Σώμα Αριθμών

Στα μαθηματικά, ένα αλγεβρικό σώμα αριθμών (ή απλά σώμα αριθμών) F είναι μια πεπερασμένη (και άρα αλγεβρική) επέκταση σώματος του σώματος των ρητών αριθμών Q. Έτσι το F είναι ένα σώμα που περιέχει το Q και έχει πεπερασμένη διάσταση όταν λογίζεται ως διανυσματικός χώρος πάνω από το Q.

Η μελέτη των αλγεβρικών σωμάτων, και, γενικότερα, των αλγεβρικών επεκτάσεων του σώματος των ρητών αριθμών, είναι ένα κεντρικό θέμα της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών.

Ορισμός

Προϋποθέσεις

Η ιδέα ενός αλγεβρικού σώματος βασίζεται στην έννοια ενός σώματος. Ένα σώμα αποτελείται από ένα σύνολο στοιχείων μαζί με δυο πράξεις, οι οποίες ονομάζονται πρόσθεση, και πολλαπλασιασμός, και μερικές υποθέσεις. Ένα έξοχο παράδειγμα σώματος είναι το σώμα των ρητών αριθμών, συμβολιζόμενο συνήθως με Q, μαζί με τις συνήθεις πράξεις της πρόσθεσης κτλ.

Μια άλλη ιδέα που χρειάζεται για να προσδιορίσουμε αλγεβρικά σώματα είναι αυτή των διανυσματικών χώρων. Εδώ να προσθέσουμε ότι, μπορούμε να θεωρήσουμε πως οι διανυσματικοί χώροι αποτελούνται από ακολουθίες

(x₁, x₂, ...)

των οποίων οι όροι είναι στοιχεία ενός σταθερού σώματος, όπως το σώμα Q. Οποιεσδήποτε τέτοιες δυο ακολουθίες μπορούν να προστεθούν προσθέτοντας τους όρους έναν προς έναν.Επιπρόσθετα, κάθε ακολουθία μπορεί να πολλαπλασιαστεί από ένα συγκεκριμένο στοιχείο c του σταθερού σώματος. Οι δυο αυτές πράξεις γνωστές ως διανυσματική πρόθεση και βαθμωτός πολλαπλασιασμός ικανοποιούν ένα αριθμό ιδιοτήτων οι οποίες βοηθούν στο να ορίσουμε τους διανυσματικούς χώρους αφηρημένα. Οι διανυσματικοί χώροι μπορούν να είναι "πεπερασμένης διάστασης", δηλαδή οι ακολουθίες που τους απαρτίζουν να είναι πεπερασμένου μήκους. Αν, όμως, ο διανυσματικός χώρος αποτελείται από πεπερασμένες ακολουθίες

(x₁, x₂, ..., x_n),

ο διανυσματικός χώορς λέγεται πεπερασμένης διάστασης, n.

Ορισμός

Ένα αλγεβρικό σώμα (ή απλά σώμα) είναι ένα πεπερασμένου βαθμού σώμα επέκτασης του σώματος των ρητών αριθμών. Εδώ η διάσταση του ως ένας διανυσματικός χώρος πάνω από το Q λέγεται απλά βαθμός.

Παραδείγματα

• Το μικρότερο και πιο βασικό σώμα είναι το σώμα Q of rational των ρητών αριθμών. Πολλές ιδιότητες σωμάτων, όπως η μονοσήμαντη ανάλυση, διαμορφώθηκαν από ιδιότητες του Q.

• Οι ρητοί του Gauss, που συμβολίζονται με Q(i) (διαβάζεται σαν "Q επισύναψη i"), σχηματίζουν το πρώτο μη-τετριμμένο παράδειγμα ενός σώματος αριθμών. Τα στοιχεία του είναι εκφράσεις της μορφής

a+bi

όπου a και b είναι ρητοί αριθμοι και i είναι η φανταστική μονάδα. Τέτοιες εκφράσεις μπορούν να προστεθούν, να αφαιρεθούν, και να πολλαπλασιαστούν σύμφωνα με τους συνήθεις κανόνες της αριθμητικής και μετά να απλοποιηθούν χρησιμοποιώντας την ταυτότητα

i² = −1.

Αναλυτικά,

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

(a + bi) (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.

Οι μη-μηδενικοί ρητοί του Gauss είναι αντιστρέψιμοι, το οποίο φαίνεται από την ταυτότητα

$(a+bi)\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {(a+bi)(a-bi)}{a^{2}+b^{2}}}=1.$

Οι ρητοί του Gauss σχηματίζουν ένα σώμα το οποίο είναι δυδιάστατο ως διανυσματικός χώρος πάνω από το Q.

• Γενικότερα, για κάθε ελεύθερο τετραγώνου ακέραιο d, το τετραγωνικό σώμα

Q(√d)

είναι ένα σώμα που προκύπτει επισυνάπτοντας την τετραγωνική ρίζα του d στο σώμα των ρητών. Οι αριθμητικές πράξεις στο σώμα αυτό προσδιορίζονται κατ'αναλογία με αυτές των ρητών του Gauss, d = − 1.

• Κυκλοτομικό σώμα

Q(ζ_n), ζ_n = exp (2πi / n)

είναι ένα σώμα που προκύπτει από το Q επισυνάπτοντας μια πρωτογενή n-οστή ρίζα του ζ_n. Το σώμα αυτό περιέχει όλες τις σύνθετες n-οστές ρίζες του ζ_n και η διάστασή του πάνω από το Q είναι ίση με φ(n), όπου φ είναι η συνάρτηση του Euler.

• Οι πραγματικοί αριθμοί, R, και οι μιγαδικοί αριθμοί, C, είναι σώματα τα οποία έχουν μη-πεπερασμένη διάσταση ως Q-διανυσματικοί χώροι, άρα, δεν είναι σώματα αριθμών. Αυτό έπεται από την μη-μετρησιμότητα των R και C ως σύνολα, ενώ κάθε σώμα αριθμών είναι απαραίτητα μετρήσιμο.

• Το σύνολο Q² των διατεταγμένων ζευγών των ρητών αριθμών, μαζί με την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό είναι μια δυδιάστατη αντιμεταθετική άλγεβρα πάνω από το Q. Όμως, δεν είναι σώμα, αφού περιέχει διαιρέτες του μηδενός:

(1, 0) · (0, 1) = (1 · 0, 0 · 1) = (0, 0).

Αλγεβρικότητα και δακτύλιος ακεραίων

Γενικά, στην αφηρημένη άλγεβρα, ένα σώμα επέκτασης F / E είναι αλγεβρικό αν κάθε στοιχείο f του μεγαλύτερου σώματος F είναι ρίζα ενός πολυωνύμου με συντελεστές e₀, ..., e_m in E:

p(f) = e_mf^m + e_m−1f^m−1 + ... + e₁f + e₀ = 0.

Είναι γεγονός ότι κάθε πεπερασμένο σώμα επέκτασης είναι αλγεβρικό (απόδειξη: για x στο F απλά θεωρείστε x, x^2, x^3 ...παίρνουμε μια γραμμική εξάρτηση, π.χ. ένα πολυώνυμο x είναι μια ρίζα του!). Ειδικότερα αυτό εφαρμόζεται στα αλγεβρικά σώματα, έτσι ώστε κάθε στοιχείο f ενός αλγεβρικού σώματος F να μπορεί να γραφτεί μια ρίζα ενός πολυωνύμου με ρητούς συντελεστές. Συνεπώς, τα στοιχεία του F αναφέρονται επίσης ως αλγεβρικοί αριθμοί. Δοθέντος ενός πολυωνύμου p τέτοιου ώστε p(f) = 0, μπορεί να εξασφαλιστεί ότι ο συντελεστής του μεγιστοβάθμιου όρου e_m είναι μονάδα, διαιρώντας όλους τους συντελεστές με αυτόν, αν είναι απαραίτητο. Ένα πολυώνυμο με αυτήν την ιδιότητα είναι γνωστό ως μονικό πολυώνυμο. Γενικά θα έχει ρητούς συντελεστές. Αν, όμως, οι συντελεστές του είναι όλοι ακέραιοι, το f καλείται ακέραιος αλγεβρικός. Κάθε (συνήθης) ακέραιος z ∈ Z είναι αλγεβρικός ακέραιος, καθώς είναι ρίζα του γραμμικού μονικού πολυωνύμου:

p(t) = t − z.

Μπορεί να δειχθεί ότι κάθε ακέραιος αλγεβρικός που είναι επίσης ρητός αριθμός είναι στην πραγματικότητα ακέραιος, εξ'ου και το όνομα "ακέραιος αλγεβρικός". Χρησιμοποιώνας ξανά αφηρημένη άλγεβρα, και συγκεκριμένα την ιδέα ενός πεπερασμένα παραγόμενου μοντέλου, μπορεί να δειχθεί ότι το άθροισμα και το γινόμενο οποιωνδήποτε δυο ακέραιων αλγεβρικων είναι επίσης ακέραιος αλγεβρικός, έπεται ότι οι ακέραιοι αλγεβρικοί του F σχηματίζουν έναν δακτύλιο που συμβολίζεται με O_F και λέγεται δακτύλιος των ακεραίων του F. Είναι ένας υποδακτύλιος του (δηλαδή, ένας δακτύλιος που περιέχεται στο) F. Ένα σώμα δεν περιέχει διαιρέτες του μηδενός και η ιδιότητα αυτή κληρονομείται από κάθε υποδακτύλιο. Συνεπώς, ο δακτύλιος των ακεραίων του F είναι μια ακέραια περιοχή. Το σώμα F είναι το σώμα κλασμάτων της ακεραίας περιοχής O_F. Με τον τρόπο αυτό μπορεί κανείς να μεταβεί μπροστά και πίσω μεταξύ του αλγεβρικού σώματος F και του δακτυλίου του των ακεραίων O_F. Οι δακτύλιοι των ακεραίων αλγεβρικών έχουν τρεις χαρακτηριστικές ιδιότητες: πρώτον, O_F είναι μια ακέραια περιοχή που είναι ολοκληρωτικά κλειστή στο σώμα κλασμάτων της F. Δεύτερον, O_F είναι ένας Noetherian δακτύλιος. Τέλος, κάθε μη-μηδενικό πρώτο ιδεώδες του O_F είναι μέγιστο ή, ισοδύναμα, η Krull διάσταση του δακτυλίου αυτού είναι ένα. Ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος με τις τρεις αυτές ιδιότητες λέγεται Dedekind δακτύλιος (ή Dedekind περιοχή), προς τιμήν του Richard Dedekind, ο οποίος ανέλαβε μια σε βάθος μελέτη των δακτυλίων των αλγεβρικών ακεραίων.

Μονοσήμαντη ανάλυση και αριθμός κλάσης

Γενικά για Dedekind δακτυλίους, και συγκεκριμένα για δακτυλίους ακεραίων, υπάρχει μια μονοσήμαντη ανάλυση του ιδεώδη σε γινόμενο πρώτων ιδεωδών. Όμως, αντίθετα με τον Z ως δακτύλιο των ακεραίων του Q, ο δακτύλιος των ακεραίων μιας κανονικής επέκτασης του Q δεν χρειάζεται την μονοσήμαντη ανάλυση των αριθμών σε γινόμενο πρώτων αριθμών ή, ακριβέστερα, σε πρώτων στοιχείων. Αυτο συμβαίνει ήδη στους τετραγωνικους ακεραίους, για παράδειγμα στο O_Q(√−5) = Z[√−5], η μονοσημαντικότητα της ανάλυσης αποτυγχάνει:

6 = 2 · 3 = (1 + √−5) · (1 − √−5).

Χρησιμοποιώντας νόρμα μπορεί να δειχθεί ότι αυτές οι δυο αναλύσεις είναι στην πραγματικότητα ισοδύναμες με την έννοια ότι οι όροι δεν διαφέρουν απλά σε ένα στοιχείο στο O_Q(√−5). Οι Ευκλείδιες περιοχές είναι περιοχές μονοσήμαντης ανάλυσης; για παράδειγμα Z[i], ο δακτύλιος των ακεραίων του Gauss, και Z[ω], ο δακτύλιος των ακεραίων του Eisenstein, όπου ω μια τρίτη ρίζα της μονάδας (διάφορη του 1), έχουν αυτή την ιδιότητα.

ζ-συναρτήσεις, L-συναρτήσεις και μαθηματικός τύπος αριθμού κλάσης

Η αποτυχία της μονοσήμαντης ανάλυσης μετριέται από τον αριθμός κλάσης, που συνήθως συμβολίζεται με h, τον πληθάριθμο της ομάδας κλάσης ιδεωδών. Η ομάδα αυτή είναι πάντα πεπερασμένη. Ο δακτύλιος των ακεραίων O_F έχει μονοσήμαντη ανάλυση αν και μόνο αν είναι δακτύλιος κυρίων ιδεωδών ή, ιοδύναμα, αν F έχει μια αριθμός κλάσης 1. Δοθέντος ενός σώματος, ο αριθμός κλάσης είναι συνήθως δύσκολο να υπολογιστεί. Το πρόβλημα του αριθμού κλάσης, πηγαίνοντας πίσω στον Gauss, σχετίζεται με την ύπαρξη φανταστικών τετραγωνικών σωμάτων (π.χ., Q(√−d), d ≥ 1) με προκαθορισμένο αριθμό κλάσης. Ο τύπος του αριθμού κλάσης συσχετίζει το h με άλλες θεμελιώδεις αναλλοίωτες του F. Περιλαμβάνει την Dedekind zeta συνάρτηση ζ_F(s), μια συνάρτηση με μια σύνθετη μεταβλητή s, που ορίζεται από

$\zeta _{F}(s):=\prod _{\mathfrak {p}}{\frac {1}{1-N({\mathfrak {p}})^{-s}}}$.

(Το γινόμενο ορίζεται σε όλα τα πρώτα ιδεώδη του O_F, το $N({\mathfrak {p}})$ συμβολίζει τη νόρμα του πρώτου ιδεώδους ή, ισοδύναμα, τον (πεπερασμένο) αριθμό στοιχείων στο σώμα δείκτη $O_{F}/{\mathfrak {p}}$. Το μη-πεπερασμένο γινόμενο συγκλίνει μόνο για Re(s) > 1, στη γενική αναλυτική συνέχεια και στην συναρτησιακή ισότητα για την zeta-συνάρτηση χρειάζεται να προσδιοριστεί η συνάρτηση για όλα τα s). Η Dedekind zeta-συνάρτηση γενικεύει την Συνάρτηση ζήτα Ρίμαν στο ζ_Q(s) = ζ(s).

Ο μαθηματικός τύπος για τον αριθμό κλάσης δηλώνει ότι ζ_F(s) έχει έναν απλό πόλο στο s = 1 και ότι στο σημείο αυτό ο δείκτης δίνεται από

${\frac {2^{r_{1}}\cdot (2\pi )^{r_{2}}\cdot h\cdot \operatorname {Reg} }{w\cdot {\sqrt {|D|}}}}.$

Εδώ r₁ και r₂ κλασικά συμβολίζουν τον αριθμό των πραγματικών ενσωματωμάτων και τα ζεύγη των μιγαδικών ενσωματωμάτων του F, αντίστοιχα. Ακόμη, Reg είναι ο κανονικοποιητής του F, w ο αριθμός των ριζών της μονάδας στο F και D είναι η διακρίνουσα του F.

Οι Dirichlet L-συναρτήσεις L(χ, s) είναι μια πιο απλή παραλλαγή του ζ(s). Αμφότεροι οι τύποι των συναρτήσεων κωδικοποιούν την αριθμητική συμπεριφορά του Q και του F, αντίστοιχα. Για παράδειγμα, το το θεώρημα του Dirichlet διεκδικεί ότι σε κάθε αριθμητική πρόοδο

a, a + m, a + 2m, ...

με σχετικούς πρώτους a και m, υπάρχουν απείρως πολλοί πρώτοι αριθμοί. Το θεώρημα αυτό είναι πόρισμα του γεγονότος ότι η Dirichlet L-συνάρτηση είναι μη-μηδενική στο s = 1. Χρησιμοποιώντας πολύ πιο προχωρημένες τεχνικές συμπεριλαμβανομένων των αλγεβρικής K-θεωρίας και υπολογισμών Tamagawa, η μοντέρνα θεωρία αριθμών ασχολείται με μια περιγραφή των τιμών πιο γενικών L-συναρτήσεων.

Βάσεις για σώματα αριθμών

Ακέραια βάση

Μια ακέραια βάση για ένα σώμα F βαθμού n είναι ένα σύνολο

B = {b₁, …, b_n}

από n αλγεβρικούς ακεραίους του F έτσι ώστε κάθε στοιχείο του δακτυλίου των ακεραίων O_F του F να γράφεται μοναδικά ως ένας Z-γραμμικός συνδυασμός στοιχείων του B; έτσι, για κάθε x στο O_F έχουμε

x = m₁b₁ + … + m_nb_n,

όπου τα m_i είναι (συνηθισμένοι) ακέραιοι. Τότε ισχύει επίσης ότι κάθε στοιχείο του F μπορεί να γραφτεί μοναδικά ως

m₁b₁ + … + m_nb_n,

όπου τώρα τα m_i είναι ρητοί αριθμοί. Οι αλγεβρικοί ακέραιοι του F είναι τότε ακριβώς εκείνα τα στοιχεία του F όπου τα m_i είναι όλα ακέραιοι.

Δουλεύοντας τοπικά και χρησιμοποιώντας εργαλεία όπως τον χάρτη του Frobenius, είναι πάντοτε δυνατό να υπολογίσουμε μια τέτοια βάση, και είναι πλέον δεδομένο για υπολογιστικά συστήματα άλγεβρας ότι διαθέτουν προγράμματα για να κάνουν κάτι τέτοιο.

Βάση δύναμης

Έστω F ένα σώμα βαθμού n. Μεταξύ όλων των πιθανών βάσεων του F (ως Q-διανυσματικός χώρος), υπάρχουν συγκεκριμένες βάσεις γνωστές ως βάσεις δύναμης, της μορφής

B_x = {1, x, x², ..., xⁿ⁻¹}

για κάποια στοιχεία x ∈ F. Από το θεώρημα πρωτεύοντος στοιχείου, υπάρχει ένα τέτοιο x, που λέγεται πρωτεύον στοιχείο. Αν το x μπορεί να επιλεχθεί στο O_F και έτσι ώστε B_x να είναι βάση του O_F ως ένα ελεύθερο Z-module, τότε B_x λέγεται βάση ακέραιας δύναμης, και το σώμα F λέγεται μονογενικό σώμα. Ένα παράδειγμα σώματος που δεν είναι μονογενικό δόθηκε για πρώτη φορά από τον Dedekind. Το παράδειγμά του είναι το σώμα που προκύπτει επισυνάπτοντας μια ρίζα του πολυωνύμου x³ − x² − 2x − 8.

Κανονική αναπαράσταση, ίχνος και ορίζουσα

Χρησιμοποιώντας τον πολλαπλασιασμό στο F, τα στοιχεία του σώματος F μπορούν να παρασταθούν από n-by-n πίνακες

A = A(x)=(a_ij)_{1 ≤ i, j ≤ n},

απαιτώντας

$xe_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}e_{j},\quad a_{ij}\in \mathbf {Q} .$

Εδώ e₁, ..., e_n είναι μια βάση για το F, αν το δούμε ως έναν Q-διανυσματικό χώρο. Οι ρητοί αριθμοί a_ij είναι μονοσήμαντα προσδιορισμένοι από το x και την επιλογή μιας βάσης αφού κάθε στοιχείο του F μπορεί να παρασταθεί μονοσήμαντα ως ένας γραμμικός συνδυασμός των στοιχείων της βάσης. Ο τρόπος αυτός να συσχετίσουμε έναν πίνακα με κάθε στοιχείο του σώματος F λέγεται κανονική αναπαράσταση. Ο τετραγωνικός πίνακας A παριστά το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού με x της δοθείσας βάσης. Έπεται ότι αν το στοιχείο y του F παριστάνεται από έναν πίνακα B, τότε το γινόμενο xy παριστάνεται από το γινόμενο πινάκων AB. Οι αναλλοίωτες των πινάκων, όπως το ίχνος, η ορίζουσα, και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο, εξαρτώνται μόνο από το στοιχείο x και όχι από τη βάση. Συγκεκριμένα, το ίχνος του πίνακα A(x) λέγεται ίχνος του στοιχείου x και συμβολίζεται με Tr(x), και η ορίζουσα λέγεται νόρμα του x και συμβολίζεται με N(x).

Εξ'ορισμού, οι ιδιότητες των ιχνών και των οριζουσών των πινάκων μεταφέρονται στα Tr και N: Tr(x) να είναι μια γραμμική συνάρτηση του x, καθώς εκφράζεται από Tr(x + y) = Tr(x) + Tr(y), Tr(λx) = λ Tr(x), και η νόρμα να είναι μια πολλαπλασιαστική ομογενής συνάρτηση βαθμού n: N(xy) = N(x) N(y), N(λx) = λⁿ N(x). Εδώ λ είναι ρητός αριθμός, και x, y είναι δυο οποιαδήποτε στοιχεία του F.

Η μορφή του ίχνους είναι μια διγραμμική μορφή που ορίζεται από μέσα του ίχνους, όπως το Tr(x y). Η ολοκληρωτική μορφή του ίχνους, ένας συμμετρικός πίνακας με ακέραιες τιμές ορίζεται ως t_ij = Tr(b_ib_j), όπου b₁, ..., b_n είναι μια ενσωματωμένη βάση για το F. Η διακρίνουσα του F ορίζεται ως det(t). Είναι ένας ακέραιος, και είναι μια αναλλοίωτη ιδιότητα του σώματος F,μη-εξαρτώμενη από την επιλογή της ενσωματωμένης βάσης. Ο πίνακας που σχετίζεται με ένα στοιχείο x του F μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για να δώσει άλλες, ισοδύναμες περιγραφές ακεραίων αλγεβρικών. Ένα στοιχείο x του F αλγεβρικός ακέραιος αν και μόνο αν το χαρακτηριστικό πολυώνυμο p_A of the matrix A που σχετίζεται με το x είναι ένα μονικό πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές. Υποθέστε ότι ένας πίνακας A που παριστάνει ένα στοιχείο x έχει ακέραιες καταχωρήσεις σε μια βάση e. Από το θεώρημα Κέιλεϊ-Χάμιλτον, p_A(A) = 0, και έπεται ότι p_A(x) = 0, έτσι ώστε x να είναι ακέραιος αλγεβρικός. Αντίστροφα, αν x είναι ένα στοιχείο του F το οποίο είναι ρίζα ενός μονικού πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές τότε την ίδια ιδιότητα διατηρεί ο αντίστοιχος πίνακας A. Σε αυτήν την περίπτωση μπορεί να αποδειχτεί ότι A είναι ένας πίνακας ακεραίων για μια κατάλληλη βάση του F.Σημειώστε ότι η ιδιότητα του να είναι αλγεβρικός ακέραιος ορίζεται με έναν τρόπο που ανεξάρτητος της επιλογής μιας βάσης για το F.

Παράδειγμα

Έστω F = Q(x), όπου x ικανοποιεί την x³ − 11x² + x + 1 = 0. Τότε μια ενσωματωμένη βάση είναι [1, x, 1/2(x² + 1)], και η αντίστοιχη ολοκληρωτική μορφή του ίχνους είναι

${\begin{bmatrix}3&11&61\\11&119&653\\61&653&3589\end{bmatrix}}.$

Το "3" στη θέση πάνω αριστερά αυτού του πίνακα είναι το ίχνος του πίνακα της αντιστοιχίας που ορίζεται από από την πρώτη βάση στοιχείου (1) στην κανονική αναπαράσταση του F στο F. Αυτή η βάση στοιχείου παράγει την ταυτότητα χάρτη στον 3-διάστατο διανυσματικό χώρο, F. Το ίχνος του πίνακα της ταυτότητας χάρτη σε έναν 3-διάστατο διανυσματικό χώρο είναι 3.

Η ορίζουσά του είναι 1304 = 2³ 163, η διακρίνουσα του σώματος; σε αντίθεση με την διακρίνουσα ρίζας, ή την διακρίνουσα του πολυωνύμου, είναι 5216 = 2⁵ 163.

Χώροι

Οι μαθηματικοί του δέκατου ένατου αιώνα υπέθεσαν ότι οι αλγεβρικοί αριθμοί ήταν ένα είδος μιγαδικών αριθμών. Η κατάσταση αυτή άλλαξε με την ανακάλυψη των p-αδικών αριθμών από τον Hensel το 1897; και τώρα είναι δεδομένο να θεωρούμε όλες από τις διάφορες πιθανές ενσωματώσεις ενός σώματος F μέσα στα διάφορα τοπολογικά συμπληρώματά του μονομιάς.

Ένας χώρος ενός σώματος F μια ισοδύναμη κλάση από απόλυτες τιμές στο F. Ουσιαστικά, μια απόλυτη τιμή είναι μια ιδέα για να μετρήσουμε το μέγεθος των στοιχείων f του F. Δυο τέτοιες απόλυτες τιμές θεωρούνται ισοδύναμες αν δίνουν νόημα στην ίδια έννοια μικρότητας (ή απόστασης). Γενικά, εμπίπτουν σε τρεις κατηγορίες. Αρχικά (και κυρίως απροσδιόριστα), η τετριμμένη απόλυτη τιμή | |₀, η οποία παίρνει την τιμή 1 για όλες τις μη-μηδενικές f στο F. Η δεύτερη και τρίτη κατηγορία είναι οι Αρχιμήδειοι χώροι και οι μη-Αρχιμήδειοι. Το συμπλήρωμα του F με βάση έναν χώρο δίνεται και στις δυο περιπτώσεις παίρνοντας ακολουθίες Cauchy στο F και εξαιρώντας μηδενικές ακολουθίες, οι οποίες είναι, ακολουθίες (x_n)_{n ∈ N} έτσι ώστε |x_n| να τείνει στο μηδέν όταν το n τείνει στο άπειρο. Αυτό μπορεί να δειχτεί και πάλι σώμα, το λεγόμενο συμπλήρωμα του F στον δοσμένο χώρο.

Για F = Q, οι ακόλουθες μη-τετριμμένες νόρμες δημιουργούν το (θεώρημα του Ostrowski): η (συνήθης) απόλυτη τιμή, η οποία δίνει νόημα στο τοπολογικό σώμα των πραγματικών αριθμών R. Από την άλλη πλευρά, για κάθε πρώτο αριθμό p, οι p-αδικές απόλυτες τιμές ορίζονται από

|q|_p = p⁻ⁿ, όπου q = pⁿ a/b και a και b ακέραιοι που δεν διαιρούνται από τον p.

Σε αντίθεση με την συνήθη απόλυτη τιμή, η p-αδική νόρμα γίνεται μικρότερη όταν το q πολλαπλασιάζεται με p, κάτι που οδηγεί σε αρκετά διαφορετική συμπεριφορά του Q_p ως προς R.

Αρχιμήδειοι χώροι

Ο υπολογίζοντας των Αρχιμήδειων χώρων του F γίνεται ως εξής: έστω x ένα πρωτογενές στοιχείο του F, με ελάχιστο πολυώνυμο (πάνω από το Q) f. Πάνω από το R, το f δεν θα εξακολουθεί γενικά να είναι ανάγωγο, αλλά οι ανάγωγοι (πραγματικοί) παράγοντές του θα είναι είτε βαθμού ένα είτε δυο. Αφού δεν υπάρχουν επαναλαμβανόμενες ρίζες, δεν υπάρχουν ούτε επαναλαμβανόμενοι παράγοντες. Οι ρίζες r των παραγώντων βαθμού ένα είναι αναγκαστικά πραγματικοί, και αντικαθιστώντας το x με r δίνει ένα ενσωμάτωμα του F στο R; ο αριθμός τέτοιων ενσωματωμάτων είναι ίσος με τον αριθμό των πραγματικών ριζών του f. Περιορίζοντας την απόλυτη τιμή του R στο F παίρνουμε μια αρχιμήδεια απόλυτη τιμή στο F; μια τέτοια απόλυτη τιμή είναι επίσης γνωστή ως πραγματικός χώρος του F. Από την άλλη πλευρά, οι ρίζες των παραγώντων βαθμού δυο είναι ζεύγη μιγαδικών αριθμών, το οποίο επιτρέπει δυο ενσωματώματα μέσα στο C. Οποιοδήποτε από τα ενσωματώματα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να ορίσουμε μια απόλυτη τιμή στο F, η οποία είναι η ίδια και για τα δυο ενσωματώματα. Αυτή η απόλυτη τιμή λέγεται μιγαδικός χώρος του F.

Αν όλες οι ρίζες του f παραπάνω είναι πραγματικές ή, ισοδύναμα, κάθε ενσωμάτωμα F ⊂ C είναι ουσιαστικά μέσα στο R, το F λέγεται τέλεια πραγματικό.

Μη-Αρχιμήδειοι χώροι

Για να βρούμε μη-αρχιμήδειους χώρους, έστω ξανά f και x όμοια με παραπάπανω. Στο Q_p, το f διασπάται σε παράγοντες διαφορετικών βαθμών, κανένας από τους οποίους δεν επαναλαμβάνεται, και οι βαθμοί των οποίων αθροίζονται ως το n, τον βαθμό του f. Για κάθε έναν από αυτούς τους p-αδικά ανάγωγους παράγοντες t, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το x ικανοποιεί το t και να πάρουμε ένα ενσωμάτωμα του F σε μια αλγεβρική επέκταση πεπερασμένου βαθμού πάνω από το Q_p. Ένα τέτοιο τοπικό σώμα συμπεριφέρεται σαν ένα σώμα, και οι p-αδικοί αριθμοί μπορούν να παίξουν το ρόλο των ρητών; ειδικότερα, μπορούμε να ορίσουμε τη νόρμα και το ίχνος με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, δίνοντας τώρα συναρτήσεις χαρτογραφημένες μέσα στο Q_p. Χρησιμοποιώντας αυτή την p-αδική νόρμα χάρτη N_t για τον χώρο t, μπορούμε να ορίσουμε μια απόλυτη τιμή αντίστοιχη ενός p-αδικά αναγώγου παράγοντα t βαθμού m με |θ|_t = |N_t(θ)|_p^1/m. Μια τέτοια απόλυτη τιμή λέγεται μη-αρχιμήδεια ή p-αδικός χώρος του F.

Για κάθε μη-αρχιμήδειο χώρο v έχουμε ότι |x|_v ≤ 1 για κάθε x στο O_F, αφού το ελάχιστο πολυώνυμο για x έχει ακέραιους παράγοντες, και άρα η p-αδική ανάλυσή του έχει παράγοντες στο Z_p. Συνεπώς, η νόρμα για κάθε παράγοντα είναι ένας p-αδικός ακέραιος, και ένας από είναι ο ακέραιος που ορίζει την απόλυτη τιμή για τον v.

Πρώτα ιδεώδη στο O_F

Για έναν μη-αρχιμήδειο χώρο v, το υποσύνολο του O_F που ορίζεται από το |x|_v < 1 είναι ένα ιδεώδες P του O_F. Αυτό βασίζεται στο ότι ο v δεν είναι αρχιμήδειος χώρος: δοθέντων x και y στο P, τότε

|x + y|_v ≤ max (|x|_v, |y|_v) < 1.

Δηλαδή, το P είναι ακόμη πρώτο ιδεώδες.

Αντίστροφα, δοθέντος ενός πρώτου ιδεώδους P του O_F, μια διακριτή αποτίμηση μπορεί να οριστεί θέτοντας v_P(x) = n όπου n ο μεγαλύτερος ακέραιος έτσι ώστε x ∈ Pⁿ, τη n-οστή δύναμη του ιδεώδους. Η αποτίμηση αυτή μπορεί να μετατραπεί σε έναν μη-αρχιμήδειο χώρο. Υπο αυτήν την αντιστοιχία, (ισοδύναμες κλάσεις) των μη-αρχιμήδειων χώρων του F αντιστοιχούν σε πρώτα ιδεώδη του O_F. Για F = Q, παίρνουμε το θεώρημα του Ostrowski: κάθε πρώτο ιδεώδες του Z (το οποίο παράγεται αναγκαστικά από έναν πρώτο αριθμό) αντιστοιχεί σε έναν μη-αρχιμήδειο χώρο και τούμπαλιν. Όμως, για γενικότερα σώματα αριθμών, η κατάσταση γίνεται πιο περίπλοκη, όπως θα δούμε παρακάτω.

Ακόμη ένας, ισοδύναμος τρόπος να περιγράψουμε μη-αρχιμήδειους χώρους είναι με εντοπισμούς του O_F. Δοθέντος ενός μη-αρχιμήδειου χώρου v σε ένα σώμα F, ο αντίστοιχος εντοπισμός είναι ο υποδακτύλιος T του F όλων των στοιχείων x έτσι ώστε | x |_v ≤ 1. Με βάση τη μη-αρχιμήδεια ιδιότητα ο T είναι δακτύλιος. Επιπρόσθετα, περιέχει το O_F. Για κάθε στοιχείο x του F, τουλάχιστον ένα από τα x ή x⁻¹ περιέχεται στο T. Στην πραγματικότητα, αφού το F^×/T^× μπορεί να αποδειχτεί ισόμορφο με τους ακέραιους, το T είναι ένας διακριτός δακτύλιος αποτίμησης, και ειδικότερα ένας τοπικός δακτύλιος. Ουσιαστικά, το T είναι απλά ο εντοπσμός του O_F στο πρώτο ιδεώδες P. Αντίστροφα, το P είναι μέγιστο ιδεώδες του T.

Συνοψίζοντας, υπάρχει μια τριπλή ισοδυναμία μεταξύ μη-αρχιμήδειων απολύτων τιμών,πρώτων ιδεωδών, και εντοπισμών σε ένα σώμα.

Διακλάδωση

Σχηματική απεικόνιση της διακλάδωσης: οι διακλαδώσεις σχεδόν όλων των σημείων στο Y παρακάτω αποτελούνται από τρία σημεία, εκτός από δυο σημεία του Y σημειωμένα με κουκίδες, όπου οι διακλαδώσεις αποτελούνται από ένα και δύο σημεία (μαυρισμένα), αντίστοιχα. Η αντιστοιχία f λέγεται διακλαδωμένη σε αυτά τα σημεία του Y.

Η διακλάδωση, μιλώντας γενικά, περιγράφει ένα γεωμετρικό φαινόμενο που μπορεί να συμβεί με πεπερασμένες-προς-ένα αντιστοιχίες (δηλαδή, αντιστοιχίες f: X → Y έτσι ώστε οι προεικόνες όλων των σημείων y στο Y να αποτελούνται από πολλά πεπερασμένου πλήθους σημεία): η πληθυκότητα των διακλαδώσεων f⁻¹(y) γενικά θα έχει τον ίδιο αριθμό σημείων, αλλά παρατηρείται ότι, σε κάποια σημεία y, ο αριθμός αυτός πέφτει. Για παράδειγμα, η αντιστοιχία

C → C, z ↦ zⁿ

έχει n σε κάθε διακλάδωση πάνω από το t, τις n (μιγαδικές) ρίζες του t, εκτός από t = 0, όπου η διακλάδωση αποτελείται από ένα μόνο στοιχείο, z = 0. Μπορεί κάποιος να πει ότι η αντιστοιχία είναι "διακλαδωμένη" στο zero. Αυτό είναι ένα παράδειγμα ενός διακλαδισμένου καλύμματος των Riemann επιφανειών. Αυτή η διαίσθηση εξυπηρετεί επίσης στο να προσδιορίσουμε την διακλάδωση στη θεωρία αριθμών. Δοθείσας (απαραιτήτως πεπερασμένης) επέκτασης σώματος F / E,ένα πρώτο ιδεώδες p του O_E παράγει το ιδεώδες pO_F of O_F. Αυτό το ιδεώδες μπορεί είτε να είναι πρώτο είτε όχι, αλλά, σύμφωνα με το θεώρημα Lasker–Noether (δείτε παραπάνω), δίνεται πάντα από

pO_F = q₁^e₁ q₂^e₂ ... q_m^e_m

με μοναδικά ορισμένα πρώτα ιδεώδη q_i of O_F και αριθμούς (δείκτες διακλάδωσης) e_i. Όποτε ένας δείκτης διακλάδωσης είναι μεγαλύτερος της μονάδας, ο πρώτος p διακλαδίζει το F.

Η σύνδεση μεταξύ αυτού του ορισμού και της γεωμετρικής κατάστασης μεταφέρεται από την αντιστοιχία των φασμάτων των δακτυλίων Spec O_F → Spec O_E. Βασικά, οι άκλαδοι μορφισμοί των σχεδίων στην αλγεβρική γεωμετρία είναι μια άμεση γενίκευση των μη κλαδικών επεκτάσεων σωμάτων.

Η διακλάδωση είναι μια τοπική ιδιότητα, π.χ., εξαρτάται μόνο από τις ολοκληρώσεις κοντά στους πρώτους p και q_i. Η ομάδα αδράνειας υπολογίζει τη διαφορά μεταξύ των ομάδων Galois σε κάποιο χώρο και των ομάδων Galois πεπερασμένων υπολοίπων σωμάτων.

Ένα παράδειγμα

Το ακόλουθο παράδειγμα παρουσιάζει τις ιδέες που είδαμε παραπάνω. Για να υπολογίσουμε τον δείκτη διακλάδωσης του Q(x), όπου

f(x) = x³ − x − 1 = 0,

στο 23, αρκεί να θεωρήσουμε την επέκταση Q₂₃(x) / Q₂₃. Μέχρι το 529 = 23² (π.χ., modulo 529) το f μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως εξής

f(x) = (x + 181)(x² − 181x − 38) = gh.

Θέτοντας x = y + 10 στον παράγοντα g modulo 529 αφήνει y + 191, οπότε η εκτίμηση | y |_g για το y που δίνεται από το g είναι | −191 |₂₃ = 1. Από την άλλη πλευρά η ίδια αντικατάσταση στο h αφήνει y² − 161y − 161 modulo 529. Αφού 161 = 7 × 23,

|y|_h = √∣161∣₂₃ = 1 / √23.

Αφού οι πιθανές τιμές για την απόλυτη τιμή του χώρου που ορίζεται από τον παράγοντα h δεν περιορίζονται σε ακέραιες δυνάμεις του 23, αλλά αντιθέτως σε ακέραιες δυνάμεις της τετραγωνικής ρίζας του 23, ο δείκτης διακλάδωσης της επέκτασης στο 23 είναι δυο.

Οι εκτιμήσεις κάθε στοιχείου του F μπορούν να υπολογιστούν με τον τρόπο αυτό χρησιμοποιώντας διανυσματικά αθροίσματα. Αν, για παράδειγμα y = x² − x − 1, χρησιμοποιώντας το αθροιστικό διάνυσμα για να εξαφανίσουμε το x μεταξύ της σχέσης αυτής και της f = x³ − x − 1 = 0 δίνει y³ − 5y² + 4y − 1 = 0. Αν αντίθετα εξαφανίσουμε κατ'αντιστοιχία τους παράγοντες g και h του f, παίρνουμε τους αντίστοιχους παράγοντες για το πολυώνυμο για το y, και μετά η 23-αδική εκτίμηση που εφαρμόζεται στον σταθερό όρο μας επιτρέπει να υπολογίσουμε τις εκτιμήσεις του y για το g και το h (που είναι 1 σε αυτήν την περίπτωση.)

Θεώρημα διακρίνουσας Dedekind

Η σημαντικότητα της διακρίνουσας κρύβεται στο γεγονός ότι οι κλαδικοί μη αρχιμήδειο χώροι προκύπτουν όλοι από παραγοντοποιήσεις στο Q_p όπου p διαιρεί την διακρίνουσα. Αυτό ισχύει ακόμη και για την πολυωνυμική διακρίνουσα; όμως το αντίστροφο επίσης ισχύει, ότι αν ένας πρώτος p διαιρεί την διακρίνουσα, τότε υπάρχει ένας p-χώρος ο οποίος διακλαδίζεται. Για το αντίστροφο χρειάζεται η ορίζουσα του σώματος. Αυτό είναι το Θεώρημα διακρίνουσας Dedekind. Στο παραπάνω παράδειγμα, η διακρίνουσα του σώματος Q(x) με x³ − x − 1 = 0 is −23, και όπως έχουμε δει ο 23-αδικός χώρος διακλαδίζεται. Η διακρίνουσα Dedekind μας λέει ότι είναι ο μόνος μη αχιμήδειος χώρος που το κάνει. Ο άλλος κλαδικός χώρος προέρχεται από την απόλυτη τιμή στο μιγαδικό ενσωμάτωμα του F.

Ομάδες Galois και συνομολογία

Γενικά στην αφηρημένη άλγεβρα, οι επεκτάσεις σωμάτων F / E μπορούν να μελετηθούν εξετάζοντας την ομάδα Γκαλουά Gal(F / E), που αποτελείται από αυτομορφισμούς του F αφήνοντας το E σταθερό. Για παράδειγμα, η ομάδα Galois Gal (Q(ζ_n) / Q) της κυκλοτομικής επέκτασης βαθμού n (δείτε παραπάνω) δίνεται από (Z/nZ)^×, την ομάδα των αντιστρέψιμων στοιχείων στο Z/nZ. Αυτό είναι το πρώτο βασικό βήμα για το θεώρημα Iwasawa.

Για να συμπεριλάβουμε όλες τις πιθανές επεκτάσεις έχοντας συγκεκριμένες ιδιότητες, η ιδέα της ομάδας Galois εφαρμόζεται συνήθως στις (μη-πεπερασμένες) επεκτάσεις F / F ενός αλγεβρικά κλειστού συνόλου, κάτι που οδηγεί στην απόλυτη ομάδα Galois G := Gal(F / F) ή απλά Gal(F), και στην επέκταση F / Q. Το θεμελιώδες θεώρημα του Galois συνδέει σώματα μεταξύ του F και των αλγεβρικά κλειστών συνόλων του και των κλειστών υποομάδων (F). For example, the abelianization (the biggest abelian quotient) G^ab of G corresponds to a field referred to as the maximal abelian extension F^ab (λέγονται έτσι αφού κάθε μεγαλύτερη επέκταση δεν είναι αβελιανή, π.χ., δεν έχει αβελιανή ομάδα Galois). Από το θεώρημα Kronecker–Weber, η μέγιστη αβελιανή επέκταση του Q είναι η επέκταση που δημιουργείται από όλες τις ρίζες της μονάδας. Για γενικότερα σώματα, η θεωρία σωμάτων, και συγκεκριμένα ο νόμος της αλληλεξάρτησης του Artin δίνει μια απάντηση περιγράφοντας το G^ab ως προς την ιδανική ομάδα κλάσης. Αξιοσημείωτο είναι επίσης το σώμα κλάσης του Hilbert, η μέγιστη αβελιανή άκλαδη επέκταση του F. Μπορεί να δειχτεί ότι είναι πεπερασμένη πάνω από το F, ότι οι ομάδα Galois του πάνω από το F είναι ισόμορφη με την ομάδα κλάσης του F, και συγκεκριμένα ο βαθμός της ισούται με αριθμό κλάσης h του F (δείτε παραπάνω).

Σε συγκεκριμένες περιπτώσεις, η ομάδα Galois δρα σε άλλα μαθηματικά αντικείμενα, π.χ σε μια ομάδα. Μια τέτοια ομάδα αναφέρεται ως Galois module. Αυτό επιτρέπει την χρήση της ομάδας συνομολογίας για την ομάδα Galois Gal(F), γνωστή επίσης ως συνομολογία Γκαλουά, η οποία αρχικά υπολογίζει την αποτυχία της ακρίβειας του να πάρουμε Gal(F)-αναλλοίωτες, αλλά προσφέρει βαθύτερη διορατικότητα (και ερωτήσεις) επίσης. Για παράδειγμα, η ομάδα Galois G μιας επέκτασης L / F δρα στο L^×, τα μη μηδενικά στοιχεία του L. Αυτό το Galois module παίζει σημαντικό ρόλο σε πολλές αριθμητικές δυαδικότητες, όπως μια Poitou-Tate δυαδικότητα. Η ομάδα Brauer του F, που σχεδιάστηκε για να ταξινομεί άλγεβρες διαίρεσης πάνω από το F, μπορεί να αναδιατυπωθεί ως μια ομάδα συνομολογίας, την H²(Gal (F), F^×).

Τοπική-ολική αρχή

Μιλώντας γενικά, ο όρος "τοπικός σε ολικό" αναφέρεται στην ιδέα ότι ένα ολικό πρόβλημα λύνεται πρώτα σε τοπικό επίπεδο, το οποίο τείνει να απλοποιεί την ερώτηση. Μετά, φυσικά, οι πληροφορίες που συλλέγονται στην τοπική ανάλυση πρέπει να τοποθετηθούν μαζί για να γυρίσουμε σε μια καθολική δήλωση. Για παράδειγμα, η ιδέα των τροχαλιών φετιχοποιεί αυτή την ιδέα στην τοπολογία και στην γεωμετρία.

Τοπικά και ολικά σώματα

Τα σώματα μοιράζονται μια μεγάλη ομοιότητα με μια άλλη κλάση σωμάτων που χρησιμοποιείται πολύ στην αλγεβρική γεωμετρία γνωστή ως σώματα συναρτήσεων αλγεβρικών καμπυλών πάνω από πεπερασμένα σώματα. Ένα παράδειγμα είναι το F_p(T). Είναι όμοια από πολλές απόψεις, για παράδειγμα σε αυτό το νούμερο οι δακτύλιοι είναι μονοδιάστατοι κανονικοί δακτύλιοι, όπως είναι οι δακτύλιοι συντονισμού (τα σώματα πηλίκο εκ των οποίων είναι το σώμα συνάρτησης στην ερώτηση) των καμπυλών. Ως εκ τούτου, αμφότεροι οι τύποι σωμάτων λέγονται ολικά σώματα. Σύμφωνα με τη φιλοσοφία που είδαμε παραπάνω, μπορούν να μελετηθούν σε ένα τοπικό επίπεδο πρώτα, δηλαδή, κοιτώντας στα αντίστοιχα τοπικά σώματα. Για σώματα F, τα τοπικά σώματα είναι τα συμπληρώματα των F σε όλους τους χώρους, περιλαμβάνοντας τους αρχιμήδειους (δείτε την τοπική ανάλυση). Για σώματα συναρτήσεων, τα τοπικά σώματα είναι συμπληρώματα των τοπικών δακτυλίων σε όλα τα σημεία της καμπύλης για σώματα συναρτήσεων.

Πολλά αποτελέσματα που ισχύουν για σώματα συναρτήσεων ισχύουν επίσης, τουλάχιστον αν αναδιατυπωθούν σωστά, για σώματα αριθμών. Όμως, η μελέτη των σωμάτων ενέχει συνήθως δυσκολίες και φαινόμενα που δεν ανέκυψαν στα σώματα συναρτήσεων. Για παράδειγμα, στα σώματα συναρτήσεων, δεν υπάρχει διχοτόμηση στους μη αρχιμήδειους και στους αρχιμήδειους χώρους. Παρ'όλα αυτά, τα σώματα συναρτήσεων εξυπηρετούν συνήθως ως πηγή έμπνευσης για το τί να περιμένουμε σε μια περίπτωση σώματος.

Αρχές του Hasse

Μια πρωτότυπη ερώτηση, σε παγκόσμιο επίπεδο, είναι αν κάποια πολυωνυμική εξίσωση έχει λύση στο F. Σε αυτή την περίπτωση, η λύση αυτή είναι επίσης λύση σε όλα τα συμπληρώματα. Η τοπική-καθολική αρχή ή αρχή του Hasse διαβεβαιώνει για τετραγωνικές εξισώσεις, το αντίστροφο ισχύει, επίσης. Οπότε, ελέγχοντας αν μια τέτοια εξίσωση έχει μια λύση που να κάνει για όλα τα συμπληρώματα του F, το οποίο είναι συνήθως ευκολότερο, αφού οι αναλυτικές μέθοδοι (κλασικά εργαλεία όπως θεώρημα μέσης τιμής στους αρχιμήδειους χώρους και p-αδική ανάλυση στους μη αρχιμήδειους ) μπορούν να χρησιμοποιηθούν. Αυτός ο υπαινιγμός δεν ισχύει, όμως, για γενικότερους τύπους εξισώσεων. Όμως, η ιδέα της μετάβασης από τα τοπικά δεδομένα στα καθολικά αποδεικνύεται καρποφόρα στην θεωρία σωμάτων κλάσης, για παράδειγμα, όπου η θεωρία σωμάτων κλάσης χρησιμοποιείται για πάρουμε καθολικές εμπνεύσεις που αναφέρθηκε πιο πάνω. Αυτό σχετίζεται επίσης με το γεγονός ότι οι ομάδες Galois των συμπληρωμάτων του F_v μπορούν να οριστούν, ενώ οι ομάδες Galois καθολικών σωμάτων, ακόμη και του Q είναι πολύ λιγότερο κατανοητές.

Δείτε επίσης

• Dirichlet's unit theorem, S-unit
• Kummer extension
• Minkowski's theorem, Geometry of numbers
• Chebotarev's density theorem
• Ray class group
• Decomposition group
• Genus field

Αναφορές

• Janusz, Gerald J. (1997), Algebraic Number Fields (2nd έκδοση), Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0429-2 
• Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000
• Richard A. Mollin, Algebraic Number Theory, CRC, 1999
• Ram Murty, Problems in Algebraic Number Theory, Second Edition, Springer, 2005
• Narkiewicz, Władysław (2004), Elementary and analytic theory of algebraic numbers, Springer Monographs in Mathematics (3 έκδοση), Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-21902-6 
• Neukirch, Jürgen (1999), Algebraic number theory, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 322, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65399-8,  
• Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4,  
• André Weil, Basic Number Theory, third edition, Springer, 1995