Φράκταλ

Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο)^[1] στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο βαθμό μεγέθυνσης, κι έτσι συχνά αναφέρεται σαν "απείρως περίπλοκο".

Το σύνορο του συνόλου Μάντελμπροτ έχει κι αυτό φράκταλ δομή.

Ετυμολογία

Ο όρος " φράκταλ" επινοήθηκε από τον μαθηματικό Μπενουά Μάντελμπροτ το 1975^[2]. Ο Μάντελμπροτ τον βάσισε στο λατινικό frāctus, που σημαίνει "σπασμένος" ή "κατακερματισμένος", και τον χρησιμοποίησε για να επεκτείνει την έννοια των θεωρητικών μορφοκλασματικών διαστάσεων σε γεωμετρικά μοτίβα στη φύση^[3]^[4]

Ιδιότητες

Το φράκταλ παρουσιάζεται ως "μαγική εικόνα" που όσες φορές και να μεγεθυνθεί οποιοδήποτε τμήμα του θα συνεχίζει να παρουσιάζει ένα εξίσου περίπλοκο σχέδιο με μερική ή ολική επανάληψη του αρχικού. Χαρακτηριστικό επομένως των φράκταλ είναι η λεγόμενη αυτο-ομοιότητα (self-similarity) σε κάποιες δομές τους, η οποία εμφανίζεται σε διαφορετικά επίπεδα μεγέθυνσης.

Τα φράκταλ σε πολλές περιπτώσεις μπορεί να προκύψουν από τύπο που δηλώνει αριθμητική, μαθηματική ή λογική επαναληπτική διαδικασία ή συνδυασμό αυτών. Η πιο χαρακτηριστική ιδιότητα των φράκταλ είναι ότι είναι γενικά περίπλοκα ως προς τη μορφή τους, δηλαδή εμφανίζουν ανωμαλίες στη μορφή σε σχέση με τα συμβατικά γεωμετρικά σχήματα. Κατά συνέπεια δεν είναι αντικείμενα τα οποία μπορούν να οριστούν με τη βοήθεια της ευκλείδειας γεωμετρίας. Αυτό υποδεικνύεται από το ότι τα φράκταλ, όπως έχει αναφερθεί παραπάνω, έχουν λεπτομέρειες, οι οποίες όμως γίνονται ορατές μόνο μετά από μεγέθυνσή τους σε κάποια κλίμακα.

Για να γίνει αντιληπτός αυτός ο διαχωρισμός των φράκταλ σε σχέση με την ευκλείδεια γεωμετρία, αναφέρουμε ότι, αν μεγεθύνουμε κάποιο αντικείμενο το οποίο μπορεί να οριστεί με την ευκλείδεια γεωμετρία, παραδείγματος χάριν την περιφέρεια μιας έλλειψης, αυτή μετά από αλλεπάλληλες μεγεθύνσεις θα εμφανίζεται απλά ως ευθύγραμμο τμήμα. Η συμβατική ιδέα της καμπυλότητας η οποία αντιπροσωπεύει το αντίστροφο της ακτίνας ενός προσεγγίζοντος κύκλου, δεν μπορεί ωφέλιμα να ισχύσει στα φράκταλ επειδή αυτή εξαφανίζεται κατά τη μεγέθυνση. Αντίθετα, σε ένα φράκταλ, θα εμφανίζονται κατόπιν μεγεθύνσεων λεπτομέρειες που δεν ήταν ορατές σε μικρότερη κλίμακα μεγέθυνσης.

Φράκταλ απαντώνται και στη φύση, χωρίς όμως να υπάρχει άπειρη λεπτομέρεια στη μεγέθυνση όπως στα φράκταλ που προκύπτουν από μαθηματικές σχέσεις. Ως παραδείγματα φράκταλ στη φύση, αναφέρονται το σχέδιο των νιφάδων του χιονιού, τα φύλλα των φυτών ή οι διακλαδώσεις των αιμοφόρων αγγείων.

Παράδειγμα

Για να κατανοήσουμε καλύτερα την αναγκαιότητα εισαγωγής των φράκταλ αναφέρουμε το εξής παράδειγμα:

Η περίμετρος ενός νησιού εννοείται ότι είναι ορισμένη. Ωστόσο, αν χρησιμοποιήσουμε την ακρίβεια ενός μέτρου για να την μετρήσουμε, θα την βρούμε μικρότερη από ότι πραγματικά είναι γιατί δεν θα μπορέσουμε να μετρήσουμε τις κοιλότητες που είναι μικρότερες του ενός μέτρου. Αν μετρήσουμε με ακρίβεια ενός εκατοστού, πάλι θα χάσουμε ορισμένες κοιλότητες. Έτσι καταλήγουμε σε απειροστά μικρή μονάδα μέτρησης και η περίμετρος του νησιού θα γίνει άπειρη. Η επιφάνεια όμως του νησιού, η έκτασή του δηλαδή, είναι ορισμένη. Το παράδοξο αυτό, το οποίο η Ευκλείδεια Γεωμετρία αδυνατεί να εξηγήσει, αντιμετωπίζεται με τα φράκταλ.

Εφαρμογές

Τα μορφοκλασματικά πρότυπα έχουν διαμορφωθεί εκτενώς, αν και σε ένα εύρος κλιμάκων και όχι σε άπειρες, λόγω των πρακτικών ορίων του φυσικού χρόνου και χώρου. Τα πρότυπα μπορεί να προσομοιώνουν θεωρητικά φράκταλ ή φυσικά φαινόμενα με χαρακτηριστικά φράκταλ. Τα αποτελέσματα της διαδικασίας μοντελοποίησης μπορεί να είναι άκρως καλλιτεχνικές απεικονίσεις, αποτελέσματα για έρευνα ή σημεία αναφοράς για ανάλυση φράκταλ. Ορισμένες ειδικές εφαρμογές των φράκταλ στην τεχνολογία παρατίθενται αλλού. Οι εικόνες και άλλες εκροές της μοντελοποίησης αναφέρονται συνήθως ως "φράκταλ" ακόμη και αν δεν έχουν αυστηρά φράκταλ χαρακτηριστικά, όπως όταν είναι δυνατόν να μεγεθυνθεί μια περιοχή της μορφοκλασματικής εικόνας που δεν παρουσιάζει φράκταλ ιδιότητες. Επίσης, μπορεί να περιλαμβάνουν τεχνουργήματα υπολογισμού ή εμφάνισης που δεν αποτελούν χαρακτηριστικά πραγματικών φράκταλ.

Τα μορφοποιημένα φράκταλ μπορεί να είναι ήχοι,^[5] ψηφιακές εικόνες, ηλεκτροχημικά μοτίβα, κιρκάδιοι ρυθμοί,^[6] κ.λπ. Τα φράκταλ μοτίβα έχουν ανακατασκευαστεί σε φυσικό τρισδιάστατο χώρο: και εικονικά, συχνά αποκαλούμενη "in silico" μοντελοποίηση. Τα μοντέλα των φράκταλ δημιουργούνται γενικά με τη χρήση λογισμικού δημιουργίας φράκταλ που υλοποιεί τεχνικές όπως αυτές που περιγράφονται παραπάνω.^[7] Ως ένα παράδειγμα, τα δέντρα, οι φτέρες, τα κύτταρα του νευρικού συστήματος^[8], τα αγγεία του αίματος και των πνευμόνων και άλλα διακλαδισμένα μοτίβα της φύσης μπορούν να μοντελοποιηθούν σε υπολογιστή με τη χρήση αναδρομικών αλγορίθμων και τεχνικών L-συστημάτων.

Η αναδρομική φύση ορισμένων μοτίβων είναι προφανής σε ορισμένα παραδείγματα - ένα κλαδί από ένα δέντρο ή ένα κλωνάρι από μια φτέρη είναι ένα μικροσκοπικό αντίγραφο του συνόλου: όχι πανομοιότυπο, αλλά παρόμοιο στη φύση. Ομοίως, τα τυχαία φράκταλ έχουν χρησιμοποιηθεί για την περιγραφή/δημιουργία πολλών εξαιρετικά ακανόνιστων αντικειμένων του πραγματικού κόσμου. Ένας περιορισμός της μοντελοποίησης των φράκταλ είναι ότι η ομοιότητα ενός μοντέλου φράκταλ με ένα φυσικό φαινόμενο δεν αποδεικνύει ότι το φαινόμενο που μοντελοποιείται σχηματίζεται από μια διαδικασία παρόμοια με τους αλγορίθμους μοντελοποίησης.

Εξωτερικοί Σύνδεσμοι

Ομιλία του Μπενουά Μάντελμπροτ με υποτίτλους στα ελληνικά
Fractals στο Library of Congress (αρχειοθετήθηκε November 16, 2001)
Scaling and Fractals Αρχειοθετήθηκε 2021-03-01 στο Wayback Machine. presented by Shlomo Havlin, Bar-Ilan University
Hunting the Hidden Dimension, PBS NOVA, first aired August 24, 2011
Benoit Mandelbrot: Fractals and the Art of Roughness Αρχειοθετήθηκε 2014-02-17 στο Wayback Machine., TED, February 2010
Technical Library on Fractals for controlling fluid
Equations of self-similar fractal measure based on the fractional-order calculus（2007）
http://www.islab.demokritos.gr/gr/html/parousiaseis/fractals/index.html

Βιβλιογραφία

Barnsley, Michael F.; and Rising, Hawley; Fractals Everywhere. Boston: Academic Press Professional, 1993. ISBN 0-12-079061-0
Duarte, German A.; Fractal Narrative. About the Relationship Between Geometries and Technology and Its Impact on Narrative Spaces. Bielefeld: Transcript, 2014. ISBN 978-3-8376-2829-6
Falconer, Kenneth; Techniques in Fractal Geometry. John Wiley and Sons, 1997. ISBN 0-471-92287-0
Jürgens, Hartmut; Peitgen, Heinz-Otto; and Saupe, Dietmar; Chaos and Fractals: New Frontiers of Science. New York: Springer-Verlag, 1992. ISBN 0-387-97903-4
Mandelbrot, Benoit B.; The Fractal Geometry of Nature. New York: W. H. Freeman and Co., 1982. ISBN 0-7167-1186-9
Peitgen, Heinz-Otto; and Saupe, Dietmar; eds.; The Science of Fractal Images. New York: Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-96608-0
Pickover, Clifford A.; ed.; Chaos and Fractals: A Computer Graphical Journey – A 10 Year Compilation of Advanced Research. Elsevier, 1998. ISBN 0-444-50002-2
Jones, Jesse; Fractals for the Macintosh, Waite Group Press, Corte Madera, CA, 1993. ISBN 1-878739-46-8.
Lauwerier, Hans; Fractals: Endlessly Repeated Geometrical Figures, Translated by Sophia Gill-Hoffstadt, Princeton University Press, Princeton NJ, 1991. ISBN 0-691-08551-X, cloth. ISBN 0-691-02445-6 paperback. "This book has been written for a wide audience..." Includes sample BASIC programs in an appendix.
Sprott, Julien Clinton (2003). Chaos and Time-Series Analysis. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850839-7.
Wahl, Bernt; Van Roy, Peter; Larsen, Michael; and Kampman, Eric; Exploring Fractals on the Macintosh, Addison Wesley, 1995. ISBN 0-201-62630-6
Lesmoir-Gordon, Nigel; The Colours of Infinity: The Beauty, The Power and the Sense of Fractals. 2004. ISBN 1-904555-05-5 (The book comes with a related DVD of the Arthur C. Clarke documentary introduction to the fractal concept and the Mandelbrot set.)
Liu, Huajie; Fractal Art, Changsha: Hunan Science and Technology Press, 1997, ISBN 9787535722348.
Gouyet, Jean-François; Physics and Fractal Structures (Foreword by B. Mandelbrot); Masson, 1996. ISBN 2-225-85130-1, and New York: Springer-Verlag, 1996. ISBN 978-0-387-94153-0. Out-of-print. Available in PDF version at.«Physics and Fractal Structures» (στα Γαλλικά). Jfgouyet.fr. Ανακτήθηκε στις 17 Οκτωβρίου 2010.
Falconer, Kenneth (2013). Fractals, A Very Short Introduction. Oxford University Press.

Πηγές

Η μαγεία των φράκταλ ΤΟ ΒΗΜΑ Science

Δείτε επίσης

Παραπομπές

↑ Mandelbrot, Benoit B. (1983). The Fractal Geometry of Nature. Henry Holt and Company. ISBN 978-0-7167-1186-5.
↑ Benoît Mandelbrot, Objets fractals, 1975, p. 4
↑ Albers, Donald J.· Alexanderson, Gerald L. (2008). «Benoît Mandelbrot: In his own words». Mathematical people : profiles and interviews. Wellesley, MA: AK Peters. σελ. 214. ISBN 978-1-56881-340-0.
↑ Albers, Donald J.; Alexanderson, Gerald L. (2008). "Benoît Mandelbrot: In his own words". Mathematical people : profiles and interviews. Wellesley, MA: AK Peters. p. 214. ISBN 978-1-56881-340-0.
↑ Brothers, Harlan J. (2007-03). «STRUCTURAL SCALING IN BACH'S CELLO SUITE NO. 3» (στα αγγλικά). Fractals 15 (01): 89–95. doi:10.1142/S0218348X0700337X. ISSN 0218-348X. https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0218348X0700337X.
↑ Fathallah-Shaykh, Hassan M. (2011). «Fractal Dimension of the Drosophila Circadian Clock». Fractals 19 (4): 423–430. doi:10.1142/S0218348X11005476.
↑ Vicsek, Tamás (1992). Fractal growth phenomena. Singapore/New Jersey: World Scientific. pp. 31, 139–146. ISBN 978-981-02-0668-0.
↑ Hahn, Horst K.· Georg, Manfred· Peitgen, Heinz-Otto (2005). «Fractal aspects of three-dimensional vascular constructive optimization». Στο: Losa, Gabriele A.· Nonnenmacher, Theo F. Fractals in biology and medicine. Springer. σελίδες 55–66. ISBN 978-3-7643-7172-2.

[1] Mandelbrot, Benoit B. (1983). The Fractal Geometry of Nature. Henry Holt and Company. ISBN 978-0-7167-1186-5.

[2] Benoît Mandelbrot, Objets fractals, 1975, p. 4

[Mandelbrot_quote-3] Albers, Donald J.· Alexanderson, Gerald L. (2008). «Benoît Mandelbrot: In his own words». Mathematical people : profiles and interviews. Wellesley, MA: AK Peters. σελ. 214. ISBN 978-1-56881-340-0.

[4] Albers, Donald J.; Alexanderson, Gerald L. (2008). "Benoît Mandelbrot: In his own words". Mathematical people : profiles and interviews. Wellesley, MA: AK Peters. p. 214. ISBN 978-1-56881-340-0.

[5] Brothers, Harlan J. (2007-03). «STRUCTURAL SCALING IN BACH'S CELLO SUITE NO. 3» (στα αγγλικά). Fractals 15 (01): 89–95. doi:10.1142/S0218348X0700337X. ISSN 0218-348X. https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0218348X0700337X.

[6] Fathallah-Shaykh, Hassan M. (2011). «Fractal Dimension of the Drosophila Circadian Clock». Fractals 19 (4): 423–430. doi:10.1142/S0218348X11005476.

[7] Vicsek, Tamás (1992). Fractal growth phenomena. Singapore/New Jersey: World Scientific. pp. 31, 139–146. ISBN 978-981-02-0668-0.

[modeling_vasculature-8] Hahn, Horst K.· Georg, Manfred· Peitgen, Heinz-Otto (2005). «Fractal aspects of three-dimensional vascular constructive optimization». Στο: Losa, Gabriele A.· Nonnenmacher, Theo F. Fractals in biology and medicine. Springer. σελίδες 55–66. ISBN 978-3-7643-7172-2.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]