Παραγωγικός πίνακας

Στη γραμμική άλγεβρα, ένας τετραγωνικός μη αρνητικός πίνακας $A$ τάξης $n$ λέγεται παραγωγικός, ή πίνακας Λεόντιεφ, αν υπάρχει ένας $n\times 1$ μη αρνητικός πίνακας στήλης $P$ τέτοιος ώστε $P-AP$ να είναι ένας θετικός πίνακας.

Ιστορία

Η έννοια της παραγωγικής μήτρας αναπτύχθηκε από τον οικονομολόγο Βασίλι Λεόντιεφ (βραβείο Νόμπελ Οικονομικών Επιστημών το 1973) προκειμένου να μοντελοποιήσει και να αναλύσει τις σχέσεις μεταξύ των διαφόρων τομέων μιας οικονομίας Οι δεσμοί αλληλεξάρτησης μεταξύ των τελευταίων μπορούν να εξεταστούν από το υπόδειγμα εισροών-εκροών με εμπειρικά δεδομένα.

Ορισμός

Ο πίνακας $A\in \mathrm {M} _{n,n}(\mathbb {R} )$ είναι παραγωγικός αν και μόνο αν $A\geqslant 0$ και $\exists P\in \mathrm {M} _{n,1}(\mathbb {R} ),P>0$ όπως $P-AP>0$.

Εδώ $\mathrm {M} _{r,c}(\mathbb {R} )$ δηλώνει το σύνολο πινάκων r×c' των πραγματικών αριθμών, ενώ $>0$ και $\geqslant 0$ δηλώνουν έναν θετικό και έναν μη αρνητικό πίνακα, αντίστοιχα.

Χαρακτηρισμός

Θεώρημα Ένας μη αρνητικός πίνακας $A\in \mathrm {M} _{n,n}(\mathbb {R} )$ είναι παραγωγικός αν και μόνο αν $I_{n}-A$ είναι αντιστρέψιμος με μη αρνητικό αντίστροφο, όπου $I_{n}$ συμβολίζει τον ταυτοτικό πίνακα.$n\times n$

Απόδειξη "Αν" :

Έστω $I_{n}-A$ να είναι αντιστρέψιμος με μη αρνητικό αντίστροφο,

Let $U\in \mathrm {M} _{n,1}(\mathbb {R} )$ ένας αυθαίρετος πίνακας στηλών με $U>0$.

Then the matrix $P=(I_{n}-A)^{-1}U$ είναι μη αρνητικός, δεδομένου ότι είναι το γινόμενο δύο μη αρνητικών πινάκων.

Επιπλέον, $P-AP=(I_{n}-A)P=(I_{n}-A)(I_{n}-A)^{-1}U=U>0$.

Επομένως $A$ είναι παραγωγικό.

"Μόνο εάν" :

Έστω $A$ παραγωγικός, έστω $P>0$ έτσι ώστε $V=P-AP>0$.

Η απόδειξη προχωρά με reductio ad absurdum δηλαδή Εις άτοπον απαγωγή.

Πρώτον, ας υποθέσουμε για αντίφαση ότι $I_{n}-A$ είναι Αντιστρέψιμος πίνακας.

Ο ενδομορφισμός που σχετίζεται κανονικά με το $I_{n}-A$ δεν μπορεί να είναι ένας-προς-ένα λόγω ιδιομορφίας του πίνακα.

Συνεπώς, υπάρχει κάποιος μη μηδενικός πίνακας στηλών $Z\in \mathrm {M} _{n,1}(\mathbb {R} )$ τέτοιος ώστε $(I_{n}-A)Z=0$.

Ο πίνακας $-Z$ έχει τις ίδιες ιδιότητες με τον $Z$, επομένως μπορούμε να επιλέξουμε τον $Z$ ως στοιχείο του πυρήνα με τουλάχιστον μία θετική είσοδο.

Έτσι, κάποιος μη μηδενικός πίνακας στήλης $Z\in \mathrm {M} _{n,1}(\mathbb {R} )$ υπάρχει τέτοιος ώστε $(I_{n}-A)Z=0$.

Ο πίνακας $-Z$ έχει τις ίδιες ιδιότητες με τον $Z$, επομένως μπορούμε να επιλέξουμε τον $Z$ ως στοιχείο του πυρήνας με τουλάχιστον μία θετική είσοδο.

Ως εκ τούτου $c=\sup _{i\in [|1,n|]}{\frac {z_{i}}{p_{i}}}$ είναι μη αρνητικό και επιτυγχάνεται με τουλάχιστον μία τιμή $k\in [|1,n|]$.

Από τον ορισμό του $V$ και του $Z$, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι:

$cv_{k}=c(p_{k}-\sum _{i=1}^{n}a_{ki}p_{i})=cp_{k}-\sum _{i=1}^{n}a_{ki}cp_{i}$

$cp_{k}=z_{k}=\sum _{i=1}^{n}a_{ki}z_{i}$, με τη χρήση ότι $Z=AZ$ από την κατασκευή.

Κατά συνέπεια $cv_{k}=\sum _{i=1}^{n}a_{ki}(z_{i}-cp_{i})\leq \ 0$, χρησιμοποιώντας αυτό $z_{i}\leq cp_{i}$ σύμφωνα με τον ορισμό του $c$.

Αυτό έρχεται σε αντίθεση με τα $c>0$ και $v_{k}>0$, επομένως το $I_{n}-A$ είναι αναγκαστικά αντιστρέψιμο.

Δεύτερον, ας υποθέσουμε για αντίφαση ότι η $I_{n}-A$ είναι αντιστρέψιμος αλλά με τουλάχιστον μία αρνητική εγγραφή στο αντίστροφό του.

Επομένως $\exists X\in \mathrm {M} _{n,1}(\mathbb {R} ),X\geqslant 0$ έτσι ώστε να υπάρχει τουλάχιστον μία αρνητική εγγραφή στο $Y=(I_{n}-A)^{-1}X$.

Τότε $c=\sup _{i\in [|1,n|]}-{\frac {y_{i}}{p_{i}}}$ είναι θετικός και επιτυγχάνεται με τουλάχιστον μία τιμή $k\in [|1,n|]$.

Από τον ορισμό του $V$ και του $X$, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι:

$cv_{k}=c(p_{k}-\sum _{i=1}^{n}a_{ki}p_{i})=-y_{k}-\sum _{i=1}^{n}a_{ki}cp_{i}$

$x_{k}=y_{k}-\sum _{i=1}^{n}a_{ki}y_{i}$, με τη χρήση ότι $X=(I_{n}-A)Y$ από την κατασκευή

$cv_{k}+x_{k}=-\sum _{i=1}^{n}a_{ki}(cp_{i}+y_{i})\geqslant 0$ χρησιμοποιώντας ότι $-y_{i}\leqslant cp_{i}$ από τον ορισμό του $c$.

Επομένως $x_{k}\leq -cv_{k}<0$, γεγονός που αντιφάσκει με το $X\geqslant 0$.

Συνεπώς, το $(I_{n}-A)^{-1}$ είναι αναγκαστικά μη αρνητικός.

Μετατόπιση

Πρόταση Η μεταφορά ενός παραγωγικού πίνακα είναι παραγωγική.

Απόδειξη

Έστω $A\in \mathrm {M} _{n,n}(\mathbb {R} )$ ένας παραγωγικός πίνακας.

Τότε ο $(I_{n}-A)^{-1}$ υπάρχει και είναι μη αρνητικός.

Ωστόσο $(I_{n}-A^{T})^{-1}=((I_{n}-A)^{T})^{-1}=((I_{n}-A)^{-1})^{T}$

Επομένως, ο $(I_{n}-A^{T})$ είναι αντιστρέψιμος με μη αρνητικό αντίστροφο.

Συνεπώς, ο $A^{T}$ είναι παραγωγικός.

Εφαρμογή

Με την προσέγγιση του υποδείγματος εισροών-εκροών με τη βοήθεια πινάκων, ο πίνακας κατανάλωσης είναι παραγωγικός εάν είναι οικονομικά βιώσιμος και εάν ο τελευταίος και το διάνυσμα της ζήτησης είναι μη αρνητικά.

Δημοσιεύσεις

• Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9. 
• Belevitch V (1950). «Theory of 2n-terminal networks with applications to conference telephony». Electrical Communication 27: 231–244. 
• Bareiss, E. H. (1969), «Numerical solution of linear equations with Toeplitz and vector Toeplitz matrices», Numerische Mathematik 13 (5): 404–424, doi:10.1007/BF02163269 
• Goldreich, O.; Tal, A. (2018), «Matrix rigidity of random Toeplitz matrices», Computational Complexity 27 (2): 305–350, doi:10.1007/s00037-016-0144-9 
• Diodorus Siculus, Bibliotheca Historica. Vol. 1–2. Immanel Bekker. Ludwig Dindorf. Friedrich Vogel. in aedibus B. G. Teubneri. Leipzig. 1888–1890. Greek text available at the Perseus Digital Library.
• de Boor, Carl (1990), «An empty exercise», ACM SIGNUM Newsletter 25 (2): 3–7, doi:10.1145/122272.122273, http://ftp.cs.wisc.edu/Approx/empty.pdf 
• Bourbaki, Nicolas (1998), Algebra I, Chapters 1-3, Springer, ISBN 9783540642435 
• Habgood, Ken; Arel, Itamar (2012). «A condensation-based application of Cramer's rule for solving large-scale linear systems». Journal of Discrete Algorithms 10: 98–109. doi:10.1016/j.jda.2011.06.007. https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01500199/file/HA.pdf. 

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Πραγματικός αριθμός
• Αντιερμιτιανός πίνακας
• Μέγιστος κοινός διαιρέτης
• Υπολογιστική βιολογία
• Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Συμμετρικός πίνακας
• Παραμετρικές εξισώσεις
• Πολλαπλασιασμός πινάκων
• Επαναλαμβανόμενη συνάρτηση
• Ανάλυση πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές
• Μπεϋζιανή στατιστική
• Κυρτό πολύτοπο
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix calculator
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Exercises of Matrices and Linear Algebra
• Fourier Transforms: Approach to Scientific Principles
• Euclidean Distance Matrices and Their Applications in Rigidity Theory.
• Physics and Combinatorics 2000: Proceedings of the Nagoya 2000 International ...
• Applied General Equilibrium: An Introduction.
• Productivity Theory for Industrial Engineering.
• Sustainable Design and Manufacturing: Proceedings of the 8th International ....
• Lectures on the Combinatorics of Free Probability, Τόμος 13

Παραπομπές

• Brualdi, Richard A. (2006). Combinatorial matrix classes. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 108. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-86565-4. Zbl 1106.05001. 
• Najnudel, Joseph; Nikeghbali, Ashkan (2013), «The Distribution of Eigenvalues of Randomized Permutation Matrices», Annales de l'Institut Fourier 63 (3): 773–838, http://www.numdam.org/item/AIF_2013__63_3_773_0/