Λαγκρανζιανή μηχανική

Η Λαγκρανζιανή μηχανική αποτελεί έναν από τους δύο θεμελιώδεις φορμαλισμούς της Αναλυτικής δυναμικής μαζί με την Χαμιλτονιανή μηχανική. Η διατύπωση της έγινε από τον Γάλλο Μαθηματικό Ζοζέφ Λαγκράνζ την περίοδο 1783 - 88, και αναπόσπαστο κομμάτι της είναι η κατανόηση της αρχής ελάχιστης δράσης που διέπει την εξέλιξη ενός μηχανικού συστήματος, που μπορεί να έχει πεπερασμένους ή άπειρους βαθμούς ελευθερίας. Σε αντίθεση με τη διανυσματική μηχανική που θεμελιώθηκε από το Νεύτωνα και διατυπώθηκε σε διανυσματική γλώσσα από τον Τζοσάια Γουίλαρντ Γκιμπς, γεωμετρική και μηχανική εποπτεία απαιτείται μόνο για την εύρεση και ορθή διατύπωση των βαθμών ελευθερίας του συστήματος, ενώ στη συνέχεια η εργασία είναι σε ένα πρώτο επίπεδο κατ' εξοχήν αναλυτική. Μάλιστα ο ίδιος ο Λαγκράνζ στο έργο του Traité de Μécanique Αnalytique αναφέρει ότι:

Δε θα βρει κάποιος σχήματα σε αυτό το έργο. Οι μέθοδοι που αναπτύσσω δεν απαιτούν καμία κατασκευή, γεωμετρική ή μηχανική, παρά μόνον αλγεβρικές πράξεις που υπόκεινται σε μία ομαλή και ομοιόμορφη τέλεση.

Βεβαίως όλα αυτά σε ένα πρώτο επίπεδο, καθώς ακόμη δεν είχε δημιουργηθεί ο λογισμός των μεταβολών. Αυτό το πεδίο των μαθηματικών με τη σειρά του αποκρυσταλλώθηκε μισό αιώνα αργότερα (1832) με τα άρθρα "Theory of Systems of Rays" και "On a General Method in Dynamics" του Γουίλιαμ Ρόουαν Χάμιλτον κατά την εργασία του στη γεωμετρική οπτική που γέννησε τη Χαμιλτονιανή Μηχανική.

Γενική τοποθέτηση του φορμαλισμού

Βαθμοί ελευθερίας ενός συστήματος ορίζονται οι ανεξάρτητες παράμετροι που απαιτούνται για να καθορίσουν τη θέση ενός συστήματος υλικών σημείων. Η κίνηση του συστήματος μπορεί να περιορίζεται εξαιτίας δεσμών, οι οποίοι ονομάζονται ολόνομοι και οποίοι περιοριζούν τους βαθμούς ελευθερίας κατά το πλήθος των δεσμών.

Παραδείγματα ανεξάρτητων παραμέτρων (βαθμών ελευθερίας):

1. Η γωνία απόκλισης ενός εκκρεμούς από τη θέση ισορροπίας του.
2. Το μήκος του τόξου που διανύει ένα σωματίδιου πάνω σε μία σφαίρα, καθώς έλκεται από ένα έλασμα καρφωμένο στο βόρειο πόλο της σφαίρας.
3. Το πλάτος μίας συχνότητας στο ανάπτυγμα Fourier ενός συνεχούς πεδίου σε συμπαγές υποσύνολο του τρισδιάστατου χώρου (π.χ. το πεδίο θερμοκρασίας ή το πεδίο μετατοπίσεων κατά τον ένα άξονα σε ένα ελαστικό μέσο)

Πολλές φορές θεωρούμε ότι όλες οι αρχικές, και τις περισσότερες φορές άβολες, μεταβλητές που περιγράφουν το σύστημα μπορούν να λαμβάνουν τιμές σε ολόκληρο τον άξονα των πραγματικών αριθμών. Π.χ. σε ένα σύστημα που αποτελείται από n υλικά σημεία χρησιμοποιούνται $3n$ μεταβλητές για τη εύρεση της θέσης τους κάθε στιγμή (3 χωρικές συντεταγμένες για κάθε σωμάτιο). Στην περίπτωση, όμως, που το σημείο 1 κινούνταν πάνω σε μία σφαίρα με κέντρο $(x_{0},y_{0},z_{0})\,$ και ακτίνα $R\,$, τότε θα έπρεπε να ισχύει κάθε στιγμή για τις συντεταγμένες του η εξίσωση:

$f(x_{1},y_{1},z_{1})=(x_{1}-x_{0})^{2}+(y_{1}-y_{0})^{2}+(z_{1}-z_{0})^{2}=R^{2}\,$

ή

${\tilde {f}}(x_{1},y_{1},z_{1})=(x_{1}-x_{0})^{2}+(y_{1}-y_{0})^{2}+(z_{1}-z_{0})^{2}-R^{2}=0$.

Σε αυτή την περίπτωση οι βαθμοί ελευθερίας του συστήματος είναι $3n-1$, καθώς το σημείο 1 κινείται επί μίας διδιάστατης επιφάνειας. Έχουμε δεσμεύσει έναν εκ των αρχικών μεταβλητών. Η παραπάνω εξίσωση ονομάζεται σύνδεσμος ή δεσμός του συστήματος.

Υποθέτουμε ότι η κατάσταση του συστήματος περιγράφεται (ίσως και υπερορισμένα) από το διάνυσμα $x=(x_{i})_{i=1}^{n}\in \mathbb {R} ^{m}$. Οι σύνδεσμοι διακρίνονται στους εξής:

1. Ολόνομος: $f:\mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,~~f(x,t)=0$, όπου η μεταβλητή $t$ συμβολίζει το χρόνο.
2. Ανολόνομος: $\omega _{t}\in T^{*}\mathbb {R} ^{n},~~\omega _{t}(x)=0,~~\forall t\in \mathbb {R}$ όπου η διαφορική 1-μορφή δεν είναι κατ' ανάγκη ολοκληρώσιμη.
3. Ρεόνομος: Η $f$ ή η οικογένεια $(\omega _{t})_{t\in \mathbb {R} }$ εξαρτάται ρητά από το χρόνο.
4. Σκληρόνομος: Η $f$ ή η οικογένεια $(\omega _{t})_{t\in \mathbb {R} }$ δεν εξαρτάται ρητά από το χρόνο.

Εάν ο σύνδεσμος (και μαζί και η αντίστοιχη συνάρτηση) είναι ολόνομος και διαφορίσιμος, τότε περιορίζει την κίνηση του συστήματος πάνω σε μία υποπολλαπλότητα του $\mathbb {R} ^{m}$ σε κάθε χρονική στιγμή. Μάλιστα, εάν το διαφορικό του συνδέσμου είναι μέγιστης τάξης σε κάθε σημείο (στη συγκεκριμένη περίπτωση δεν μηδενίζεται ως διάνυσμα), τότε η υποπολλαπλότητα είναι διαφορίσιμη και σταθερής διάστασης $m-1$ από το θεώρημα πεπλεγμένων συναρτήσεων. Στην περίπτωση ενός ολόνομου συνδέσμου η πολλαπλότητα μπορεί να είναι ένα υποσύνολο του χώρου διάστασης όσο αυτός ή ένα αρκετά μη ομαλό υποσύνολό του.

Οπότε ο σύνδεσμος:

${\tilde {f}}(x_{1},y_{1},z_{1})=0$

είναι ολόνομος και σκληρόνομος.

Γενικά, εάν επιβάλλονται στο σύστημα $k$ σύνδεσμοι $f=(f_{i})_{i=1}^{k}$ τέτοιοι, ώστε η απεικόνιση $f:\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{k}$ να είναι μέγιστης τάξης σε κάθε σημείο, η κίνηση του συστήματος περιορίζεται σε μία διαφορίσιμη πολλαπλότητα $M$ διάστασης $n=m-k$ κάθε στιγμή. Οι βαθμοί ελευθερίας είναι $n=m-k$.

Εσωτερικοί σύνδεσμοι

• Λαγκρανζιανή συνάρτηση
• Αρχή του Χάμιλτον