Ένα προς ένα

Στα μαθηματικά, μία συνάρτηση $f:A\rightarrow B$ μεταξύ δύο συνόλων $A$ , $B$ ονομάζεται ένα προς ένα (1-1) ή ερριπτική^[1] ή αμφιμονότιμη, αν ισχύει ότι: αν $f(x)=f(y)$ τότε είναι $x=y$ , για κάθε $x,y$ στο $A$ . Ένας ισοδύναμος ορισμός είναι ο εξής: Αν $x\neq y$ τότε $f(x)\neq f(y)$ , για κάθε $x,y$ στο $A$ .^[2]^:4

Μία συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη (γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα) σε ένα διάστημα $\Delta$ , τότε είναι "1-1" σε αυτό.

Μαθηματικός ορισμός

Συμβολικά, μία συνάρτηση $f:A\rightarrow B$ ονομάζεται ένας-προς-ένα αν ικανοποιεί

\forall x,y\in A.\ f(x)=f(y)\Rightarrow x=y,

το οποίο είναι λογικά ισοδύναμο με

\forall x,y\in A.\ x\neq y\Rightarrow f(x)\neq f(y).

Παραδείγματα

Παρακάτω δίνονται κάποια παραδείγματα συναρτήσεων που είναι ένα-προς-ένα και κάποιων που δεν είναι. Κάποιες ένα-προς-ένα συναρτήσεις, με την ίδια φόρμουλα αλλά ορισμένες σε διαφορετικά πεδία ορισμού μπορεί να μην είναι πλέον ένα-προς-ένα.

Η συνάρτηση $f:\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ με $f(x)=x+1$ , είναι ένα-προς-ένα.
Η συνάρτηση $f:[0,\infty )\to \mathbb {R}$ με $f(x)=x^{2}$ , είναι ένα-προς-ένα. Ενώ, η συνάρτηση $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ με $g(x)=x^{2}$ δεν είναι, καθώς $g(3)=g(-3)=9$ .
Η συνάρτηση $f:[-1,\infty )\to \mathbb {R}$ με $f(x)=|x+1|$ , είναι ένα-προς-ένα. Ενώ, η συνάρτηση $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ με $g(x)=|x+1|$ δεν είναι, καθώς $|2+1|=|(-4)+1|=3$ .
H συνάρτηση προσήμου $\mathrm {sgn} :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ δεν είναι ένα-προς-ένα, αλλά η συνάρτηση $s:\{-1,0,1\}\to \{-1,0,1\}$ με $s(x)=x$ είναι.
Η ταυτοτική συνάρτηση είναι ένα-προς-ένα.
Η γραμμική συνάρτηση $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ με $f(x)=ax+b$ (για κάθε $a,b\in \mathbb {R}$ και $a\neq 0$ ) είναι ένα-προς-ένα.