Νόμος των ημιτόνων

ιδιότητα όλων των τριγώνων που λέει ότι ο λόγος των πλευρών προς το ημίτονο της απέναντι γωνίας είναι σταθερός και ίσος με τη διάμετρο του π

Στην γεωμετρία, ο νόμος των ημιτόνων, είναι μία σχέση που ισχύει σε οποιοδήποτε τρίγωνο και η οποία συνδέει τα μήκη των πλευρών ενός τριγώνου με τα ημίτονα των γωνιών του. Πιο συγκεκριμένα, σε κάθε τρίγωνο , ισχύει ότι[1]:244-245[2]:126[3]:62[4]:57

Τρίγωνο στο οποίο αναγράφονται τα μήκη των πλευρών του , , , οι γωνίες του , , και ο περιγεγραμμένος κύκλος του ακτίνας .
,

όπου , , είναι τα μήκη των πλευρών του, , , οι γωνίες του, και η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.

Δηλαδή σε ένα τυχόν τρίγωνο ο λόγος της πλευράς προς το ημίτονο της γωνίας που βλέπει προς την πλευρά είναι σταθερός και ίσος με την διάμετρο του περιγεγραμμένου κύκλου, δηλαδή με .

Απόδειξη

Επεξεργασία

Ισότητα λόγων

Επεξεργασία
 
Ύψος   του τριγώνου   που αντιστοιχεί στην κορυφή  .

Θα ξεκινήσουμε αποδεικνύοντας ότι

 

χρησιμοποιώντας διαφορετικές εκφράσεις για τα ύψη του  . Έστω   το ύψος που αντιστοιχεί στην κορυφή  . Τότε στο ορθογώνιο τρίγωνο  , από τον ορισμό του ημιτόνου  , έχουμε ότι

 .

 

 

 

 

(1)

Αντίστοιχα, στο  , έχουμε ότι

 .

 

 

 

 

(2)

Συνδυάζοντας τις (1) και (2), έχουμε ότι

 .

Αντίστοιχα για το ύψος  , λαμβάνουμε ότι

 ,

και έτσι έπεται το ζητούμενο.

Ισότητα με την διάμετρο

Επεξεργασία
 
Το τρίγωνο   όπου  .

Αρκεί να δείξουμε ότι  . Θεωρούμε την κάθετη από το   στην   και   το σημείο που τέμνεται με τον περιεγραμμένο κύκλο του  . Χρησιμοποιώντας την ισότητα των λόγων του νόμου των ημιτόνων (που αποδείξαμε παραπάνω) στο τρίγωνο  , έχουμε ότι

 .

Αφού η   βαίνει στο ίδιο τόξο με την   έχουμε ότι  . Επίσης αφού  , ισχύει ότι  . Συνεπώς,

 

Περαιτέρω ανάγνωση

Επεξεργασία

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Επεξεργασία

Ελληνικά άρθρα

Επεξεργασία

Ξενόγλωσσα άρθρα

Επεξεργασία

Δείτε επίσης

Επεξεργασία

Παραπομπές

Επεξεργασία
  1. Αργυράκης, Δ.· Βουργάνας, Π.· Μεντής, Κ.· Τσικοπούλου, Σ.· Χρυσοβέργης, Μ. Γ' Γυμνασίου Μαθηματικά. Αθήνα: Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων «Διόφαντος». ISBN 978-960-06-2766-4. 
  2. Τόγκας, Πέτρος Γ. Ασκήσεις και προβλήματα τριγωνομετρίας. Αθήνα: Εκδοτικός οίκος Πέτρου Γ. Τόγκα. 
  3. Παπατριανταφύλλου, Ε. (1974). Μαθηματικά ΣΤ' Γυμνασίου Θετικής κατευθύνσεως: Τριγωνομετρία. Αθήνα: Οργανισμός εκδόσεως διδακτικών βιβλίων. 
  4. Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Ευθύγραμμος τριγωνομετρία. Αθήνα: Εκδοτικός Οίκος Πέτρου Γ. Τόγκα.