Στη θεωρία αριθμών, δύο ακέραιοι αριθμοί και ονομάζονται σχετικά πρώτοι ή πρώτοι προς αλλήλους ή μεταξύ τους πρώτοι αν ο μέγιστος κοινός διαιρέτης τους είναι η μονάδα.[1][2][3] Ισοδύναμα, θα μπορούσαμε να πούμε ότι είναι σχετικά πρώτοι εάν δεν έχουν άλλο κοινό διαιρέτη πλην του 1. Εξ ορισμού δύο (διαφορετικοί) πρώτοι αριθμοί είναι και σχετικά πρώτοι μεταξύ τους. Συμβολικά γράφουμε: ΜΚΔ(x, y) = 1 ή gcd(x, y) = 1 ή x  ⊥  y.[4]

Για παράδειγμα οι ακέραιοι 14 και 15 είναι σχετικά πρώτοι γιατί ο μόνος κοινός διαιρέτης τους είναι το 1, δηλαδή ΜΚΔ(14, 15) = 1. Οι 14 και 21 δεν είναι σχετικά πρώτοι γιατί ΜΚΔ(14, 21) = 7.

Παράδειγμα

Επεξεργασία

Για παράδειγμα οι αριθμοί 23 και 21 είναι σχετικά πρώτοι και για να το διαπιστώσουμε αυτό αρκεί να τρέξουμε τον αλγόριθμο του Ευκλείδη.

Να θυμίσουμε ότι ο αλγόριθμος του Ευκλείδη βρίσκει το μέγιστο κοινό διαιρέτη (ΜΚΔ) δύο αριθμών   και   (έστω  ), με την ακόλουθη αναδρομική διαδικασία:

Με είσοδο  :

  1. Αν το   είναι μηδέν, δώσε το   ως έξοδο.
  2. Βρες το υπόλοιπο της διαίρεσης του   με το  , έστω  .
  3. Τρέξε αναδρομικά τον αλγόριθμο (πήγαινε στο βήμα 1) με είσοδο  .

Στο παράδειγμά μας έχουμε την ακόλουθη εκτέλεση (καλείται την πρώτη φορά ευθέως και τις άλλες τρεις αναδρομικά):

  1. ΜΚΔ(23,21)
  2. ΜΚΔ(21,2)
  3. ΜΚΔ(2,1)
  4. ΜΚΔ(1,0) και επιστρέφεται το 1 που είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των 23, 21.

Άρα, δείξαμε ότι οι αριθμοί 23 και 21 είναι σχετικά πρώτοι.

Δείτε επίσης

Επεξεργασία

Παραπομπές

Επεξεργασία
  1. Παπαδημητράκης, Μιχάλης. «Θεωρία αριθμών: Πρόχειρες σημειώσεις» (PDF). Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης. Ανακτήθηκε στις 6 Απριλίου 2023. 
  2. Γκότσης, Κ. (2017). «Σημειώσεις στοιχειώδους θεωρίας αριθμών» (PDF). Ανακτήθηκε στις 6 Απριλίου 2023. 
  3. Αντωνιάδης, Ιωάννης· Κοντογεώργης, Αριστείδης (2015). Θεωρία αριθμών και εφαρμογές. Κάλλιπος, Ανοικτές Ακαδημαϊκές Εκδόσεις. Ανακτήθηκε στις 6 Απριλίου 2023. [νεκρός σύνδεσμος]
  4. Κάτος, Β., Στεφανίδης, Γ., (2003). «Τεχνικές Κρυπτογραφίας και Κρυπτανάλυσης. 3.Θεωρία αριθμών - αλγεβρικές δομές», σελ. 7, Εκδόσεις: ΖΥΓΟΣ, (ISBN 960-8065-40-2). Αρχειοθετήθηκε 26/01/2019. Ανακτήθηκε 26/01/2019.