Άβακας

Ο άβακας (abacus) σημαίνει σήμερα ένα απλό αριθμοόργανο που το χρησιμοποιούμε για την εκτέλεση των βασικών πράξεων (πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμό).

An early photograph of the Salamis Tablet, 1899. The original is marble and is held by the National Museum of Epigraphy, in Athens.

Σύγχρονος άβακας.

Η λέξη άβακας είναι η ελληνική λέξη άβαξ που σύμφωνα με τρία αρχαία λεξικά σημαίνει μια πινακίδα, μια σανίδα, κάτι που δεν έχει βάση Ἄβαξ· κυρίως ὁ μὴ ἔχων βάσιν, καταχρηστικῶς δὲ καὶ ἐπὶ οἵουδήποτε σανιδίου. Δηλαδή αρχικά δεν σημαίνει αριθμητήριο.

Σημαίνει επίσης "πίνακα υπολογισμών" ή "πίνακα με άμμο ή σκόνη" που χρησιμοποιείτο για τη σχεδίαση γεωμετρικών σχημάτων. Ομοίως αποτελεί αβάσιμη υπόθεση ότι η Ελληνική λέξη άβαξ προήλθε από τη Σημιτική ρίζα ābāq, την Εβραϊκή λέξη για τη σκόνη.

Όπως μας πληροφορεί ο Δημοσθένης, ο Πολύβιος και ο Διόδωρος αρχικά χρησιμοποιούσαν μικρές πέτρες για πολύπλοκους υπολογισμούς.

Κάποιοι άβακες αποτελούνται από ένα ορθογώνιο πλαίσιο που είναι κατασκευασμένο από ξύλο και χωρισμένο σε παράλληλες γραμμές. Κάθε γραμμή περιέχει ένα σύνολο από χάντρες που κινούνται πάνω σε στερεωμένα λεπτά ξυλαράκια ή σύρματα. Σήμερα χρησιμοποιείται ευρέως από εμπορευόμενους και γραφειακούς υπαλλήλους στην Κίνα και αλλού, αλλά και ως παιδικό εκπαιδευτικό παιχνίδι από μικρά παιδιά για την εκμάθηση των αριθμών και απλών προσθέσεων.

Ελληνικός άβακας

Ένας ελληνικός άβακας (Πλάκα της Σαλαμίνας), βρέθηκε στη Σαλαμίνα το 1846, χρονολογείται γύρω στο 300 π.χ. και υπολογίζεται ότι είναι ο αρχαιότερος που βρέθηκε μέχρι σήμερα. Αρχικά θεωρήθηκε ότι ήταν ένα επιτραπέζιο παιχνίδι.

Είναι κατασκευασμένος πάνω σε μια πλάκα, με διαστάσεις 149 εκ. μήκος, 75 εκ. πλάτος και 4,5 εκ. πάχος. Η πλάκα περιέχει λευκή άμμο και διαιρείται σε δύο τμήματα από ένα μεγάλο διαχωριστικό που υπάρχει στη μέση. Το επάνω τμήμα απαρτίζεται από 5 παράλληλες γραμμές, εξίσου χωρισμένες από μια κάθετη γραμμή, και ένα ημικύκλιο στο σημείο τομής της κατώτερης παράλληλης γραμμής με την κάθετη. Στο δεύτερο τμήμα υπάρχει άλλη μια ομάδα από 11 παράλληλες γραμμές, που επίσης τέμνονται σε δύο τμήματα από μια γραμμή αλλά το ημικύκλιο βρίσκεται αυτή τη φορά στην κορυφή της τομής. Η τρίτη, η έκτη και ένατη από αυτές τις γραμμές σημειώνονται με ένα σταυρό στο σημείο τομής με την κάθετη γραμμή.

Ρωμαϊκός άβακας

Ανακατασκευή ρωμαϊκού άβακα.

Ο τελευταίος ρωμαϊκός άβακας που παρουσιάζεται στη διπλανή αναδημιουργία αποτελείται από οχτώ μακριά αυλάκια που περιέχουν μέχρι πέντε χάντρες το κάθε ένα και οκτώ πιο μικρά αυλάκια που έχουν είτε μια είτε καμία χάντρα.

Το χαρακτηριστικό αυλάκι Ι δείχνει τις μονάδες, το Χ τις δεκάδες κλπ. μέχρι τα εκατομμύρια. Οι χάντρες στα πιο μικρά αυλάκια δείχνουν πέντε πεντάδες μονάδες, πέντε δεκάδες, κ.τ.λ., ουσιαστικά σε ένα κωδικοποιημένο πενταδικό σύστημα, προφανώς σχετικό με τους ρωμαϊκούς τρόπους μετρήσεων των αριθμών. Τα μικρά αυλάκια στα δεξιά μπορεί να είχαν χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό των ρωμαϊκών ουγγιών.

Οι υπολογισμοί γίνονται με τη βοήθεια των χαντρών που πιθανώς θα γλιστρούσαν πάνω-κάτω στα αυλάκια για να δείξουν την αξία κάθε στήλης.

Κινεζικός άβακας

Ο Κινεζικός άβακας, σουάν παν.

Πριν από την εφεύρεση του κινεζικού άβακα, μετρικές ράβδοι, εγκοπές στα κόκαλα και άλλοι συμβολικοί μέθοδοι χρησιμοποιήθηκαν αναμφισβήτητα ως εργαλείο για τη μέτρηση και τον υπολογισμό.

Ο άβακας των Κινέζων, suànpán, είναι σε γενικές γραμμές παρόμοιος με τον ρωμαϊκό, εν τούτοις έχει μια διαφορετική κατασκευή, και είχε ως σκοπό τη χρήση και του δεκαδικού και του δεκαεξαδικού συστήματος αρίθμησης.

Ο κινεζικός άβακας έχει περίπου 20 εκ. μήκος και διαφοροποιείται στο πλάτος ανάλογα με την εφαρμογή. Έχει συνήθως περισσότερες από εφτά ράβδους. Υπάρχουν δύο χάντρες σε κάθε ράβδο στην ανώτερη πτέρυγα και πέντε χάντρες σε κάθε ράβδο στο κατώτατο σημείο. Οι χάντρες συνήθως είναι σφαιρικές, αποτελούνται από σκληρό ξύλο και υπολογίζονται σύμφωνα με τη θέση τους πάνω στη ράβδο. Ο άβακας μπορεί να επανέλθει στην αρχική του κατάσταση άμεσα με ένα τράνταγμα κατά μήκος του οριζόντιου άξονα, ώστε να απομακρύνει όλες τις χάντρες από την ακτίνα στο κέντρο.

Οι κινεζικοί άβακες μπορούν να χρησιμοποιηθούν και για άλλες λειτουργίες εκτός από τον υπολογισμό. Αντίθετα από τον απλό πίνακα που χρησιμοποιείται στα δημοτικά σχολεία, πολύ αποδοτικές τεχνικές έχουν αναπτυχθεί για επαγγελματικούς άβακες ώστε να κάνουν πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό, διαίρεση και υπολογισμό τετραγωνικής και κυβικής ρίζας με πολύ μεγάλη ταχύτητα.

Η αριθμητική χαντρών είναι η τεχνική υπολογισμού που χρησιμοποιούν οι διάφοροι τύποι αβάκων, και πιο συγκεκριμένα ο κινεζικός άβακας. Η ομοιότητα του ρωμαϊκού και του κινεζικού άβακα δίνει την εντύπωση ότι κάποιος θα μπορούσε να έχει αντιγράψει τον άλλο, δεδομένου ότι υπάρχουν κάποια στοιχεία εμπορικής σχέσης μεταξύ της Ρωμαϊκής αυτοκρατορίας και της Κίνας. Εντούτοις, καμία άμεση σύνδεση δεν μπορεί να αποδειχθεί, και η ομοιότητα των αβάκων μπορεί να είναι συμπτωματική, μιας και οι δύο προκύπτουν τελικά από τον υπολογισμό με πέντε δάχτυλα ανά χέρι. Το ρωμαϊκό πρότυπο (όπως τα πιο σύγχρονα ιαπωνικά) έχει τέσσερις συν μια χάντρα ανά δεκαδική θέση, ενώ ο τυποποιημένος κινεζικός άβακας έχει πέντε συν δύο, επιτρέποντας τη χρήση μεγαλύτερης ακρίβειας αριθμητικών αλγορίθμων, και δίνοντας επίσης τη δυνατότητα χρήσης του δεκαεξαδικού συστήματος αρίθμησης.

Αντί να μετακινούνται πάνω σε καλώδια όπως στα κινεζικά και ιαπωνικά πρότυπα, οι χάντρες των ρωμαϊκών αβάκων κινούνταν μέσα σε αυλάκια, πιθανώς καθιστώντας τους αριθμητικούς υπολογισμούς πολύ πιο αργούς. Ενδεχομένως ο ρωμαϊκός άβακας χρησιμοποιήθηκε πρώτιστα για τον απλό υπολογισμό. Σ'ένα διαγωνισμό μεταξύ του κινεζικού άβακα και του ηλεκτρικού υπολογιστή στις 12 Νοεμβρίου 1946, ο άβακας κέρδισε στα 4 από τα 5 τεστ που έγιναν.

Ιαπωνικός άβακας

Ο Ιαπωνικός άβακας, Soroban.

Ο ιαπωνικός άβακας, ή αλλιώς soroban, είναι μια τροποποίηση του κινεζικού άβακα, και έχει περίπου 8 εκ. μήκος. Οι χάντρες σε έναν soroban διαμορφώνονται συνήθως ως διπλός κώνος για να διευκολύνουν τη μετακίνηση.

Οι παραδοσιακές κινεζικές μονάδες μέτρησης του βάρους χρησιμοποιούσαν ένα δεκαεξαδικό σύστημα που απαιτούσε δύο χάντρες στην ανώτερη πτέρυγα. Η πρώτη ιαπωνική τροποποίηση απέβαλε μια χάντρα από την πτέρυγα αυτή και αργότερα άλλη μια χάντρα από τη χαμηλότερη πτέρυγα του κινεζικού άβακα, κατασκευάζοντας έτσι τον ιαπωνικό άβακα καθαρά για το δεκαδικό σύστημα. Οι Ιάπωνες απέβαλαν επίσης τη χρήση του Qiuchu (κινεζικός πίνακας διαιρέσεων). Εντούτοις, ο κινεζικός πίνακας διαιρέσεων χρησιμοποιούνταν ακόμα όταν υπήρχαν 5 ή λιγότερες χάντρες. Έτσι τη δεκαετία του '20 ήρθε στο προσκήνιο η χρήση του πίνακα πολλαπλασιασμού παρά του πίνακα διαίρεσης, και τελικά επικράτησε. Οι ράβδοι (αριθμός ψηφίων) συνήθως αυξάνονται σε 21, 23, 27 ή ακόμα και 31, επιτρέποντας κατά συνέπεια τον υπολογισμό αριθμών με περισσότερα ψηφία ή παραστάσεις πολλών διαφορετικών αριθμών συγχρόνως.

Το Soroban διδάσκεται στα σχολεία πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης ως μέρος των μαθηματικών επειδή το δεκαδικό αριθμητικό σύστημα μπορεί να καταδειχθεί οπτικά. Όταν διδάσκεται το soroban, ένα τραγούδι-οδηγία εκφωνείται από το δάσκαλο. Παρά την εμφάνιση των φορητών υπολογιστών, αρκετοί γονείς στέλνουν τα παιδιά τους σε ιδιωτικούς δασκάλους για να μάθουν να χρησιμοποιούν το soroban επειδή η άνετη χρήση του μπορεί να εξελιχθεί εύκολα σε διανοητική αριθμητική προηγμένου επίπεδου.

Ρωσικός άβακας

Ο Ρωσικός άβακας, Schoty.

Ο ρωσικός άβακας, ή αλλιώς schoty, συνήθως αποτελείται από μια ενιαία πτέρυγα, με δέκα χάντρες σε κάθε καλώδιο, εκτός από ένα καλώδιο που έχει τέσσερις χάντρες. Το συγκεκριμένο χρησιμεύει για τον υπολογισμό των ρουβλιών, και συνήθως είναι το πλησιέστερο στον χρήστη. Ο ρωσικός άβακας χρησιμοποιείται κάθετα, με τις χάντρες στα καλώδια να μετακινούνται από τα δεξιά στα αριστερά, αντίθετα με τον τρόπο που διαβάζεται ένα βιβλίο. Τα καλώδια λυγίζουν στο κέντρο τους προς τα πάνω, προκειμένου να κρατάνε τις χάντρες με ασφάλεια σε κάθε πλευρά. Καθαρίζεται όταν κινούνται όλες οι χάντρες προς τα δεξιά, ενώ κατά τη διάρκεια του χειρισμού, οι χάντρες κινούνται προς το αριστερά. Για ευκολία, οι 2 μέσες χάντρες σε κάθε καλώδιο (η 5η και 6η χάντρα) συνήθως έχουν διαφορετικό χρώμα από τις άλλες 8 χάντρες. Επιπλέον, η αριστερή χάντρα του καλωδίου που μετράει τις χιλιάδες και τα εκατομμύρια μπορεί να έχει διαφορετικό χρώμα.

Σήμερα ο ρωσικός άβακας είναι ακόμα σε λειτουργία στα καταστήματα και τις αγορές σε όλη την πρώην Σοβιετική Ένωση, αν και δεν διδάσκεται πλέον στα περισσότερα σχολεία.

Σχολικός άβακας

Τυπικός σχολικός άβακας.

Σε όλο τον κόσμο, οι άβακες πλέον χρησιμοποιούνται στους παιδικούς σταθμούς και τα δημοτικά σχολεία ως εναλλακτικός τρόπος για να διδαχτεί η αριθμητική το σύστημα αρίθμησης. Στις δυτικές χώρες, ο πιο κοινός άβακας είναι παρόμοιος με τον ρωσικό άβακα αλλά με τα καλώδια να είναι ίσια ευθέα (δείτε την εικόνα).

Ο τύπος άβακα που παρουσιάζεται στην εικόνα χρησιμοποιείται συχνά για να αντιπροσωπεύσει τους αριθμούς χωρίς τη χρήση της αξίας θέσεων. Κάθε χάντρα και κάθε καλώδιο έχουν την ίδια αξία και χρησιμοποιημένος κατά αυτόν τον τρόπο μπορεί να αντιπροσωπεύσει τους αριθμούς μέχρι το 100.

Το σημαντικότερο εκπαιδευτικό πλεονέκτημα του άβακα, όταν γίνονται υπολογισμοί και απλή πρόσθεση είναι ότι δίνει στο σπουδαστή μια συνειδητοποίηση του δεκαδικού συστήματος που είναι το θεμέλιο του συστήματος αρίθμησής μας. Αν και οι ενήλικοι παίρνουν ως δεδομένο το δεκαδικό σύστημα, στην πραγματικότητα είναι πολύ δύσκολο να διδαχθεί. Πολλά εξάχρονα παιδιά μπορούν να μετρήσουν μέχρι το 100 παπαγαλίστικα συνειδητοποιώντας ελάχιστα τους αριθμούς που περιλαμβάνονται.

Χρήση από τυφλούς

Οι άβακες ακόμα χρησιμοποιούνται από τα άτομα που είναι τυφλά. Χρησιμοποιούν έναν άβακα για να εκτελέσουν πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό, διαίρεση, τετραγωνική ρίζα και κυβική ρίζα. Ένα κομμάτι μαλακού υφάσματος ή λάστιχου τοποθετείται πίσω από τις χάντρες έτσι ώστε να μην κινούνται ακούσια. Αυτό κρατά τις χάντρες στη σωστή θέση καθώς ο χρήστης τις αισθάνεται δια της αφής ή τις χειρίζεται.

Πρόσφατα, οι άβακες αντικαταστάθηκαν ως ένα ορισμένο βαθμό από ηλεκτρονικούς υπολογιστές με ομιλία, αλλά μόνο σε χώρες όπου είναι εύκολα προσβάσιμη και προσιτή τέτοια τεχνολογία. Εντούτοις, ακόμα και όταν είναι διαθέσιμη, πολλοί τυφλοί άνθρωποι προτιμούν ακόμα να χρησιμοποιήσουν τον άβακα. Επιπλέον, τα μορφωμένα τυφλά παιδιά πρέπει να μάθουν στα σχολεία πώς να χρησιμοποιήσουν τον άβακα προτού τους επιτραπεί η χρήση ενός ομιλούντος υπολογιστή ή μιας παρόμοιας συσκευής.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Πολυμέσα σχετικά με το θέμα Abacus στο Wikimedia Commons