Μοναδιαία πράξη

Στα μαθηματικά, μοναδιαία πράξη (ή μοναδιαίος τελεστής) είναι η πράξη (ή τελεστής) που έχουν μόνο ένα όρισμα (ή τελεσταίο). Αντιστοιχεί σε μια συνάρτηση με μία είσοδο,^[1] για παράδειγμα μία συνάρτηση της μορφής $f:X\to X$ για κάποιο σύνολο $X$ .

Συνήθως, οι μοναδιαίες πράξεις συμβολίζονται με σύμβολο πριν το όρισμα (π.χ. το $+$ , $-$ ή $\neg$ ), με σύμβολο μετά το όρισμα (π.χ. το παραγοντικό $n!$ ), με συμβολισμό ως συνάρτηση (π.χ. $\sin(x)$ , ή $\sin x$ ) ή με σύμβολο στον εκθέτη (π.χ. ο ανάστροφος $A^{T}$ ενός πίνακα). Στην περίπτωση ειδική περίπτωση της τετραγωνικής ρίζας, η πράξη συμβολίζεται με μία οριζόντια γραμμή πάνω από το όρισμα που επεκτείνεται για να καθορίσει το μέγεθος του ορίσματος, π.χ. ${\sqrt {x^{2}+1}}$ .

Παραδείγματα

Απόλυτη τιμή

Η απόλυτη τιμή στους πραγματικούς αριθμούς είναι μία μοναδιαία πράξη. Η συνάρτησή της ορίζεται ως

|x|={\begin{cases}x&{\text{αν }}x\geq 0,\\-x&{\text{αν }}x<0.\end{cases}}

Μοναδιαίο θετικό και αρνητικό

Οι μοναδιαίες πράξεις έχουν ένα μόνο όρισμα συνήθως αποτιμούνται πριν από κάθε άλλη πράξη. Για παράδειγμα, η μοναδιαία πράξη "αρνητικό":

3--2

.

Εδώ το πρώτο ' $-$ ' συμβολίζει την δυαδική πράξη της αφαίρεσης, ενώ το δεύτερο σύμβολο ' $-$ ' συμβολίζει τη μοναδιαία πράξη του αρνητικού, που εφαρμόζεται στο δύο. Η παραπάνω έκφραση γράφεται πιο καθαρά ως

3-(-2)=5

.

Θεωρητικά υπάρχει και ένα μοναδιαίο θετικό πρόσημο για το 3, αλλά δεν χρειάζεται, αφού όλες οι απρόσημες τιμές θεωρούνται θετικές

(+3)=3

Το μοναδιαίο θετικό πρόσημο δεν αλλάζει την τιμή ενός αρνητικού αριθμού

(+(-2))=(-2)

.

Για να αλλάξει το πρόσημο της τιμής, χρησιμοποιείται το αρνητικό πρόσημο

(-(-2))=(+2)

.

Συνάρτηση προσήμου

Η συνάρτηση προσήμου στους πραγματικούς αριθμούς είναι επίσης μοναδιαία πράξη. Η συνάρτηση ορίζεται ως

\mathrm {sgn} (x)={\begin{cases}1&{\text{αν }}x>0,\\0&{\text{αν }}x=0,\\-1&{\text{αν }}x<0.\end{cases}}

Λογάριθμος

Ο φυσικός λογάριθμος ( $\ln(x)$ ) στους πραγματικούς αριθμούς και ο απλός λογάριθμος ( $\log(x)$ ) στους πραγματικούς αριθμούς είναι μοναδιαίες πράξεις.

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις ( $\sin x$ , $\cos x$ , $\tan x$ , $\cot x$ , $\csc x$ , $\sec x$ ), και οι αντίστροφές τους στους πραγματικούς αριθμούς είναι μοναδιαίες πράξεις.

Λογική άρνηση

Στην μαθηματική λογική, η λογική πράξη της λογικής άρνησης σε λογικές τιμές είναι μοναδιαία. Ορίζεται ως εξής

\operatorname {not} (x)={\begin{cases}\mathrm {T} &{\text{αν }}x=\mathrm {F} ,\\\mathrm {F} &{\text{αν }}x=\mathrm {T} .\end{cases}}

Παραγοντικό

Το παραγοντικό ενός μη αρνητικού ακεραίου $n$ είναι η μοναδιαία πράξη $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot n$ .

Ύψωση σε δύναμη

Η ύψωση σε συγκεκριμένη ακέραια δύναμη (τετράγωνο, κύβος, κ.λπ.) στους πραγματικούς αριθμούς

Μοναδιαίοι τελεστές στις γλώσσες προγραμματισμού

Οι περισσότερες γλώσσες προγραμματισμού έχουν μοναδιαίους τελεστές. Κάποιοι από τους πιο κοινούς δίνονται παρακάτω.

Τελεστής	Σύμβολο	Περιγραφή	Παράδειγμα
Αύξηση κατά 1	`++`	Αυξάνει την τιμή της μεταβλητής κατά 1	x = 2; ++x; // x γίνεται 3
Μείωση κατά 1	`−-`	Μειώνει την τιμή της μεταβλητής κατά 1	`y = 10; --y; // y γίνεται 9`
Μοναδιαίο συν	+	Δίνει θετικό πρόσιμο σε μία τιμή	a = -5; b = +a; // το b είναι -5
Μοναδιαίο πλην	`-`	Δίνει αρνητικό πρόσιμο σε μία τιμή	`c = 4; d = -c; // το d είναι -4`
Λογική άρνηση	`!`	Negates the truth value of a Boolean expression	`flag = true; result = !flag; // το result είναι false`
Bitwise άρνηση	`~`	Bitwise άρνηση, αλλάζει όλα τα bit ενός αριθμού	`num = 5; result = ~num; // το result είναι -6`

Σχέση με δυαδικές πράξεις

Στην θεωρία συνόλων, οι δυαδικές πράξεις είναι συναρτήσεις της μορφής $f:A\times B\to C$ , δηλαδή ειδική περίπτωση των μοναδιαίων πράξεων όπου το πρώτο σύνολο είναι ένα καρτεσιανό γινόμενο (το $A\times B$ ), καθώς $f:(A\times B)\to C$ .^[2]

Δείτε επίσης

Παραπομπές

↑ Δουκάκης, Σπυρίδων· Δουληγέρης, Χρήστος· Καρβουνίδης, Θεόδωρος· Κοίλιας, Χρήστος· Πέρδος, Αθανάσιος (2014). Εισαγωγή στις Αρχές της Επιστήμης των Η/Υ (Β Λυκείου). Διόφαντος.
↑ Devlin, Keith J. The joy of sets: fundamentals of contemporary set theory: with 11 illustrations (2η έκδοση). New York, NY: Springer. σελ. 13. ISBN 978-1-4612-6941-0. [..]a set-theorist is a person for whom all functions are unary

[1] Δουκάκης, Σπυρίδων· Δουληγέρης, Χρήστος· Καρβουνίδης, Θεόδωρος· Κοίλιας, Χρήστος· Πέρδος, Αθανάσιος (2014). Εισαγωγή στις Αρχές της Επιστήμης των Η/Υ (Β Λυκείου). Διόφαντος.

[2] Devlin, Keith J. The joy of sets: fundamentals of contemporary set theory: with 11 illustrations (2η έκδοση). New York, NY: Springer. σελ. 13. ISBN 978-1-4612-6941-0. [..]a set-theorist is a person for whom all functions are unary

[1]

[2]