Νόμος Στέφαν-Μπόλτζμαν

Ο νόμος Στέφαν-Μπόλτζμαν, γνωστός και ως νόμος του Μπόλτζμαν, δηλώνει ότι η ολική ενέργεια που ακτινοβολείται από την μονάδα επιφάνειας ενός μελανού ή ενός φαιού σώματος (R_T) και ονομάζεται φασματική εκπομπή ή αφετική ικανότητα ή φάσμα της ακτινοβολίας, είναι ευθέως ανάλογη της τέταρτης δύναμης της απόλυτης θερμοκρασίας του (T):

$R_{T}=\sigma \epsilon \ T^{4}$

Η αφετική ικανότητα (R_T) έχει διαστάσεις πυκνότητας ισχύος (ενέργεια ανά μονάδα χρόνου ανά μονάδα επιφάνειας) και στο διεθνές σύστημα μονάδων SI μετριέται σε Τζάουλ ανά δευτερόλεπτο ανά τετραγωνικό μέτρο (J/s/m²), ή ισοδύναμα σε Βατ ανά τετραγωνικό μέτρο (W/m²). Η απόλυτη θερμοκρασία (T) έχει ως μονάδα στο SI το βαθμό Κέλβιν (°Κ). Ο συντελεστής εκπομπής ε είναι αδιάστατος αριθμός και για ένα μέλαν σώμα, δηλαδή ένα τέλειο εκπομπό, η τιμή του είναι ε = 1. Η σταθερά αναλογίας σ, που ονομάζεται σταθερά Στέφαν-Μπόλτζμαν ή σταθερά Στέφαν, δεν είναι θεμελιώδης εφόσον εξάγεται από γνωστές φυσικές σταθερές. Η τιμή της είναι:

$\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}=5.670400\times 10^{-8}{\textrm {J\,s}}^{-1}{\textrm {m}}^{2}{\textrm {K}}^{4}.$

όπου k η σταθερά του Μπόλτζμαν, c η ταχύτητα του φωτός στο κενό, και h η σταθερά του Πλανκ.

Ο νόμος αυτός ανακαλύφθηκε το 1879 από τον Τζόζεφ Στέφαν (Jožef Stefan) και εξήχθηκε θεωρητικά με τη βοήθεια της θερμοδυναμικής από τον Λούντβιχ Μπόλτζμαν (Ludwig Boltzmann) το 1884. Ο Μπόλτζμαν χρησιμοποίησε την ιδέα μιας ιδανικής θερμικής μηχανής που χρησιμοποιούσε φως για τη λειτουργία της αντί για κάποιο αέριο. Ο νόμος αυτός είναι έγκυρος μόνο για ιδανικά σώματα, που είναι είτε τέλειοι εκπομποί (δηλαδή μελανά σώματα), είτε ατελείς εκπομποί των οποίων όμως ο συντελεστής εκπομπής (ε) είναι ανεξάρτητος του μήκους κύματος της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας (φαιά σώματα). Ο Στέφαν δημοσίευσε το νόμο αυτό σε άρθρο του στην Ακαδημία Επιστημών της Βιένης στις 20 Μαρτίου του 1879, με τίτλο "Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur" (Περί της σχέσεως μεταξύ θερμικής ακτινοβολίας και θερμοκρασίας).

Εξαγωγή του νόμου Στέφαν - Μπόλτζμαν

Εξαγωγή με τη βοήθεια του νόμου του Πλανκ

Ο νόμος Στέφαν - Μπόλτζμαν μπορεί να εξαχθεί εύκολα από τον νόμο του Πλανκ για την ακτινοβολία του μέλανος σώματος, ολοκληρώνοντας την ένταση της ακτινοβολίας ως προς την συχνότητα v, για όλες τις συχνότητες $(0<\nu <\infty )$ σε στερεά γωνία μισής σφαίρας (οι κατευθύνσεις στις οποίες εκπέμπει το σώμα):

$R_{T}=\int _{0}^{\infty }\!d\nu \int _{\Omega _{0}}d\Omega ~I(\nu ,T)\cos(\theta )$

όπου Ω₀ η μισή σφαίρα μέσα στην οποία εκπέμπεται η ακτινοβολία, και $I(\nu ,T)d\nu$ είναι η ποσότητα ενέργειας που εκπέμπεται από το μέλαν σώμα στη θερμοκρασία Τ ανά μονάδα επιφάνειας ανά μονάδα χρόνου ανά μονάδα στερεάς γωνίας σε εύρος συχνοτήτων $[\nu ,\nu +d\nu ]$. Ο παράγοντας του συνημιτόνου περιλαμβάνεται διότι το μέλαν σώμα είναι τέλειος Λαμπερτιανός εκπομπός. Χρησιμοποιώντας τη σχέση dΩ= ημ(θ) dθdφ και ολοκληρώνοντας παίρνουμε:

$R_{T}=\int _{0}^{\infty }\!d\nu \int _{0}^{2\pi }\!d\phi \int _{0}^{\pi /2}\!d\theta ~I(\nu ,T)\cos(\theta )\sin(\theta )={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}\,T^{4}$

(Δες το παράρτημα για την επίλυση αυτού του ολοκληρώματος)

Εξαγωγή με θερμοδυναμικά επιχειρήματα

Το γεγονός ότι η ενεργειακή πυκνότητα της ακτινοβολίας που βρίσκεται περιορισμένη σε μια κοιλότητα είναι ανάλογη της τέταρτης δύναμης της θερμοκρασίας μπορεί να γίνει κατανοητό με τη βοήθεια της θερμοδυναμικής. Από την κλασσική ηλεκτροδυναμική ξέρουμε ότι η πίεση (P) που ασκεί η ακτινοβολία στα τοιχώματα της κοιλότητας συνδέεται με την πυκνότητα ενέργειας μέσω της σχέσης:

$P={\frac {u}{3}}$

Η συνολική εσωτερική ενέργεια της κοιλότητας μπορεί επομένως να γραφεί ως:

$U=3PV\,$

Εισάγοντας το αυτό στον θεμελιώδη νόμο της θερμοδυναμικής

$dU=TdS-PdV\,$

παίρνουμε την εξίσωση:

$dS=4{\frac {P}{T}}dV+3{\frac {V}{T}}dP$

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση αυτή για να καταλήξουμε σε μια σχέση του Μάξουελ. Από την εξίσωση φαίνεται ότι

$\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)_{P}=4{\frac {P}{T}}$

και

$\left({\frac {\partial S}{\partial P}}\right)_{V}=3{\frac {V}{T}}$

Λόγω της συμμετρίας στις δεύτερες παραγώγους των $S$, $P$ και $V$ πρέπει να ισχύει:

$4\left({\frac {\partial \left(P/T\right)}{\partial P}}\right)_{V}=3\left({\frac {\partial \left(V/T\right)}{\partial V}}\right)_{P}$

Επειδή η πίεση είναι ανάλογη της εσωτερικής ενεργειακής πυκνότητας, εξαρτάται μόνο από την θερμοκρασία και όχι από τον όγκο. Επομένως στην παράγωγο του δεξιού μέλους της εξίσωσης, η θερμοκρασία είναι σταθερή. Υπολογίζοντας τις παραγώγους παίρνουμε τη διαφορική εξίσωση:

${\frac {1}{P}}{\frac {dP}{dT}}={\frac {4}{T}}$

Από αυτό προκύπτει ότι:

$u=3P\propto T^{4}$

Παραδείγματα

Για περισσότερα παραδείγματα εφαρμογής του νόμου Στέφαν - Μπόλτζμαν δείτε επίσης: Μέλαν σώμα - Παραδείγματα θερμικής ακτινοβολίας σωμάτων που προσεγγίζουν το μέλαν σώμα.

Η Θερμοκρασία του Ήλιου

Με την βοήθεια του νόμου του ο Στέφαν προσδιόρισε την θερμοκρασία του Ήλιου. Για να το πετύχει αυτό έλαβε υπόψιν του τα πειραματικά δεδομένα του Charles Soret, ο οποίος είχε δείξει ότι η πυκνότητα της ενεργειακής ροής που προέρχεται από τον Ήλιο είναι κατά 29 φορές μεγαλύτερη από την πυκνότητα της ενεργειακής ροής ενός δίσκου θερμοκρασίας μεταξύ 1900 °C και 2000 °C (με βάση τους υπολογισμούς του Soret). Ο δίσκος είχε τοποθετηθεί σε τέτοια απόσταση από την συσκευή μέτρησης ώστε η στερεά γωνιά υπό την οποία παρατηρείται να είναι ίση με αυτήν του Ήλιου. Ο Στέφαν υπολόγισε ότι το ⅓ της ακτινοβολίας του Ήλιου απορροφάται από την ατμόσφαιρα της γης. Έτσι θεώρησε ότι η σωστή πυκνότητα ροής είναι 3/2 φορές μεγαλύτερη, δηλαδή 29 × 3/2 = 43,5.

Ακριβείς μετρήσεις της ατμοσφαιρικής απορρόφησης δεν είχαν γίνει μέχρι το 1888 και το 1904. Ο Στέφαν λοιπόν πήρε ως θερμοκρασία του δίσκου τον μέσο όρο των θερμοκρασιών που υπολόγισε ο Soret, δηλαδή 1950 °C, ή περίπου 2200 °K σε απόλυτη κλίμακα. Επειδή η τέταρτη ρίζα του 43,5 ισούται με 2,57, συμπεραίνουμε από τον νόμο ότι ο Ήλιος είναι 2,57 φορές θερμότερος από τον δίσκο. Έτσι ο Στέφαν κατέληξε πως η θερμοκρασία της επιφάνειας του Ήλιου είναι κοντά στους 5430 °C ή 5700°K (Η σύγχρονες μετρήσεις δίνουν 5780 °K). Αυτός ήταν ο πρώτος υπολογισμός της Θερμοκρασίας του Ήλιου που πλησίασε την πραγματικότητα. Προηγουμένως οι υπολογισμοί κυμαίνονταν από 1800 °C μέχρι και 13,000,000 °C. Ή πρώτη τιμή οφείλεται στον Claude Servais Mathias Pouillet που κατέληξε σ' αυτήν το 1838 χρησιμοποιώντας τον νόμο Dulong-Petit. Ο Pouilett επίσης υπολόγισε την μισή τιμή από την πραγματική πυκνότητα ενεργειακής ροής του Ήλιου.

Η θερμοκρασία των άστρων

Η θερμοκρασία ενός άλλου άστρου εκτός από τον Ήλιο μπορεί να υπολογιστεί προσεγγιστικά με παρόμοιο τρόπο αν θεωρήσουμε ότι το άστρο εκπέμπει σαν μέλαν σώμα:

$L=4\pi R^{2}\sigma T_{e}^{4}$

όπου L είναι η λαμπρότητα, σ είναι η σταθερά Στέφαν - Μπόλτζμαν, R είναι η ακτίνα του άστρου και T η θερμοκρασία που θα είχε ένα μέλαν σώμα της ίδιας λαμπρότητας και της ίδιας ακτίνας όπως το άστρο (effective temperature). Η ίδια σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσεγγιστικό υπολογισμό της ακτίνας ενός άστρου της κύριας ακολουθίας σε σχέση με τον Ήλιο:

${\frac {R}{R_{\bigodot }}}\approx \left({\frac {T_{\bigodot }}{T}}\right)^{2}\cdot {\sqrt {\frac {L}{L_{\bigodot }}}}$

όπου $R_{\bigodot }$, είναι η ηλιακή ακτίνα.

Με τον νόμο Στέφαν - Μπόλτζμαν, οι αστρονόμοι μπορούν εύκολα να συμπεράνουν την ακτίνα τον άστρων. Συναντούμε τον ίδιο νόμο στην θερμοδυναμική των μελανών οπών, κατά την εκπομπή της ακτινοβολίας Χόκινγκ

Η θερμοκρασία της Γης

Με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να υπολογίσουμε την θερμοκρασία της Γης T_E εξισώνοντας την ενέργεια που λαμβάνει από τον Ήλιο με την ενέργεια που ακτινοβολείται από την Γη:

$T_{E}\,$	$=T_{S}{\sqrt {r_{S} \over 2a_{0}}}\;$
	$=5780\;{\rm {K}}\times {\sqrt {696\times 10^{6}\;{\rm {m}} \over 2\times 149.59787066\times 10^{9}\;{\rm {m}}}}$
	$=278.776\;{\rm {K}}\;,$

όπου T_S η θερμοκρασία του Ήλιου, r_S η ακτίνα του Ήλιου και a₀ η αστρονομική μονάδα (το μισό του μέγιστου άξονα της έλλειψης που σχηματίζει η τροχιά της γης γύρω από τον Ήλιο), και δίνει 6 °C.

Η επιφάνεια του Ήλιου είναι 21 φορές μεγαλύτερη από αυτήν της Γης, επομένως εκπέμπει 190.000 φορές περισσότερη ενέργεια ανά τετραγωνικό μέτρο. Η απόσταση Γης - Ήλιου είναι 215 φορές η ακτίνα του Ήλιου, μειώνοντας την ενέργεια ανά τετραγωνικό μέτρο κατά ένα παράγοντα 46.000. Λαμβάνοντας υπόψη ότι η διατομή μιας σφαίρας είναι το 1/4 του εμβαδού της επιφάνειάς της, βλέπουμε ότι υπάρχει ισοδυναμία (342 W ανά m² εμβαδό επιφάνειας, 1,370 W ανά m² εμβαδό διατομής).

Αυτό εξηγεί χονδρικά γιατί η θερμοκρασία της Γης είναι T ~ 300 K. Η παραμικρή αλλαγή της απόστασης της Γης από τον Ήλιο μπορεί να αλλάξει την μέση θερμοκρασία της Γης.