Μεσοκάθετη ευθύγραμμου τμήματος
Στην ευκλείδεια γεωμετρία, η μεσοκάθετη ευθεία ή απλά μεσοκάθετη (ή αλλιώς μεσοκάθετος) ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι μια ευθεία που διέρχεται από το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος και είναι κάθετη σε αυτό.[1]:40[2]:70-72
Η μεσοκάθετη ως γεωμετρικός τόπος
ΕπεξεργασίαΘεώρημα — Η μεσοκάθετη ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος.
Απόδειξη |
Έστω ένα ευθύγραμμο τμήμα. Θα δείξουμε πρώτα ότι κάθε σημείο της μεσοκαθέτου του ισαπέχει από τα και . Έπειτα θα δείξουμε ότι κάθε σημείο του επιπέδου που ισαπέχει από τα και ανήκει στην μεσοκάθετο. ( ) Έστω ένα σημείο της μεσοκαθέτου του. Τα ορθογώνια τρίγωνα και είναι ίσα από το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς, καθώς η είναι κοινή, (διότι το μέσο του ) και . Συνεπώς θα είναι . ( ) Αντίστροφα, έστω ένα σημείο του επιπέδου τέτοιο ώστε και η προβολή του στο . Τότε, τα τρίγωνα και είναι ίσα ως ορθογώνια με μία κοινή κάθετη πλευρά (την ) και ίση υποτείνουσα ( ). Επομένως, έχουμε ότι , δηλαδή το είναι το μέσο του και το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα ανήκει στην μεσοκάθετο. |
Αναλυτική γεωμετρία
ΕπεξεργασίαΈστω και δύο σημεία του επιπέδου. Τότε η εξίσωση της ευθείας της μεσοκαθέτου δίνεται από τον τύπο
- ,
καθώς η ευθεία διέρχεται από το το μέσο του και έχει κλίση
ως κάθετη στο .
Γεωμετρική κατασκευή
Επεξεργασία- Με τον διαβήτη χαράζουμε δύο κύκλους με κέντρα τα και και ακτίνα .
- Βρίσκουμε τα σημεία τομής και των δύο κύκλων.
- Η ευθεία που ενώνει τα και είναι η μεσοκάθετος του .
Μεσοκάθετοι τριγώνου
ΕπεξεργασίαΘεώρημα — Οι μεσοκάθετοι των τριών πλευρών ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου και ονομάζεται περίκεντρο.
Απόδειξη |
Έστω η τομή των μεσοκαθέτων των πλευρών και . Τότε από την ιδιότητα των σημείων της μεσοκαθέτου που ισαπέχουν από τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος, έχουμε ότι
Άρα το ισαπέχει και από το σημείο . Συνεπώς, ανήκει στην μεσοκάθετο του . Καταλήγουμε ότι οι μεσοκάθετοι των , και συντρέχουν στο . |