Νόμος των ημιτόνων
Στην γεωμετρία, ο νόμος των ημιτόνων, είναι μία σχέση που ισχύει σε οποιοδήποτε τρίγωνο και η οποία συνδέει τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου με τα ημίτονα των γωνιών του. Πιο συγκεκριμένα, σε κάθε τρίγωνο , ισχύει ότι[1]:244-245[2]:126[3]:62[4]:57
![](http://up.wiki.x.io/wikipedia/el/thumb/5/5c/%CE%A4%CF%81%CE%AF%CE%B3%CF%89%CE%BD%CE%BF_%CE%BC%CE%B5_%CF%84%CE%BF%CE%BD_%CF%80%CE%B5%CF%81%CE%B9%CE%B3%CE%B5%CE%B3%CF%81%CE%B1%CE%BC%CE%BC%CE%AD%CE%BD%CE%BF_%CE%BA%CF%8D%CE%BA%CE%BB%CE%BF_.svg/250px-%CE%A4%CF%81%CE%AF%CE%B3%CF%89%CE%BD%CE%BF_%CE%BC%CE%B5_%CF%84%CE%BF%CE%BD_%CF%80%CE%B5%CF%81%CE%B9%CE%B3%CE%B5%CE%B3%CF%81%CE%B1%CE%BC%CE%BC%CE%AD%CE%BD%CE%BF_%CE%BA%CF%8D%CE%BA%CE%BB%CE%BF_.svg.png)
- ,
όπου , , είναι τα μήκη των πλευρών του, , , οι γωνίες του, και η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.
Δηλαδή σε ένα τυχόν τρίγωνο ο λόγος της πλευράς προς το ημίτονο της γωνίας που βλέπει προς την πλευρά είναι σταθερός και ίσος με την διάμετρο του περιγεγραμμένου κύκλου, δηλαδή με .
Απόδειξη
ΕπεξεργασίαΙσότητα λόγων
ΕπεξεργασίαΘα ξεκινήσουμε αποδεικνύοντας ότι
χρησιμοποιώντας διαφορετικές εκφράσεις για τα ύψη του . Έστω το ύψος που αντιστοιχεί στην κορυφή . Τότε στο ορθογώνιο τρίγωνο , από τον ορισμό του ημιτόνου , έχουμε ότι
.
(
)
Αντίστοιχα, στο , έχουμε ότι
.
(
)
Συνδυάζοντας τις (1) και (2), έχουμε ότι
- .
Αντίστοιχα για το ύψος , λαμβάνουμε ότι
- ,
και έτσι έπεται το ζητούμενο.
Ισότητα με την διάμετρο
ΕπεξεργασίαΑρκεί να δείξουμε ότι . Θεωρούμε την κάθετη από το στην και το σημείο που τέμνεται με τον περιεγραμμένο κύκλο του . Χρησιμοποιώντας την ισότητα των λόγων του νόμου των ημιτόνων (που αποδείξαμε παραπάνω) στο τρίγωνο , έχουμε ότι
- .
Αφού η βαίνει στο ίδιο τόξο με την έχουμε ότι . Επίσης αφού , ισχύει ότι . Συνεπώς,
Περαιτέρω ανάγνωση
ΕπεξεργασίαΕξωτερικοί σύνδεσμοι
Επεξεργασία- Cut the Knot: Νόμος ημιτόνων και συνημιτόνων
- Διαδραστική εφαρμογή του νόμου των ημιτόνων
- Διαδραστική εφαρμογή του νόμου των ημιτόνων
Ελληνικά άρθρα
Επεξεργασία- Θ. Ξένος (1988). «Αποδείξεις γεωμετρικών προτάσεων με τη βοήθεια των νόμων ημιτόνων και συνημιτόνων». Ευκλείδης Β΄ (3): 32-34. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3215.
Ξενόγλωσσα άρθρα
Επεξεργασία- Viher, Radimir; Viher, Dragutin; Koncul, Helena (Μαρτίου 2021). «Applications of the sine and cosine rules for a quadrilateral». The Mathematical Gazette 105 (562): 70–77. doi: .
- Kershner, R. B. (Μαΐου 1971). «The Law of Sines and Law of Cosines for Polygons». Mathematics Magazine 44 (3): 150–153. doi:. https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1971-05_44_3/page/150.
- Grinberg, Eric L.; Orhon, Mehmet (7 Φεβρουαρίου 2021). «Morley Trisectors and the Law of Sines with Reflections». The American Mathematical Monthly 128 (2): 163–167. doi: .
- Mahoney, John F. (Φεβρουαρίου 2005). «Benjamin Banneker and the Law of Sines». The Mathematics Teacher 98 (6): 390–393. doi:. https://archive.org/details/sim_mathematics-teacher_2005-02_98_6/page/390.
- Mitchell, Douglas W. (Μαρτίου 2009). «93.10 A Heron-type area formula in terms of sines». The Mathematical Gazette 93 (526): 108–109. doi:. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2009-03_93_526/page/108.
Δείτε επίσης
ΕπεξεργασίαΠαραπομπές
Επεξεργασία- ↑ Αργυράκης, Δ.· Βουργάνας, Π.· Μεντής, Κ.· Τσικοπούλου, Σ.· Χρυσοβέργης, Μ. Γ' Γυμνασίου Μαθηματικά. Αθήνα: Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων «Διόφαντος». ISBN 978-960-06-2766-4.
- ↑ Τόγκας, Πέτρος Γ. Ασκήσεις και προβλήματα τριγωνομετρίας. Αθήνα: Εκδοτικός οίκος Πέτρου Γ. Τόγκα.
- ↑ Παπατριανταφύλλου, Ε. (1974). Μαθηματικά ΣΤ' Γυμνασίου Θετικής κατευθύνσεως: Τριγωνομετρία. Αθήνα: Οργανισμός εκδόσεως διδακτικών βιβλίων.
- ↑ Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Ευθύγραμμος τριγωνομετρία. Αθήνα: Εκδοτικός Οίκος Πέτρου Γ. Τόγκα.
Αυτό το μαθηματικό λήμμα χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το. |