Ένατο πρόβλημα του Χίλμπερτ

Το ένατο πρόβλημα του Χίλμπερτ, που προέρχεται από τον κατάλογο των 23 προβλημάτων Χίλμπερτ (1900). Ο κατάλογος αυτός είχε σημαντικό αντίκτυπο στην ανάπτυξη των μαθηματικών τον 20ό αιώνα. Εδώ αναζητούσε την ανακάλυψη γενικότερου νόμου της αμοιβαιότητας για τα υπόλοιπα τάξης k-th σε ένα γενικό αλγεβρικό σώμα αριθμών, όπου k είναι δύναμη ενός πρώτου αριθμού. Αυτό προϋποθέτει τη μελέτη των αριθμητικών ιδιοτήτων των αλγεβρικών αριθμών και την κατανόηση της συμπεριφοράς των υπολοίπων σε αυτό το διευρυμένο πλαίσιο.

Πρόοδος που σημειώθηκε

Το πρόβλημα λύθηκε εν μέρει από τον Εμίλ Άρτιν με την καθιέρωση του νόμου αμοιβαιότητας του Άρτιν, ο οποίος ασχολείται με αβελιανές επεκτάσεις αλγεβρικών αριθμητικών σωμάτων .

Ο τετραγωνικός νόμος αμοιβαιότητας που αποδείχθηκε από τον Γκάους (διατυπωμένος με το σύμβολο του Λεζάντρ):

$\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}$

δίνει κριτήρια για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων στη Μοδιακή αριθμητική και έχει διαδραματίσει κεντρικό ρόλο στην αλγεβρική θεωρία αριθμών χάρη στις γενικεύσεις της. Τον 19ο αιώνα, διάφοροι ανώτεροι νόμοι αμοιβαιότητας ήταν ήδη γνωστοί, μεταξύ άλλων και από τον Χίλμπερτ στην έκθεση αριθμών του, με την εισαγωγή συμβόλων Χίλμπερτ στη διατύπωση. Ο Χίλμπερτ ζήτησε μια διατύπωση και μια απόδειξη για γενικά αλγεβρικά σώματα αριθμών. Με την ανάπτυξη της θεωρίας των κλάσεων σωμάτων, αρχής γενομένης από τον Τέιτζι Τακάγκι, τα απαραίτητα μέσα ήταν διαθέσιμα, έτσι ώστε ο Εμίλ Άρτιν μπόρεσε να λύσει το πρόβλημα στις αβελιανές επεκτάσεις των αλγεβρικών αριθμητικών σωμάτων (νόμος αμοιβαιότητας του Άρτιν, 1924), και ο Χέλμουτ Χάσε απέδειξε επίσης τα θεωρήματα αμοιβαιότητας στη θεωρία των κλάσεων σωμάτων. Το 1948, ο Ιγκόρ Σαφάρεβιτς σημείωσε σημαντική πρόοδο στην εύρεση ρητών διατυπώσεων για αυτόν τον νόμο αμοιβαιότητας, και οι Χέλμουτ Μπρούκνερ, Σεργκέι Βλαντιμίροβιτς Βοστόκοφ και Γκυ Χένιαρ απλοποίησαν και επέκτειναν τα αποτελέσματά του. Δεν έχει επιτευχθεί ακόμη μια πιο εμπεριστατωμένη γενίκευση στη μη αβελιανή περίπτωση και αποτελεί ένα από τα κύρια προβλήματα της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών, που συνδέεται επίσης με το 12ο πρόβλημα του Χίλμπερτ.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Proof of Dehn's Theorem at Everything2
• Weisstein, Eric W., "Dehn Invariant" από το MathWorld.
• Dehn Invariant at Everything2
• Ντέιβιντ Χίλμπερτ, Μαθηματικά προβλήματα, 6ο πρόβλημα, σε αγγλική μετάφραση.

Δείτε επίσης

• Μερική διαφορική εξίσωση
• Ακέραιος αριθμός
• Θεωρία αριθμών
• Δυναμικός προγραμματισμός
• Σώμα Αριθμών
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μερική διαφορική εξίσωση
• Δωδέκατο πρόβλημα του Χίλμπερτ
• Χώρος Χίλμπερτ
• Ντάβιντ Χίλμπερτ
• Ευκλείδειος χώρος
• Μοδιακή αριθμητική
• Καρλ Φρίντριχ Γκάους

Βιβλιογραφία

• Magurn, Bruce A. (20 Μαΐου 2002). An Algebraic Introduction to K-Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-07944-1. 
• R, Sivaramakrishnan· Sivaramakrishnan, R. (22 Σεπτεμβρίου 2006). Certain Number-Theoretic Episodes In Algebra. CRC Press. ISBN 978-1-4200-1506-5. 
• Corry, Leo (6 Δεκεμβρίου 2012). Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures. Birkhäuser. ISBN 978-3-0348-7917-0. 
• Hazewinkel, Michiel (6 Δεκεμβρίου 2012). Encyclopaedia of Mathematics: Supplement Volume II. Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-015-1279-4. 
• Bashmakova, I. G.· Smirnova, G. S. (27 Απριλίου 2000). The Beginnings and Evolution of Algebra. Cambridge University Press. ISBN 978-0-88385-329-0. 
• Yandell, Ben (12 Δεκεμβρίου 2001). The Honors Class: Hilbert's Problems and Their Solvers. CRC Press. ISBN 978-1-4398-6422-7. 
• Robson, Eleanor· Stedall, Jacqueline (18 Δεκεμβρίου 2008). The Oxford Handbook of the History of Mathematics. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-160744-8. 
• Cai, Tianxin (25 Ιουλίου 2023). A Brief History of Mathematics: A Promenade through the Civilizations of Our World. Springer Nature. ISBN 978-3-031-26841-0. 
• Frei, Günther· Lemmermeyer, Franz (16 Ιανουαρίου 2014). Emil Artin and Helmut Hasse: The Correspondence 1923-1958. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-0348-0715-9. 
• Holden, Helge· Piene, Ragni (21 Ιανουαρίου 2014). The Abel Prize 2008-2012. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-39449-2. 

Παραπομπές

• Shreeram Shankar Abhyankar, "Hilbert's Thirteenth Problem", Algèbre non commutative, groupes quantiques et invariants (Reims, 1995), 1–11, Sémin. Congr., 2, Soc. Math. France, Paris, 1997.
• Edwards, Steve (2003), Heesch's Tiling, http://www.spsu.edu/math/tiling/17.html 
• Tate, John (1976). «Problem 9: The general reciprocity law». Στο: Felix E. Browder, επιμ. Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. XXVIII.2. American Mathematical Society. σελίδες 311–322. ISBN 0-8218-1428-1. 
• Milnor, J. (1976), «Hilbert's problem 18», στο: Browder, Felix E., επιμ., Mathematical developments arising from Hilbert problems, Proceedings of symposia in pure mathematics, 28, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1428-1 

Πηγές

• Benjamin Hart Yandell (2002). The Honors Class, Hilbert's Problems and their solvers by Benjamin Hart Yandell b19510316 d20040825 [2002] {510'.9'04--dc21}. 
• «Hilbert's 23 problems | mathematics | Britannica». www.britannica.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 15 Δεκεμβρίου 2024. 
• James, I. M. (24 Αυγούστου 1999). History of Topology. Elsevier. ISBN 978-0-08-053407-7. 
• Rowe, David E. (9 Ιανουαρίου 2021). Emmy Noether – Mathematician Extraordinaire. Springer Nature. ISBN 978-3-030-63810-8. 
• Reid, Constance (5 Ιουνίου 2013). Courant. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-21626-3. 
• Menzler-Trott, Eckart (7 Μαρτίου 2013). Gentzens Problem: Mathematische Logik im nationalsozialistischen Deutschland. Springer-Verlag. ISBN 978-3-0348-8325-2.