ(τ)=φ(τ) και Υ(τ)=Υ(φ(τ)) και πάλι συμπίπτει με το κλασικό σύστημα.
Παραμετρικές τριών διαστάσεων
Επεξεργασία- 1) Παραμετρικές μίας μεταβλητής
Ορίζουμε το ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με άξονες Χ(τ), Υ(τ), Ζ(τ).
Κάθε σημείο Μ στο χώρο ορίζεται από την τριάδα (Χ(τ), Υ(τ), Ζ(τ)) για την ίδια τιμή της μεταβλητής τ.
Έτσι έχουμε το σημείο Μ (Χ(τ), Υ(τ), Ζ(τ)).
Το τ είναι πραγματικός αριθμός.
Πρόκειται γιά γεωμετρική απεικόνιση της αντιστοιχίας του πεδίου των τιμών της συνάρτησης Ζ(τ)
ως προς το πεδίο των τιμών της συνάρτησης Υ(τ) και ως προς το πεδίο των τιμών της συνάρτησης Χ(τ).
Οι συναρτήσεις μίας μεταβλητής ορίζουν καμπύλες στον τρισδιάστατο χώρο.
- 2) Παραμετρικές δύο μεταβλητών
Ορίζουμε το ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με άξονες Χ(θ,ω), Υ(θ,ω), Ζ(θ,ω).
Κάθε σημείο Μ στο χώρο ορίζεται από την τριάδα ( Χ(θ,ω), Υ(θ,ω), Ζ(θ,ω)) για την ίδια τιμή των μεταβλητών θ, ω .
Έτσι έχουμε το σημείο Μ ( Χ(θ,ω), Υ(θ,ω), Ζ(θ,ω)).
Οι αριθμοί θ,ω είναι πραγματικοί .
θ=u ,ω=v
Οι συναρτήσεις δύο μεταβλητών ορίζουν επιφάνειες.
- 3) Παραμετρικές τριών μεταβλητών (Συμπαγή στερεά)
Ορίζουμε το ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με άξονες Χ(u,v,w), Υ(u,v,w), Ζ(u,v,w).
Κάθε σημείο Μ στο χώρο ορίζεται από την τριάδα (Χ(u,v,w), Υ(u,v,w), Ζ(u,v,w)) για την ίδια τιμή των μεταβλητών u,v,w .
Έτσι έχουμε το σημείο Μ (Χ(u,v,w), Υ(u,v,w), Ζ(u,v,w)).
Οι αριθμοί u,v,w είναι πραγματικοί .
Οι συναρτήσεις τριών μεταβλητών ορίζουν συμπαγή στερεά.