Συμμετρία ως προς σημείο

Στην γεωμετρία, ένα σημείο ${\rm {A}}$ είναι συμμετρικό του σημείου ${\rm {A'}}$ ως προς το σημείο ${\rm {O}}$, αν το ${\rm {O}}$ είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ${\rm {AA'}}$. Το σημείο ${\rm {O}}$ λέγεται το κέντρο συμμετρίας τους.

Το σημείο ${\rm {A'}}$ είναι συμμετρικό του ${\rm {A'}}$ ως προς το σημείο ${\rm {O}}$.

Το τρίγωνο ${\rm {A'B'\Gamma '}}$ είναι συμμετρικό του ${\rm {AB\Gamma }}$ ως προς το σημείο ${\rm {O}}$.

Δύο γεωμετρικά σχήματα $\Sigma$ και $\Sigma '$ λέγονται συμμετρικά ως προς το σημείο ${\rm {O}}$, αν για κάθε σημείο ${\rm {A}}$ του $\Sigma$ το συμμετρικό του ανήκει στο $\Sigma '$ και αντίστροφα.

Κέντρο συμμετρίας

Κέντρο συμμετρίας ενός σχήματος $\Sigma$ ονομάζεται ένα σημείο ${\rm {O}}$ για το οποίο το $\Sigma$ είναι συμμετρικό του εαυτού του ως προς το ${\rm {O}}$.

Παραδείγματα

• Το κέντρο ενός κύκλου είναι κέντρο συμμετρίας του.
• Το κέντρο μίας έλλειψης είναι κέντρο συμμετρίας της.
• Το σημείο τομής των διαγωνίων ενός ορθογωνίου είναι κέντρο συμμετρίας του.
• Το μέσο ενός ευθυγράμμου τμήματος είναι κέντρο συμμετρίας του.
• Το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου ενός κανονικού εξαγώνου είναι κέντρο συμμετρίας του.
• Η γραφική παράσταση μίας περιττής συνάρτησης έχει ως κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων.

Η τομή των διαγωνίων ενός ορθογωνίου είναι κέντρο συμμετρίας του.

Μία έλλειψη και το κέντρο συμμετρίας της.

Ένα κανονικό εξάγωνο και το κέντρο συμμετρίας του.

Η ημερομηνία 9.10.2016 έχει κέντρο συμμετρίας.

Ο ρήγας έχει κέντρο συμμετρίας.

Ιδιότητες

• Δύο σχήματα συμμετρικά ως προς το κέντρο συμμετρίας είναι ίσα.
• Ένα σχήμα με δύο άξονες συμμετρίας κάθετους μεταξύ τους έχει και κέντρο συμμετρίας, την τομή αυτών των αξόνων.

Αναλυτική γεωμετρία

Έστω ${\rm {P}}=({\rm {P}}_{x},{\rm {P}}_{y})$ και ${\rm {O}}=({\rm {O}}_{x},{\rm {O}}_{y})$ δύο σημεία του επιπέδου. Το συμμετρικό ${\rm {P'}}$ του ${\rm {P}}$ ως προς το ${\rm {O}}$ δίνεται από την εξίσωση

${\vec {\rm {P'}}}={\vec {\rm {P}}}-2\cdot ({\vec {\rm {P}}}-{\vec {\rm {O}}})=2\cdot {\vec {\rm {O}}}-{\vec {\rm {P}}}$.

Δηλαδή, οι συντεταγμένες του σημείου δίνονται από

${\begin{pmatrix}{\rm {P'}}_{x}\\{\rm {P'}}_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2{\rm {O}}_{x}-{\rm {P}}_{x}\\2{\rm {O}}_{y}-{\rm {P}}_{y}\end{pmatrix}}$.

Δείτε επίσης

• Συμμετρία ως προς άξονα
• Αντιδιαμετρικό σημείο