Στην γραμμική άλγεβρα , ένας πίνακας
A
{\displaystyle A}
μιγαδικές τιμές λέγεται Ερμιτιανός αν είναι ίσος με τον Ερμιτιανό συζηγή του,[ 1] :192 [ 2] :6 [ 3] :8 δηλαδή αν
A
=
A
H
{\displaystyle A=A^{H}}
(
A
H
)
i
j
=
A
¯
j
i
,
{\displaystyle (A^{H})_{ij}={\overline {A}}_{ji},}
και
z
¯
{\displaystyle {\overline {z}}}
συζηγής του μιγαδικού αριθμού
z
∈
C
{\displaystyle z\in \mathbb {C} }
Η γενική μορφή ενός Ερμιτιανού πίνακα διαστάσεων
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
n
=
2
,
3
,
4
{\displaystyle n=2,3,4}
[
A
11
A
¯
12
A
12
A
22
]
⏟
2
×
2
[
A
11
A
¯
12
A
¯
13
A
12
A
22
A
¯
23
A
13
A
23
A
33
]
⏟
3
×
3
[
A
11
A
¯
12
A
¯
13
A
¯
14
A
12
A
22
A
¯
23
A
¯
24
A
13
A
23
A
33
A
¯
34
A
14
A
24
A
34
A
44
]
⏟
4
×
4
,
{\displaystyle \underbrace {\begin{bmatrix}A_{11}&\color {red}{{\overline {A}}_{12}}\\\color {red}{A_{12}}&A_{22}\end{bmatrix}} _{2\times 2}\qquad \underbrace {\begin{bmatrix}A_{11}&\color {red}{{\overline {A}}_{12}}&\color {blue}{{\overline {A}}_{13}}\\\color {red}{A_{12}}&A_{22}&\color {green}{{\overline {A}}_{23}}\\\color {blue}{A_{13}}&\color {green}{A_{23}}&A_{33}\end{bmatrix}} _{3\times 3}\qquad \underbrace {\begin{bmatrix}A_{11}&\color {red}{{\overline {A}}_{12}}&\color {blue}{{\overline {A}}_{13}}&\color {orange}{{\overline {A}}_{14}}\\\color {red}{A_{12}}&A_{22}&\color {green}{{\overline {A}}_{23}}&\color {purple}{{\overline {A}}_{24}}\\\color {blue}{A_{13}}&\color {green}{A_{23}}&A_{33}&\color {magenta}{{\overline {A}}_{34}}\\\color {orange}{A_{14}}&\color {purple}{A_{24}}&\color {magenta}{A_{34}}&A_{44}\end{bmatrix}} _{4\times 4},}
όπου με ίδιο χρώμα (εκτός του μαύρου) είναι τα στοιχεία που πρέπει να είναι συζυγή μεταξύ τους σε έναν Ερμιτιανό πίνακα. Τα στοιχεία αυτά είναι συμμετρικά ως προς την κύρια διαγώνιο . Τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου πρέπει να είναι πραγματικοί αριθμοί .
Η ονομασία είναι προς τιμήν του μαθηματικού Σαρλ Ερμίτ .
Μερικά παραδείγματα είναι τα εξής:
[
2
3
−
i
3
+
i
4
]
[
4
0.7
−
0.2
i
−
6
+
2
i
0.7
+
0.2
i
−
6.1
−
2.4
−
4
i
−
6
−
2
i
−
2.4
+
4
i
7.3
]
[
9
6
+
i
0
2.3
+
7
i
6
−
i
3
−
0.7
−
0.2
i
2.2
−
0.5
i
0
−
0.7
+
0.2
i
0
3
−
2
i
2.3
−
7
i
2.2
+
0.5
i
3
+
2
i
−
2
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}2&\color {red}{3-i}\\\color {red}{3+i}&4\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}4&\color {red}{0.7-0.2i}&\color {blue}{-6+2i}\\\color {red}{0.7+0.2i}&-6.1&\color {green}{-2.4-4i}\\\color {blue}{-6-2i}&\color {green}{-2.4+4i}&7.3\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}9&\color {red}{6+i}&\color {blue}{0}&\color {orange}{2.3+7i}\\\color {red}{6-i}&3&\color {green}{-0.7-0.2i}&\color {purple}{2.2-0.5i}\\\color {blue}{0}&\color {green}{-0.7+0.2i}&0&\color {magenta}{3-2i}\\\color {orange}{2.3-7i}&\color {purple}{2.2+0.5i}&\color {magenta}{3+2i}&-2\end{bmatrix}}.}
[
5
7
7
−
3
]
[
2
4.8
−
6
4.8
−
5.1
−
3.4
−
6
−
3.4
2.2
]
[
−
10
2.1
0
4.7
2.1
0
−
0.7
2.2
0
−
0.7
2
3.5
4.7
2.2
3.5
−
5
]
.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}5&\color {red}{7}\\\color {red}{7}&-3\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&\color {red}{4.8}&\color {blue}{-6}\\\color {red}{4.8}&-5.1&\color {green}{-3.4}\\\color {blue}{-6}&\color {green}{-3.4}&2.2\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}-10&\color {red}{2.1}&\color {blue}{0}&\color {orange}{4.7}\\\color {red}{2.1}&0&\color {green}{-0.7}&\color {purple}{2.2}\\\color {blue}{0}&\color {green}{-0.7}&2&\color {magenta}{3.5}\\\color {orange}{4.7}&\color {purple}{2.2}&\color {magenta}{3.5}&-5\end{bmatrix}}.}
Επομένως, και ο ταυτοτικός και ο μηδενικός πίνακας είναι Ερμιτιανοί.
Απόδειξη
Θέτοντας
i
=
j
{\displaystyle i=j}
A
i
i
=
(
A
H
)
i
i
=
A
¯
i
i
{\displaystyle A_{ii}=(A^{H})_{ii}={\overline {A}}_{ii}}
και επομένως
A
i
i
{\displaystyle A_{ii}}
Η ορίζουσα ενός Ερμιτιανού πίνακα είναι πραγματικός αριθμός.[ 1] : 203
Απόδειξη
Από τον ορισμό της ορίζουσας, έχουμε ότι
d
e
t
(
A
)
=
d
e
t
(
A
H
)
=
∏
σ
∈
S
n
ϵ
σ
(
1
)
…
σ
(
n
)
A
¯
1
σ
(
1
)
⋅
…
⋅
A
¯
n
σ
(
n
)
=
∏
σ
∈
S
n
ϵ
σ
(
1
)
…
σ
(
n
)
A
1
σ
(
1
)
⋅
…
⋅
A
n
σ
(
n
)
¯
=
∏
σ
∈
S
n
ϵ
σ
(
1
)
…
σ
(
n
)
A
1
σ
(
1
)
⋅
…
⋅
A
n
σ
(
n
)
¯
=
d
e
t
(
A
)
¯
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {det} (A)=\mathrm {det} (A^{H})&=\prod _{\sigma \in S_{n}}\epsilon _{\sigma (1)\ldots \sigma (n)}{\overline {A}}_{1\sigma (1)}\cdot \ldots \cdot {\overline {A}}_{n\sigma (n)}\\&=\prod _{\sigma \in S_{n}}\epsilon _{\sigma (1)\ldots \sigma (n)}{\overline {A_{1\sigma (1)}\cdot \ldots \cdot A_{n\sigma (n)}}}\\&={\overline {\prod _{\sigma \in S_{n}}\epsilon _{\sigma (1)\ldots \sigma (n)}A_{1\sigma (1)}\cdot \ldots \cdot A_{n\sigma (n)}}}\\&={\overline {\mathrm {det} (A)}},\end{aligned}}}
επομένως
d
e
t
(
A
)
{\displaystyle \mathrm {det} (A)}
Το άθροισμα δύο Ερμιτιανών πινάκων είναι Ερμιτιανός.
Απόδειξη
Από τις ιδιότητες του Ερμιτιανού συζυγή, έχουμε ότι
(
A
+
B
)
H
=
A
H
+
B
H
=
A
+
B
{\displaystyle (A+B)^{H}=A^{H}+B^{H}=A+B}
Απόδειξη
Από τις ιδιότητες του Ερμιτιανού συζυγή, έχουμε ότι
(
A
−
1
)
H
=
(
A
H
)
−
1
=
A
−
1
{\displaystyle (A^{-1})^{H}=(A^{H})^{-1}=A^{-1}}
Κάθε Ερμιτιανός πίνακας είναι κανονικός , καθώς
A
H
A
=
A
A
H
{\displaystyle A^{H}A=AA^{H}}
Για κάθε διάνυσμα
v
∈
C
{\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {C} }
v
H
A
v
{\displaystyle \mathbf {v} ^{H}A\mathbf {v} }
Απόδειξη
(
v
H
A
v
)
H
=
v
H
A
H
v
=
v
H
A
v
{\displaystyle (\mathbf {v} ^{H}A\mathbf {v} )^{H}=\mathbf {v} ^{H}A^{H}\mathbf {v} =\mathbf {v} ^{H}A\mathbf {v} }
Κάθε Ερμιτιανός πίνακας έχει πραγματικές ιδιοτιμές
λ
1
,
…
,
λ
n
{\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}
Για κάθε Ερμιτιανό πίνακα
A
{\displaystyle A}
ορθοκανονική βάση
u
1
,
…
,
u
n
{\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}}
ιδιοδιανύσματα του
A
{\displaystyle A}
A
=
∑
i
=
1
n
λ
i
u
i
u
i
H
.
{\displaystyle A=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\mathbf {u} _{i}\mathbf {u} _{i}^{H}.}
