Συνήθης διαφορική εξίσωση

Στα μαθηματικά, μία συνήθης διαφορική εξίσωση (ΣΔΕ) είναι μια διαφορική εξίσωση η οποία περιέχει μία ή περισσότερες συναρτήσεις που αποτελούνται από μία ανεξάρτητη μεταβλητή και τις παραγώγους της. Ο όρος συνήθης χρησιμοποιείται σε αντίθεση με τον όρο μερική διαφορική εξίσωση το οποίο μπορεί να εκτιμηθεί σε περισσότερες από μία ανεξάρτητες μεταβλητές.

Οι ΣΔΕ που είναι γραμμικές διαφορικές εξισώσεις έχουν ακριβείς λύσεις, κλειστής μορφής οι οποίες μπορούν να προστεθούν και να πολλαπλασιαστούν με συντελεστές. Από την άλλη, ΣΔΕ που δεν έχουν προσθετικές λύσεις είναι μη γραμμικές και η λύση τους είναι αρκετά πολύπλοκη, καθώς μπορούν να απεικονιστούν από στοιχειώδεις συναρτήσεις που έχουν λύσεις κλειστής μορφής. Αντ' αυτού ακριβείς και αναλυτικές λύσεις ΣΔΕ βρίσκονται σε σειρές και ολοκληρώματα. Γραφικές και αριθμητικές μέθοδοι που εφαρμόζονται είτε χειρόγραφα είτε στον υπολογιστή, μπορεί να προσεγγίσουν λύσεις ΣΔΕ και ίσως να αποδώσουν χρήσιμες πληροφορίες, συχνά επαρκείς εν απουσία αναλυτικών λύσεων.

Ιστορικό

Οι Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις (ΣΔΕ) προκύπτουν σε πολλά πλαίσια των μαθηματικών και της επιστήμης (κοινωνική καθώς και φυσική). Οι σύγχρονες μαθηματικές περιγραφές αλλάζουν τη χρήση των διαφορικών συμβολισμών. Ποικίλα διαφορικά, παράγωγοι και συναρτήσεις σχετίζονται μεταξύ τους μέσω εξισώσεων, έτσι μία διαφορική εξίσωση είναι αποτέλεσμα που περιγράφει τα δυναμικά μεταβαλλόμενα φαινόμενα, την εξέλιξη και τη διακύμανση. Συχνά, οι ποσότητες ορίζονται ως ρυθμός μεταβολής άλλων ποσοτήτων (για παράδειγμα, παράγωγα της μετατόπισης ως προς το χρόνο), ή οι κλίσεις των ποσοτήτων που είναι το πως θα εισαχθούν οι διαφορικές εξισώσεις.

Οι ειδικοί τομείς των μαθηματικών περιλαμβάνουν την γεωμετρία και την αναλυτική μηχανική. Οι επιστημονικοί τομείς περιλαμβάνουν ένα μεγάλο μέρος της φυσικής και της αστρονομίας (μηχανική ουρανίων σωμάτων), τη μετεωρολογία (μοντελοποίηση των καιρικών συνθηκών), τη χημεία (ποσοστά αντίδρασης), τη βιολογία (λοιμώδη νοσήματα, γενετική παραλλαγή), την οικολογία και την μοντελοποίηση του πληθυσμού (ανταγωνισμός πληθυσμού), την οικονομία (τάσεις αποθεμάτων, τα επιτόκια και οι μεταβολές των τιμών ισορροπίας της αγοράς).

Πολλοί μαθηματικοί έχουν μελετήσει τις διαφορικές εξισώσεις και συνέβαλαν στον τομέα αυτό, μερικοί από αυτούς ήταν οι Ισαάκ Νεύτων, Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς, οικογένεια Bernoulli, Riccati, Clairaut, Ζαν λε Ροντ ντ' Αλαμπέρ και Λέοναρντ Όιλερ.

Ένα απλό παράδειγμα είναι ο δεύτερος νόμος του Νεύτωνα - η σχέση ανάμεσα στη μετατόπιση $x$ και το χρόνο $t$ ενός αντικειμένου με δύναμη $F$ δίνεται από τη διαφορική εξίσωση

$m{d^{2}x(t) \over dt^{2}}=F(x(t))$

η οποία περιγράφει την κίνηση ενός σωματιδίου σταθερής μάζας $m$. Σε γενικές γραμμές, $F$ είναι η συνάρτηση θέσης $x(t)$ του σωματιδίου στο χρόνο $t$. Η άγνωστη συνάρτηση $x(t)$ εμφανίζεται και στα δύο μέρη της διαφορικής εξίσωσης, και περιλαμβάνεται στην παράσταση $F(x(t))$.

Ορισμοί

Σε ότι ακολουθήσει, ας είναι y μια εξαρτημένη μεταβλητή και x μια ανεξάρτητη μεταβλητή, και y = f(x) μια άγνωστη συνάρτηση του x. Η σημειογραφία της διαφόρισης ποικίλλει ανάλογα με τον συγγραφέα και πια σημειογραφία είναι πιο χρήσιμη για την εργασία που κάνουμε. Σε αυτό το πλαίσιο, η σημειογραφία του Λάιμπιντς(dy/dx,d²y/dx²,...dⁿy/dxⁿ) είναι πιο χρήσιμη για την παραγώγιση και την διαφόριση, ενώ η σημειογραφία του Νεύτωνα και του Λαγκράνζ (y′,y′′, ... y⁽ⁿ⁾) είναι πιο χρήσιμη για την απεικόνιση παραγώγων οποιασδήποτε τάξης συμπαγώς.

Γενικός ορισμός μίας ΣΔΕ

Δίνεται F, μία συνάρτηση του x, y, και παραγώγων του y. Τότε μία εξίσωση της μορφής

$F\left(x,y,y',\cdots y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}$

ονομάζεται μη πεπλεγμένη συνήθης διαφορική εξίσωση τάξης n.

Γενικότερα, μία πεπλεγμένη διαφορική εξίσωση τάξης n παίρνει την μορφή:

$F\left(x,y,y',y'',\ \cdots ,\ y^{(n)}\right)=0$

Υπάρχουν περαιτέρω κατηγοριοποιήσεις:

Αυτόνομη

Μία διαφορική εξίσωση που δεν εξαρτάται από το x ονομάζεται αυτόνομη.

Γραμμική

Μία διαφορική εξίσωση ονομάζεται γραμμική αν η F μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός των παραγώγων του y:

$y^{(n)}=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}+r(x)$

όπου a_i(x) και r(x) είναι συνεχείς συναρτήσεις του x. Μη γραμμικές εξισώσεις δεν μπορούν να γραφτούν σε αυτήν την μορφή. Η συνάρτηση r(x)ονομάζεται πηγαίος όρος, οδηγώντας σε δύο περαιτέρω κατηγοριοποιήσεις:

Ομογενής:Αν r(x) = 0, και συνεπώς μία ''αυτόματη'' λύση είναι η απλή λύση, y = 0. Η λύση μίας γραμμικής ομογενούς εξίσωσης είναι μία συμπληρωματική συνάρτηση που εδώ συμβολίζεται με y_c.

Μή ομογενής:Αν r(x) ≠ 0. Η πρόσθετη λύση στην συμπληρωματική συνάρτηση είναι το ορισμένο ολοκλήρωμα που εδώ συμβολίζεται με y_p.

Η γενική λύση μίας γραμμικής εξίσωσης μπορεί να γραφτεί ως y = y_c + y_p.

Σύστημα των ΣΔΕ

Ένας αριθμός από ζεύγη διαφορικών εξισώσεων σχηματίζουν ένα σύστημα εξισώσεων.Αν y ένα διάνυσμα του οποίου τα στοιχεία είναι συναρτήσεις:

y(x) = [y₁(x), y₂(x),..., y_m(x)],και F είναι μία συνάρτηση διανυσματικών τιμών του y και των παραγώγων του, τότε

$\mathbf {y} ^{(n)}=\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\cdots \mathbf {y} ^{(n-1)}\right)$

είναι ένα μη πεπλεγμένο σύστημα από συνήθεις διαφορικές εξισώσεις τάξης m. Σε μορφή διανύσματος στήλης:

${\begin{pmatrix}y_{1}^{(n)}\\y_{2}^{(n)}\\\vdots \\y_{m}^{(n)}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f_{1}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\cdots \mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\\f_{2}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\cdots \mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\\\vdots \\f_{m}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\cdots \mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\\\end{pmatrix}}$

Οι παραπάνω δεν είναι απαραίτητα γραμμικές. Το πεπλεγμένο ανάλογο είναι:

$\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\cdots \mathbf {y} ^{(n)}\right)={\boldsymbol {0}}$

όπου 0 = (0, 0,... 0) είναι το μηδενικό διάνυσμα.Σε μορφή πίνακα:

${\begin{pmatrix}f_{1}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\cdots \mathbf {y} ^{(n)})\\f_{2}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\cdots \mathbf {y} ^{(n)})\\\vdots \\f_{m}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\cdots \mathbf {y} ^{(n)})\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\0\\\end{pmatrix}}$

Για ένα σύστημα της μορφής $\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} '\right)={\boldsymbol {0}}$, κάποιες πηγές επίσης απαιτούν τον Ιακωβιανό πίνακα ${\frac {\partial \mathbf {F} (x,\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}{\partial \mathbf {v} }}$να είναι μη-μοναδικός με σκοπό να ονομάζεται πεπλεγμένο σύστημα ΣΔΕ. Ένα πεπλεγμένο σύστημα ΣΔΕ που ικανοποιεί αυτόν τον Ιακωβιανό όρο της μη μοναδικότητας μπορεί να μετατραπεί σε ένα μη πεπλεγμένο σύστημα ΣΔΕ. Με τα ίδια δεδομένα,πεπλεγμένα συστήματα ΣΔΕ με μοναδικό Ιακωβιανό ορίζονται ως διαφορικές αλγεβρικές εξισώσεις (ΔΑΕ). Η διαφορά δεν είναι απλά μία διαφορά ορολογίας. Οι ΔΑΕ έχουν ουσιαστικά διαφορετικά χαρακτηριστικά και γενικότερα είναι περισσότερο περίπλοκο να λυθούν σε σχέση με (μη μοναδικά)συστήματα ΣΔΕ. Ενδεχομένως για πρόσθετες παραγώγους,ο Εσσιανός πίνακας και ούτω καθεξής θεωρούνται επίσης μη μοναδικοί σύμφωνα με αυτή τη στρατηγική αν και παρατηρείται ότι οποιαδήποτε ΣΔΕ τάξης μεγαλύτερης της πρώτης,μπορεί να γραφεί ως σύστημα ΣΔΕ πρώτης τάξης, το οποίο κάνει την Ιακωβιανή μοναδικότητα επαρκές κριτήριο ώστε να υπάρχει ολοκληρωμένη ταξινόμηση σε όλες τις τάξεις.

Λύσεις

Δίνεται η διαφορική εξίσωση

$F\left(x,y,y',\cdots ,y^{(n)}\right)=0$

μία συνάρτηση u: I ⊂ R → R ονομάζεται λύση ή ολοκληρωτική καμπύλη για την F, αν u είναι n-φορές διαφορίσιμη στο I, και

$F(x,u,u',\ \cdots ,\ u^{(n)})=0\quad x\in I.$

Δίνονται δύο λύσεις u: J ⊂ R → R και v: I ⊂ R → R, u ονομάζεται μία επέκταση της v if I ⊂ J και

$u(x)=v(x)\quad x\in I.\,$

Μία λύση που δεν έχει επέκταση ονομάζεται μέγιστη λύση. Μία λύση που ορίζεται σε όλο το R ονομάζεται καθολική λύση.

Μία γενική λύση μιας εξίσωσης n-οστής τάξης είναι λύση που περιέχει n αυθαίρετες ανεξάρτητες σταθερές ολοκλήρωσης.Μία ορισμένη λύση πηγάζει από τη γενική λύση βάζοντας στις σταθερές ορισμένες τιμές,συχνά επιλεγμένες έτσι ώστε να ικανοποιούν 'αρχικές ή οριακές συνθήκες'.Μία μοναδική λύση είναι η λύση η οποία δεν μπορεί να βρεθεί βάζοντας ορισμένες τιμές σε αυθαίρετες σταθερές σε μία γενική λύση.

Θεωρία των ΣΔΕ

Μοναδική λύση

Η θεωρία της μοναδικής λύσης των συνήθων και μερικών διαφορικών εξισώσεων ήταν αντικείμενο μελέτης από την εποχή του Λάιμπνιτς, αλλά ιδιαίτερη έμφαση δόθηκε από τα μέσα του δέκατου ένατου αιώνα. Ένα πολύτιμο αλλά ελάχιστα γνωστό έργο για το θέμα αυτό είναι του Houtain (1854). Ο Νταρμπού (ξεκινώντας από το 1873) θεωρείται ο πατέρας της θεωρίας αυτής και στην γεωμετρική ερμηνεία των λύσεων άνοιξε ένα πεδίο εργασίας που πραγματοποιήθηκε από διάφορους συγγραφείς, όπως οι Casorati και Cayley. Στους τελευταίους οφείλεται (1872) η θεωρία των μοναδικών λύσεων των διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης που ήταν αποδεκτή από το 1900.

Αναγωγή σε ολοκλήρωση

Η πρωταρχική προσπάθεια για την αντιμετώπιση προβλημάτων με διαφορικές εξισώσεις ήταν η αναγωγή σε ολοκλήρωση. Δεδομένου ότι ήταν η ελπίδα των αλγεβριστών του δέκατου όγδοου αιώνα να βρουν μία μέθοδο για την επίλυση της γενικής εξίσωσης n-οστού βαθμού, έτσι αυτό ήταν και η ελπίδα των αναλυτών να βρουν μία γενική μέθοδο για οποιαδήποτε διαφορική εξίσωση. Ο Γκάους (1799) έδειξε πως η διαφορική εξίσωση πληροί τους περιορισμούς εάν εισαχθούν οι μιγαδικοί αριθμοί. Ως εκ τούτου, οι αναλυτές άρχισαν να αντικαθιστούν τη μελέτη των συναρτήσεων ανοίγοντας κατά συνέπεια έναν νέο τομέα. Ο Κωσύ ήταν ο πρώτος που εκτίμησε τη σημασία αυτής της άποψης. Έκτοτε, το πραγματικό ερώτημα θα έπρεπε να είναι όχι το αν μία λύση είναι δυνατή μέσω των γνωστών συναρτήσεων ή ολοκληρωμάτων, αλλά αν μία δεδομένη διαφορική εξίσωση αρκεί για τον ορισμό μιας εξίσωσης μιας ανεξάρτητης μεταβλητής ή μεταβλητών και αν ναι ποιες είναι οι ιδιότητες αυτής της συνάρτησης.

Θεωρία Fuchs

Κύριο άρθρο: Frobenius method

Δύο απομνημονεύματα του Φουξ (Crelle, 1866, 1868), ενέπνευσαν μία λογοτεχνική προσέγγιση, που αργότερα επεκτάθηκε από τους Thome και Φρομπένιους. Ο Collet ήταν μία εξέχουσα συμβολή το 1869, αν και οι μέθοδοι του για την ολοκλήρωση του μη-γραμμικού συστήματος είχε κοινοποιηθεί από τον Bertrand το 1868. Ο Clebsch (1873) αντέδρασε στη θεωρία με παραπλήσια στοιχεία της δικής του θεωρίας περί αβελιανών ολοκληρωμάτων. Τα τελευταία μπορούν να κατηγοριοποιηθούν σύμφωνα με τις ιδιότητες των θεμελιωδών καμπυλών που παραμένουν αμετάβλητες κατά τους ρητούς μετασχηματισμούς. Έτσι, ο Clebsch πρότεινε να κατηγοριοποιήσει τις υπερβατικές συναρτήσεις ορισμένες από διαφορικές εξισώσεις, σύμφωνα με τις ιδιότητες των αντίστοιχων επιφανειών f=0 υπό τον ένα προς ένα ρητό μετασχηματισμό.

Θεωρία Lie

Από το 1870, η εργασία του Sophus Lie έβαλε τη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων σε πιο στέρεα θεμέλια. Έδειξε πως οι θεωρίες ολοκλήρωσης παλαιότερων μαθηματικών μπορούν με την εισαγωγή, αυτών που σήμερα αποκαλούμε ομάδες Lie, να αναφέρονται σε μία κοινή πηγή και οι συνήθεις διαφορικές εξισώσεις που ικανοποιούν τους ίδιους απειροελάχιστους μετασχηματισμούς παρουσιάζουν παρόμοιες δυσκολίες ολοκλήρωσης. Επίσης τόνισε το θέμα των μετασχηματισμών της επαφής.

Η θεωρία ομάδων διαφορικών εξισώσεων του Lie έχει επιβεβαιωθεί πως: (1) ενοποιεί τις πολλές συγκεκρινοποιημένες μεθόδους επίλυσης διαφορικών εξισώσεων και (2) παρέχει νέους ισχυρούς τρόπους στην εύρεση λύσεων. Η θεωρία έχει εφαρμογές σε συνήθεις και μερικές διαφορικές εξισώσεις.

Μία γενική προσέγγιση για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων χρησιμοποιεί την ιδιότητα της συμμετρίας των ΔΕ, τους συνεχείς απειροελάχιστους μετασχηματισμούς των λύσεων σε λύσεις (Θεωρία Lie). Η θεωρία ομάδων, η άλγεβρα Lie και η διαφορική γεωμετρία, χρησιμοποιούνται για την κατανόηση των δομών των γραμμικών και μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων για την παραγωγή ολοκληρώσιμων εξισώσεων, για την εύρεση ζευγών Lax, αναδρομικών τελεστών και τέλος για τις ακριβείς αναλυτικές λύσεις που ικανοποιούν τις ΔΕ.

Οι συμμετρικές μέθοδοι έχουν αναγνωριστεί για την έρευνα των διαφορικών εξισώσεων που εμφανίζονται στα μαθηματικά, τη φυσική, τη μηχανική και άλλους επιστημονικούς κλάδους.

Θεωρία Sturm–Liouville

Η θεωρία Sturm-Liouville είναι μία θεωρία ειδικού τύπου συνήθων διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης. Οι λύσεις τους είναι βασισμένες σε ιδιοτιμές και τις αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις γραμμικών τελεστών ορισμένων σε όρους ομογενών δευτεροβάθμιων γραμμικών εξισώσεων. Τα προβλήματα αναγνωρίστηκαν ως προβλήματα Sturm-Liouville, που πήραν το όνομα τους από τους J.C.F. Sturm και J. Liouville οι οποίοι μελέτησαν αυτού του είδους τα προβλήματα στα μέσα του δέκατου όγδοου αιώνα. Το ενδιαφέρον σημείο τους είναι ότι έχουν άπειρο αριθμό ιδιοτιμών και οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις σχηματίζουν ένα πλήρες, ορθοκανονικό σύνολο που καθιστά δυνατές ορθογωνιακές επεκτάσεις. Αυτό είναι μία ιδέα-κλειδί για τα εφαρμοσμένα μαθηματικά, τη φυσική και τη μηχανική. Τα προβλήματα Sturm-Liouville είναι επίσης χρήσιμα στην ανάλυση ειδικών μερικών διαφορικών εξισώσεων.

Ύπαρξη και μοναδικότητα λύσεων

Υπάρχουν πολλά θεωρήματα που καθορίζουν την ύπαρξη και μοναδικότητα μερικών και γενικών λύσεων σε προβλήματα αρχικών τιμών. Τα δύο κύρια θεωρήματα είναι:

Θεώρημα	Υπόθεση	Πόρισμα
Θεώρημα Ύπαρξης Peano	F συνεχής	Μόνο μερική λύση
Θεώρημα Picard-Lindelof	F Lipschitz συνεχής	Ύπαρξη μερικής λύσης και μοναδικότητα

τα οποία είναι και τα δύο θεωρήματα μερικής λύσης.

Σημειώνεται πως τα θεωρήματα μοναδικότητας, όπως του Λάιμπνιτς, δεν εφαρμόζονται στα αλγεβρικά συστήματα από τα οποία μπορεί να προέρχονται πολλαπλές λύσεις από το (μη-γραμμικό) αλγεβρικό τους μέρος μόνο.

Απλοποιημένο θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας μερικής λύσης

Το θεώρημα μπορεί να εκφραστεί απλά ως εξής  Για την εξίσωση και το πρόβλημα αρχικής τιμής:

$y'=F(x,y),y_{0}=y(x_{0})$

Αν $F$ και $\partial F/\partial y$ είναι συνεχείς σε ένα κλειστό ορθογώνιο

$R=[x_{0}-a,x_{0}+a]\times [y_{0}-b,y_{0}+b]$

στο x-y χωρίο, όπου $a,b\in \Re$ (είναι πραγματικοί αριθμοί) το $\times$ δηλώνει το καρτεσιανό γινόμενο και οι αγκύλες δηλώνουν ένα κλειστό διάστημα, τότε υπάρχει ένα διάστημα:

$I=[x_{0}-h,x_{0}+h]\subset [x_{0}-a,x_{0}+a]$

για κάποιο $h\in \Re$ όπου η λύση στο πρόβλημα αρχικών τιμών μπορεί να βρεθεί. Δηλαδή, υπάρχει λύση και είναι μοναδική. Δεδομένου ότι δεν υπάρχει κανένας περιορισμός για την $F$ να είναι γραμμική, μπορεί να εφαρμοστεί και για μη-γραμμικές εξισώσεις που παίρνουν τη μορφή $F(x,y)$ και μπορεί να εφαρμοστεί και σε συστήματα εξισώσεων.

Μοναδικότητα και μέγιστη περιοχή γενικής λύσης

Όταν οι υποθέσεις του θεωρήματος Picard-Lindelof ικανοποιούνται τότε η ύπαρξη και μοναδικότητα μερικής λύσης μπορούν να επεκταθούν και σε γενικές λύσεις. Πιο συγκεκριμένα:

Για κάθε αρχική συνθήκη $(x_{0},y_{0})$ υπάρχει ένα μοναδικό μέγιστο (πιθανότατα άπειρο) ανοικτό διάστημα.

$I_{\max }=(x_{-},x_{+}),x_{\pm }\in \Re ,x_{0}\in I_{\max }$

έτσι ώστε οποιαδήποτε λύση που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη είναι περιορισμός της λύσης που ικανοποιεί την αρχική συνθήκη με πεδίο το $I_{\max }$

Στην περίπτωση που $x_{\pm }\nrightarrow \pm \infty$ υπάρχουν δύο ακριβώς περιπτώσεις

• σε άπειρο χρόνο: $lim\sup \lVert y(x)\rVert \rightarrow \infty$
• έχει πεδίο ορισμού: $limy(x)\in \partial \Omega$

Όπου Ω είναι το ανοικτό σύνολο στο οποίο ορίζεται η F και $\partial \Omega$ είναι το όριο του.

Σημειώνεται ότι το μέγιστο πεδίο λύσεων

• είναι πάντα ένα διάστημα (ώστε να υπάρχει μοναδικότητα)
• μπορεί να είναι μικρότερο από το σύνολο των πραγματικών αριθμών
• μπορεί να εξαρτάται από την επιλογή του $(x_{0},y_{0})$

Παράδειγμα

$y'=y^{2}$

Αυτό σημαίνει πως  F(x, y) = y², η οποία είναι C¹ και κατά συνέπεια Λάιμπνιτς συνεχής, ικανοποιεί το θεώρημα Picard–Lindelöf

Ακόμα και σε μία τόσο απλή συνθήκη, το μέγιστο πεδίο λύσεων δεν μπορεί να είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών καθώς η λύση είναι

$y(x)={\tfrac {y_{0}}{(x_{0}-x)y_{0}+1}}$

η οποία έχει μέγιστο πεδίο:

${\begin{cases}\Re ,&{\text{ }}y_{0}=0{\text{ }}\\(-\infty ,x_{0}+1/y_{0}),&{\text{ }}y_{0}>0{\text{ }}\\(x_{0}+1/y_{0},+\infty ),&{\text{ }}y_{0}<0{\text{ }}\end{cases}}$

αυτό δείχνει πως το μέγιστο διάστημα μπορεί να εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες. το πεδίο ορισμού του y θα μπορούσε να είναι το $\Re \backslash (x_{0}+1/y_{0})$ αλλά αυτό θα οδηγούσε σε ένα πεδίο που δεν είναι διάστημα, έτσι το διάστημα απέναντι από την αρχική συνθήκη θα αποκοπτόταν από αυτή και δεν θα οριζόταν μοναδικά.

Το μέγιστο πεδίο ορισμού δεν είναι το ℝ γιατί:

$\lim \lVert y(x)\rVert \rightarrow \infty$

το οποίο είναι μία από τις δύο πιθανές περιπτώσεις σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα.

Μείωση της τάξης

Οι διαφορικές εξισώσεις συνήθως μπορούν να λυθούν πιο εύκολα αν η τάξη της εξίσωσης μπορεί να μειωθεί.

Μείωση σε ένα σύστημα πρώτης τάξης

Οποιαδήποτε διαφορική εξίσωση τάξης n,

$F\left(x,y,y',y'',\ \cdots ,\ y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}$

μπορεί να γραφεί σαν ένα σύστημα από n πρώτης τάξης διαφορικών εξισώσεων,οριίζοντας μία νέα οικογένεια αγνώστων συναρτήσεων

$y_{i}=y^{(i-1)}.\!$

για i = 1, 2,... n. Το n-διαστάσεων σύστημα πρώτης τάξης ζευγών διαφορικών εξισώσεων είναι τότε

${\begin{array}{rcl}y_{1}'&=&y_{2}\\y_{2}'&=&y_{3}\\&\vdots &\\y_{n-1}'&=&y_{n}\\y_{n}'&=&F(x,y_{1},\cdots ,y_{n}).\end{array}}$

Πιο περιεκτικά σε μορφή διανυσμάτων:

$\mathbf {y} '=\mathbf {F} (x,\mathbf {y} )$

Όπου

$\mathbf {y} =(y_{1},\cdots ,y_{n}),\quad \mathbf {F} (x,y_{1},\cdots ,y_{n})=(y_{2},\cdots ,y_{n},F(x,y_{1},\cdots ,y_{n})).$

Συνοπτική παρουσίαση των ακριβών λύσεων

Μερικές διαφορικές εξισώσεις έχουν λύσεις που μπορούν να γραφούν με συγκεκριμένη και κλειστή μορφή. Πολλές σημαντικές κατηγορίες δίνονται εδώ.

Στον παρακάτω πίνακα, P(x), Q(x), P(y), Q(y), και M(x,y), N(x,y) είναι ολοκληρώσιμες συναρτήσεις των x, y και b, c είναι πραγματικές σταθερές και C₁, C₂,... είναι αυθαίρετες σταθερές (γενικώς μιγαδικές). Οι διαφορικές εξισώσεις παρουσιάζονται με τις αντίστοιχες ίσες και εναλλακτικές τους μορφές που οδηγούν στη λύση μέσω της ολοκλήρωσης.

Στις λύσεις με ολοκλήρωση, τα λ και ε είναι βοηθητικές μεταβλητές της ολοκλήρωσης (αναλογία συνεχειών των δεικτών στο άθροισμα) και ο συμβολισμός ∫^xF(λ)dλ σημαίνει την ολοκλήρωση της F(λ) ως προς λ, μετά την ολοκλήρωση κάνουμε την αντικατάσταση λ = x χωρίς να προσθέτουμε τις σταθερές (δηλώνεται ρητά).

Διαφορική Εξίσωση	Μέθοδος Επίλυσης	Γενική Λύση
Διαχωρίσιμες Εξισώσεις
Πρώτης τάξης διαχωρίσιμες σε x,y (γενική περίπτωση, δείτε παρακάτω ειδικές περιπτώσεις) $P_{1}(x)Q_{1}(y)+P_{2}(x)Q_{2}(y){dy \over dx}=0$ $P_{1}(x)Q_{1}(y)dx+P_{2}(x)Q_{2}(y)dy=0$	Χωριζομένων μεταβλητών (διαιρούμενο με P2Q1)	$\textstyle \int _{}^{x}\displaystyle {\frac {P_{1}(\lambda )}{P_{2}(\lambda )}}d\lambda +\textstyle \int _{}^{x}\displaystyle {\frac {Q_{2}(\lambda )}{Q_{1}(\lambda )}}d\lambda =c$
Πρώτης τάξης διαχωρίσιμες σε x ${dy \over dx}=F(x)$ $dy=F(x)dx$	Άμεση Ολοκλήρωση	$y=\textstyle \int _{}^{x}\displaystyle F(\lambda )d\lambda +c$
Πρώτης τάξης, αυτόνομη διαχωρίσιμη σε y ${dy \over dx}=F(y)$ $dy=F(y)dx$	Χωριζομένων μεταβλητών (διαιρούμενο με F)	$x=\textstyle \int _{}^{y}\displaystyle {\frac {d\lambda }{F(\lambda )}}+c$
Πρώτης τάξης διαχωρίσιμες σε x και y $P(y){dy \over dx}+Q(x)=0$ $P(y)dy+Q(x)dx=0$	Ολική ολοκλήρωση	$\textstyle \int _{}^{y}\displaystyle P(\lambda )d\lambda +\textstyle \int _{}^{x}\displaystyle Q(\lambda )d\lambda =c$
Γενικές εξισώσεις πρώτης τάξης
Ομογενής πρώτης τάξης ${dy \over dx}=F({\frac {y}{x}})$	Θέτουμε y = ux, τότε η λύση δίνεται με χωριζομένων μεταβλητών στο u και x	$\ln(cx)=\textstyle \int _{}^{y/x}\displaystyle {\frac {d\lambda }{F(\lambda )-\lambda }}$
Πρώτης τάξης, διαχωρίσιμη $yM(xy)+xN(xy){dy \over dx}=0$ $yM(xy)dx+xN(xy)dy=0$	Χωριζομένων μεταβλητών (διαιρούμενο με xy)	$\ln(cx)=\textstyle \int _{}^{xy}\displaystyle {\frac {N(\lambda )d\lambda }{\lambda [N(\lambda )-M(\lambda )]}}$ Αν N = M, η λύση είναι xy = C.
Πλήρης διαφορική πρώτης τάξης $M(x,y){dy \over dx}+N(x,y)=0$ $M(x,y)dy+N(x,y)dx=0$ όπου ${\frac {\partial M}{\partial x}}={\frac {\partial N}{\partial y}}$	Ολική ολοκλήρωση	$F(x,y)=\textstyle \int _{}^{y}\displaystyle M(x,\lambda )d\lambda +\textstyle \int _{}^{x}\displaystyle N(\lambda ,y)d\lambda +Y(y)+X(x)=c$ όπου Y(y) και X(x) είναι συναρτήσεις από τα ολοκληρώματα και όχι σταθερές τιμές, οι οποίες έχουν ώστε η τελική εξίσωση F(x, y) να ικανοποιεί την αρχική εξίσωση
Μη πλήρης διαφορική πρώτης τάξης $M(x,y){dy \over dx}+N(x,y)=0$ $M(x,y)dy+N(x,y)dx=0$ όπου ${\frac {\partial M}{\partial x}}\neq {\frac {\partial N}{\partial y}}$	Παράγωντας Ολοκλήρωσης μ(x, y) ${\frac {\partial (\mu M)}{\partial x}}={\frac {\partial (\mu N)}{\partial y}}$	Αν μ(x, y) μπορεί να βρεθεί: $F(x,y)=\textstyle \int _{}^{y}\displaystyle \mu (x,\lambda )M(x,\lambda )d\lambda +\textstyle \int _{}^{x}\displaystyle \mu (\lambda ,y)N(\lambda ,y)d\lambda +Y(y)+X(x)=c$
Γενικές εξισώσεις δεύτερης τάξης
Δεύτερης τάξης, αυτόνομη ${d^{2}y \over dx^{2}}=F(y)$	Πολ/σμος της εξίσωσης με 2dy/dx, $2{dy \over dx}{d^{2}y \over dx^{2}}={d \over dx}({dy \over dx})^{2}$και στη συνέχεια ολοκλήρωση δύο φορές	$x=\pm \textstyle \int _{}^{y}\displaystyle {\frac {d\lambda }{\sqrt {2\textstyle \int _{}^{\lambda }\displaystyle F(\epsilon )d\epsilon +c_{1}}}}+c_{2}$
Γραμμικές εξισώσεις (n-οστής τάξης)
Πρώτης τάξης, γραμμικές, μη ομογενείς με συντελεστές συνάρτηση ${dy \over dx}+P(x)y=Q(x)$	Παράγωντα ολοκλήρωσης:	$y=e^{-\int ^{x}P(\lambda )\,d\lambda }\left[\int ^{x}e^{\int ^{\lambda }P(\epsilon )\,d\epsilon }Q(\lambda )\,{d\lambda }+C\right]$
Δεύτερης τάξης, γραμμικές, μη ομογενείς με σταθερούς όρους ${d^{2}y \over dx^{2}}+b{dy \over dx}+cy=r(x)$	Συμπληρωματική συνάρτηση yc υποθέτουμε yc = eαx και λύνουμε το πολυώνυμο ως προς α, για να βρούμε γραμμικά ανεξάρτητες συνάρτησεις. Σε γενικές γραμμές η μέθοδος της μεταβολής των παραμέτρων αν και για απλό r(x) μπορεί να λειτουργήσει.	$y=y_{c}+y_{p}$αν b2 > 4c, τότε: $y_{c}=C_{1}e^{\left(-b+{\sqrt {b^{2}-4c}}\right){\frac {x}{2}}}+C_{2}e^{-\left(b+{\sqrt {b^{2}-4c}}\right){\frac {x}{2}}}\,\!$ Αν b2 = 4c, τότε: $y_{c}=(C_{1}x+C_{2})e^{-bx/2}\,\!$ Αν b2 < 4c, τότε: $y_{c}=e^{-b{\frac {x}{2}}}\left[C_{1}\sin {\left({\sqrt {\left|b^{2}-4c\right|}}{\frac {x}{2}}\right)}+C_{2}\cos {\left({\sqrt {\left|b^{2}-4c\right|}}{\frac {x}{2}}\right)}\right]\,\!$
n-οστής τάξης, γραμμικές, μη ομογενείς με σταθερούς όρους $\sum _{j=0}^{n}b_{j}\operatorname {d^{j}} \!y/\operatorname {d} \!x^{j}=r(x)$	Συμπληρωματική συνάρτηση  yc: υποθέτουμε yc = eαx, και λύνουμε το πολυώνυμο ως προς α, για να βρούμε γραμμικά ανεξάρτητες συναρτήσεις . Σε γενικές γραμμές η μέθοδος της μεταβολής των παραμέτρων αν και για απλό r(x) μπορεί να λειτουργήσει.	$y=y_{c}+y_{p}$Αφού αj είναι οι λύσεις of του πολυωνύμου βαθμού n: $\prod _{j=1}^{n}\left(\alpha -\alpha _{j}\right)=0\,\!$,τότε: για αj όλα διαφορετικά, $y_{c}=\sum _{j=1}^{n}C_{j}e^{\alpha _{j}x}\,\!$ για κάθε ρίζα αj επαναλαμβανόμενη kj φορές, $y_{c}=\sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{\ell =1}^{k_{j}}C_{\ell }x^{\ell -1}\right)e^{\alpha _{j}x}\,\!$ για κάποια συμπλέγματα αj, τότε θέτοντας α = χj + iγj, και χρησιμοποιώντας την ταυτότητα του Όιλερ, allows some terms in the previous results to be written in the form $C_{j}e^{\alpha _{j}x}=C_{j}e^{\chi _{j}x}\cos(\gamma _{j}x+\phi _{j})\,\!$ όπου ϕj είναι μία αυθαίρετη σταθερά(αλλαγή φάσης).

Λογισμικό για λύση ΣΔΕ

• Maxima computer algebra system (GPL)
• COPASI (Artistic License 2.0) ένα δωρεάν λογισμικό για την ολοκλήρωση και την ανάλυση ΣΔΕ.
• MATLAB ένα λογισμικό τεχνικού υπολογισμού (MATrix LABoratory).
• GNU Octave μια υψηλού επιπέδου γλώσσα, που κυρίως χρησιμεύει στους αριθμητικούς υπολογισμούς.
• Scilab λογισμικό για αριθμητικούς υπολογισμούς.
• Maple
• Mathematica
• Julia (programming language)
• SciPy a Python package that includes an ODE integration module.
• Chebfun λογισμικό, γραμμένο στο MATLAB, για υπολογισμό με συναρτήσεις ,με ακρίβεια 15 ψηφίων.
• GNU R λογισμικό σε υπολογιστικό περιβάλλον που κυρίως χρησιμεύει στην στατιστική,το οποίο περιλαμβάνει και πακέτο για την λύση ΣΔΕ.
• EROS.NET ένα δωρεάν πρόγραμμα για την λύση ΣΔΕ.

Δείτε επίσης

• Πρόβλημα οριακής τιμής
• Εφαρμογή μετασχηματισμού Λαπλάς στις διαφορικές εξισώσεις
• Λίστα δυναμικών συστημάτων και θέματα διαφορικών εξισώσεων
• Πίνακας διαφορικής εξίσωσης
• Μέθοδος απροσδιόριστων μεταβλητών
• Αριθμητικές μέθοδοι για ΣΔΕ
• Διαχωρισμός μεταβλητών

Αναφορές

• Halliday David, Resnick Robert (1977), Physics (3rd ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-71716-9.
• Harper Charlie (1976), Introduction to Mathematical Physics, New Jersey: Prentice-Hall, ISBN 0-13-487538-9.
• Kreyszig Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (3rd ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-50728-8.
• Polyanin, A. D. and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition)", Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2.
• Simmons George F. (1972), Differential Equations with Applications and Historical Notes, New York: McGraw-Hill, ISBN 0-07057-540-1.
• Tipler Paul A. (1991), Physics for Scientists and Engineers: Extended version (3rd ed.), New York: Worth Publishers, ISBN 0-87901-432-6.
• Lawrence Dresner (1999), Applications of Lie's Theory of Ordinary and Partial Differential Equations, Bristol and Philadelphia: Institute of Physics Publishing, ISBN 9780750305310.

Βιβλιογραφία

• Coddington Earl A., Levinson Norman (1955). Theory of Ordinary Differential Equations. New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0898747553.
• Hartman Philip (2002) [1964], Ordinary differential equations, Classics in Applied Mathematics 38, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-510-1.
• Ince Edward L. (1944) [1926], Ordinary Differential Equations, Dover Publications, New York, ISBN 978-0-486-60349-0.
• Witold Hurewicz, Lectures on Ordinary Differential Equations, Dover Publications, ISBN 0-486-49510-8.
• Ibragimov Nail Η (1993). CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations Vol. 1-3. Providence: CRC-Press. ISBN 0-8493-4488-3.
• Teschl Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.
• A.D. Polyanin, V. F. Zaitsev, and A. Moussiaux, Handbook of First Order Partial Differential Equations, Taylor & Francis, London, 2002. ISBN 0-415-27267-X.
• D. Zwillinger, Handbook of Differential Equations (3rd edition), Academic Press, Boston, 1997.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Differential equation, ordinary», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/d031910 
• Differential Equations στο Curlie (περιέχει λογισμικό για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων).
• EqWorld: The World of Mathematical Equations, περιέχει μία λίστα από ΣΔΕ και από τις λύσεις τους.
• Online Notes / Differential Equations του Paul Dawkins, Lamar University.
• Differential Equations, S.O.S. Μαθηματικά.
• A primer on analytical solution of differential equations από το Ινστιτούτο Ολιστικών Αριθμητικών Μεθόδων, Πανεπιστήμιο Νότιας Φλόριντα.
• Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems σημειώσεις του Gerald Teschl.
• Notes on Diffy Qs: Differential Equations for Engineers Ένα εισαγωγικό βιβλίο στις διαφορικές εξισώσεις του Jiri Lebl από το UIUC.
• Modeling with ODEs using Scilab Οδηγίες στο πως να διαμορφώσεις ένα φυσικό σύστημα που περιγράφεται από ΣΔΕ χρησιμοποιώντας γλώσσα προγραμματισμού βασισμένη στο Scilab.
• Solving an ordinary differential equation in Wolfram|Alpha