Αρμονικός ταλαντωτής (κβαντική μηχανική)

Ο κβαντικός αρμονικός ταλαντωτής (ΚΑΤ) είναι το κβαντικό ανάλογο του μονοδιάστατου αρμονικού ταλαντωτή της κλασικής μηχανικής. Ο ΚΑΤ έχει μεγάλη σημασία στην κβαντομηχανική, καθώς αποτελεί πρότυπο μοντέλο ακριβώς επιλύσιμου συστήματος.

Χαμιλτoνιανή

Η Χαμιλτονιανή του ΚΑΤ αποτελείται από τον μη-σχετικιστικό όρο της κινητικής ενέργειας, καθώς επίσης και από έναν όρο δυναμικής ενέργειας που οφείλεται στη φύση της δύναμης επαναφοράς που ασκείται στο σωματίδιο (εν προκειμένω ο νόμος του Χουκ). Μαθηματικά,

$H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}$

όπου m η μάζα του σωματιδίου και ω η κυκλική συχνότητα ταλάντωσης. Η παραπάνω έκφραση ταυτίζεται με την ενέργεια του κλασικού αρμονικού ταλαντωτή, με k=mω² τη λεγόμενη σταθερά του ελατηρίου.

Ιδιοσυναρτήσεις-ιδιοτιμές Χαμιλτονιανής

Οι πρώτες 4 ιδιοσυναρτήσεις (n=0,1,2,3) του αρμονικού ταλαντωτή στο σύστημα μονάδων ħ=m=ω=1 (δείτε παρακάτω σχετική θεματική ενότητα). Τα χρώματα κόκκινο, πράσινο, μπλε και κίτρινο αντιστοιχούν στις ιδιοσυναρτήσεις n=0, n=1, n=2 και n=3 αντίστοιχα.

Η επίλυση της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Σρέντιγκερ για τον ΚΑΤ δίνει τις παρακάτω (κανονικοποιημένες) ιδιοσυναρτήσεις:

$\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}{\sqrt {\pi }}n!}}}\left({\frac {m\omega }{\hbar }}\right)^{1/4}e^{-{\frac {m\omega }{\hbar }}{\frac {x^{2}}{2}}}H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right),\ \ \ n=0,1,2,...$

όπου Η_n τα πολυώνυμα Ερμίτ που δίνονται από τον τύπο του Ροντρίγκες:

$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {{\textrm {d}}^{n}}{{\textrm {d}}x^{n}}}\left(e^{-x^{2}}\right)$

Το ενεργειακό φάσμα του ΚΑΤ, όπως προκύπτει από την επίλυση της εξίσωσης Σρέντιγκερ, είναι διακριτό με ενεργειακές στάθμες που ισαπέχουν κατά ħω μεταξύ τους. Μαθηματικά δε, οι ιδιοτιμές της Χαμιλτονιανής του ΚΑΤ περιγράφονται από τον τύπο:

$E_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega ,\ \ \ n=0,1,2,...$

Το αποτέλεσμα αυτό είναι προϊόν της υψηλής συμμετρίας που παρουσιάζει η Χαμιλτονιανή του ΚΑΤ. Το γεγονός ότι η κατάσταση ελάχιστης ενέργειας του ΚΑΤ είναι διάφορη του μηδενός (ενέργεια μηδενικού σημείου) είναι άμεσο αποτέλεσμα της αρχής της απροσδιοριστίας του Χάιζενμπεργκ, ενώ παράλληλα βρίσκεται σε πλήρη συμφωνία με το κλασικό όριο (ħ→0) για τη θεμελιώδη στάθμη, στο οποίο η ενέργεια του σωματιδίου μηδενίζεται (το σωματίδιο ηρεμεί στον «πυθμένα» του πηγαδιού).

Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται συνοπτικά οι πρώτες 5 κανονικοποιημένες ιδιοσυναρτήσεις του ΚΑΤ, μαζί με τις αντίστοιχες ιδιοτιμές της ενέργειας, τους αριθμούς των κόμβων που παρουσιάζει κάθε ιδιοσυνάρτηση και την αντίστοιχη τιμή της ισοτιμίας.

Κβαντικός αριθμός n	Ιδιοσυνάρτηση ψn (ħ=m=ω=1)	Ιδιοτιμή En	Αριθμός κόμβων	Ισοτιμία
0	$\psi _{0}(x)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{\pi }}}\,e^{-x^{2}/2}$	$E_{0}={\frac {1}{2}}\hbar \omega$	0	+1
1	$\psi _{1}(x)={\sqrt[{4}]{\frac {4}{\pi }}}\,xe^{-x^{2}/2}$	$E_{1}={\frac {3}{2}}\hbar \omega$	1	-1
2	$\psi _{2}(x)={\frac {1}{{\sqrt {2}}{\sqrt[{4}]{\pi }}}}\,(2x^{2}-1)e^{-x^{2}/2}$	$E_{2}={\frac {5}{2}}\hbar \omega$	2	+1
3	$\psi _{3}(x)={\frac {1}{{\sqrt {3}}{\sqrt[{4}]{\pi }}}}\,(2x^{3}-3x)e^{-x^{2}/2}$	$E_{3}={\frac {7}{2}}\hbar \omega$	3	-1
4	$\psi _{4}(x)={\frac {1}{2{\sqrt {6}}{\sqrt[{4}]{\pi }}}}\,(4x^{4}-12x^{2}+3)e^{-x^{2}/2}$	$E_{4}={\frac {9}{2}}\hbar \omega$	4	+1

Αρχή της απροσδιοριστίας στον ΚΑΤ

Η μέση ενέργεια, <Ε>, λόγω αρχής της απροσδιοριστίας ενός σωματιδίου υπό την επίδραση αρμονικού δυναμικού που είναι εγκλωβισμένο σε περιοχή μήκους a, συναρτήσει της παραμέτρου a. Ο προσδιορισμός της κατάστασης ελάχιστης ενέργειας του ταλαντωτή αντιστοιχεί στην ελαχιστοποίηση της μέσης ενέργειας ως προς την παράμετρο a. Στο φυσικό σύστημα μονάδων του ταλαντωτή (ħ=m=ω=1), η τιμή της παραμέτρου a που ελαχιστοποιεί την ενέργεια ισούται με 1.

Ο προσδιορισμός της ενέργειας της θεμελιώδους στάθμης του ΚΑΤ είναι δυνατόν να πραγματοποιηθεί βάσει της αρχής της απροσδιοριστίας θέσης-ορμής. Συγκεκριμένα, υποθέτοντας ότι η απροσδιοριστία στη θέση του σωματιδίου είναι κάποια ελεύθερη παράμετρος a (η οποία θα προσδιορισθεί αργότερα), τότε η απροσδιοριστία στην ορμή του σωματιδίου θα είναι της τάξης του

$(\Delta x)(\Delta p)\sim \hbar \ {\xrightarrow {\Delta x=a}}\ \Delta p\sim {\frac {\hbar }{a}}$

Η μέση ενέργεια του ΚΑΤ ισούται με τη μέση τιμή της Χαμιλτονιανής αυτού, δηλαδή

$\langle E\rangle =\langle H\rangle ={\frac {\langle p^{2}\rangle }{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\langle x^{2}\rangle$

Λόγω της συμμετρίας του δυναμικού του ταλαντωτή, είναι αναμενόμενο ότι η μέση της θέσης και της ορμής του σωματιδίου στη θεμελιώδη κατάσταση είναι μηδέν. Συνεπώς, τα τετράγωνα των μέσων τιμών της ορμής και της θέσης στην προηγούμενη σχέση μπορούν να αντικατασταθούν με τις αντίστοιχες απροσδιοριστίες:

$\langle E\rangle ={\frac {(\Delta p)^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}(\Delta x)^{2}\sim {\frac {\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}a^{2}$

Ο προσδιορισμός της ελάχιστης ενέργειας του ΚΑΤ μπορεί να γίνει μέσω της ελαχιστοποίησης της μέσης ενέργειας ως προς τη μεταβλητή a. Επιλύοντας το πρόβλημα ελαχιστοποίησης βρίσκουμε ότι

${\begin{aligned}\langle E\rangle _{\textrm {min}}=\langle E\rangle (a={\sqrt {\hbar /m\omega }})=\hbar \omega \ ,\end{aligned}}$

που ταυτίζεται με το διπλάσιο της ενέργειας θεμελιώδους στάθμης του ΚΑΤ. Εν γένει, η παραπάνω μέθοδος ελαχιστοποίησης μπορεί να μας δώσει την έκφραση της ελάχιστης ενέργειας ενός απλού συστήματος γνωστής Χαμιλτονιανής με απροσδιοριστία μίας σταθεράς (εν προκειμένω έναν παράγοντα 1/2).

Επίλυση της εξίσωσης Σρέντιγκερ

Για τον πλήρη προσδιορισμό των ιδιοσυναρτήσεων και ιδιοτιμών της Χαμιλτονιανής του ΚΑΤ πρέπει να λυθεί η χρονοανεξάρτητη εξίσωση Σρέντιγκερ με τις παρακάτω συνοριακές συνθήκες:

• Η κυματοσυνάρτηση του σωματιδίου οφείλει να μηδενίζεται στο άπειρο
• Η κυματοσυνάρτηση του σωματιδίου οφείλει να είναι συνεχής στο διάστημα στο οποίο ορίζεται

Το πρόβλημα του ΚΑΤ είναι μονοδιάστατο, με τη μεταβλητή x να παίρνει τιμές από το -∞ έως το +∞. Στον χώρο των θέσεων, η εξίσωση Σρέντιγκερ μετατρέπεται σε μία ομογενή δευτεροτάξια διαφορική εξίσωση με μη σταθερούς συντελεστές:

$\psi ''(x)+{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\psi (x)=0$

όπου ο τόνος δηλώνει παραγώγιση ως προς τη μεταβλητή x. Το πρόβλημα απλοποιείται εξαιρετικά αν επιλέξουμε ως σύστημα μονάδων εκείνο στο οποίο ħ=m=ω=1. Στο σύστημα αυτό, η προηγούμενη εξίσωση παίρνει την παρακάτω απλουστευμένη μορφή:

$\psi ''(x)+(2E-x^{2})\psi (x)=0\ \ \$

Η παραπάνω διαφορική εξίσωση λύνεται με τη μέθοδο των δυναμοσειρών. Η λύση της διαφορικής εξίσωσης σε συνδυασμό με τις προαναφερθείσες συνοριακές συνθήκες προσδιορίζουν τόσο τις ιδιοτιμές, όσο και τις ιδιοσυναρτήσεις της Χαμιλτονιανής του ΚΑΤ. Στο φυσικό σύστημα μονάδων ħ=m=ω=1 του ταλαντωτή,

$E_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega ,\ \ \ n=0,1,2,...$

$\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}{\sqrt {\pi }}n!}}}\ e^{-x^{2}/2}H_{n}(x),\ \ \ n=0,1,2,...$

Η επαναφορά των διαστάσεων καταλήγει στις εκφράσεις των ιδιοτιμών και ιδιοσυναρτήσεων της Χαμιλτονιανής που δόθηκαν αρχικά. (Για περισσότερες πληροφορίες όσον αφορά την αποκατάσταση των διαστάσεων, δείτε το βιβλίο του Σ. Τραχανά Κβαντομηχανική Ι, σελίδες 293-295.)

Το σύστημα μονάδων ħ=m=ω=1

Εν γένει, σε πολλά κβαντομηχανικά προβλήματα η επιλογή ενός κατάλληλου συστήματος μονάδων συχνά διευκολύνει σημαντικά τον υπολογιστικό χειρισμό διαφόρων εκφράσεων που εμφανίζονται σε αυτά. Εν προκειμένω, η επιλογή των σταθερών ħ, m και ω ως βασικού συστήματος μονάδων (ħ=m=ω=1) ορίζουν το λεγόμενο φυσικό σύστημα μονάδων του ΚΑΤ.

Στο παραπάνω σύστημα απλοποιούνται εξαιρετικά οι διάφορες εκφράσεις που εμφανίζονται στο πρόβλημα. Αν κατά τον υπολογισμό μίας ποσότητας (π.χ. ενέργεια, ορμή, θέση κτλ.) στο σύστημα αυτό επιθυμείται η επαναφορά των διαστάσεων, τότε η ποσότητα αυτή πολλαπλασιάζεται με τον μοναδικό εκείνο συνδυασμό των σταθερών ħ, m και ω που έχει τις διαστάσεις της εκάστοτε φυσικής ποσότητας.

Ο ακόλουθος πίνακας περιέχει τις μονάδες μέτρησης στο σύστημα ħ=m=ω=1 για διάφορα φυσικά μεγέθη.

Φυσικό μέγεθος	Μονάδα μέτρησης στο σύστημα ħ=m=ω=1
Μήκος	${\sqrt {\hbar /{m\omega }}}$
Μάζα	$m\ \ \$
Χρόνος	$1/\omega \ \ \$
Δύναμη	${\sqrt {m\hbar \omega ^{3}}}$
Ορμή	${\sqrt {m\hbar \omega }}$
Στροφορμή	$\hbar$
Ενέργεια	$\hbar \omega$

Η μέθοδος των τελεστών κλίμακας

Λόγω της υψηλής συμμετρίας της Χαμιλτονιανής του ΚΑΤ, είναι δυνατόν να προσδιοριστούν πλήρως οι ιδιοσυναρτήσεις και ιδιοτιμές του προβλήματος μέσω της μεθόδου που είναι γνωστή ως μέθοδος των τελεστών κλίμακας (ή τελεστές δημιουργίας-καταστροφής). Η μέθοδος βασίζεται στην παρατήρηση ότι οι τελεστές (στο σύστημα μονάδων ħ=m=ω=1)

$a={\frac {x+ip}{\sqrt {2}}},\ a^{\dagger }={\frac {x-ip}{\sqrt {2}}}$

σχετίζονται άμεσα με την Χαμιλτονιανή του συστήματος ως ακολούθως:

$H=a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}\ \ \$

Βασικές ιδιότητες των τελεστών κλίμακας
$[a,a^{\dagger }]=1$ $[H,a]=-a\ \ \$ $[H,a^{\dagger }]=+a$ $a\ |n\rangle ={\sqrt {n}}\ |n-1\rangle$ $a^{\dagger }\ |n+1\rangle ={\sqrt {n+1}}\ |n+1\rangle$

Η κύρια (εκ κατασκευής) ιδιότητα των τελεστών a και a^† είναι αντίστοιχα ότι «κατεβάζουν» και «ανεβάζουν» μία τυχαία ιδιοκατάσταση |n> του ΚΑΤ κατά 1. Οι ιδιότητες αυτές είναι σε θέση να προσδιορίσουν πλήρως όλες τις ιδιοκαταστάσεις |n> του ΚΑΤ, καθώς επίσης και το ενεργειακό φάσμα αυτού. Συγκεκριμένα, η θεμελιώδης κατάσταση του ΚΑΤ προσδιορίζεται από τη σχέση

$a\,|0\rangle =0\,$

η οποία προκύπτει από το γεγονός ότι ο τελεστής a δεν μπορεί να κατεβάσει την θεμελιώδη κατάσταση |0>. Γνωρίζοντας την θεμελιώδη κατάσταση, ο υπολογισμός της n-οστής κατάστασης ανάγεται στον υπολογισμό της δράσης του τελεστή a^† n φορές πάνω στη θεμελιώδη. Μαθηματικά,

$|n\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n!}}}\,(a^{\dagger })^{n}|0\rangle$

Η μέθοδος των τελεστών κλίμακας είναι γενικά προτιμότερη από την απ' ευθείας επίλυση της εξίσωσης Σρέντιγκερ, καθώς είναι υπολογιστικά ταχύτερη και ευκολότερη.

Το ενεργειακό φάσμα δε του ΚΑΤ προσδιορίζεται από την χρονοανεξάρτητη εξίσωση Σρέντιγκερ αντικαθιστώντας τον τελεστή της Χαμιλτονιανής με την αντίστοιχη ισοδύναμη έκφραση που περιέχει τους τελεστές a, a^†.

Βάσει του ορισμού τους, οι εν λόγω τελεστές δεν είναι ερμιτιανοί, συνεπώς δεν αντιπροσωπεύουν μετρούμενες ποσότητες όπως οι τελεστές ενέργειας, ορμής κτλ. Επίσης, δεν είναι δυνατόν να κατασκευασθούν τελεστές κλίμακας για κάθε Χαμιλτονιανή. Η κατασκευή τέτοιων τελεστών είναι δυνατή μόνο εφόσον υπάρχει τελεστής Α τέτοιος ώστε

$[H,A]=\xi A\ \ \$

όπου ξ θετική ή αρνητική σταθερά. Σε αυτή τη περίπτωση, μπορούν να οριτούν δύο τελεστές Α και Α^† με την ιδιότητα να «ανεβάζουν» ή να «κατεβάζουν» μία τυχαία ιδιοκατάσταση |n> του συστήματος κατά ξ. Εν προκειμένω, οι τελεστές a και a^† έχουν την ιδιότητα

$[H,a]=-a,\ [H,a^{\dagger }]=+a$

που σημαίνει ότι ο τελεστής a «κατεβάζει» την τυχούσα ιδιοκατάσταση της Χαμιλτονιανής κατά 1 μονάδα (ξ=-1), ενώ αντίστοιχα ο τελεστής a^† την «ανεβάζει» κατά 1 μονάδα (ξ=+1).

Ο «διαταραγμένος» ΚΑΤ

Ο ΚΑΤ αποτελεί μία γενική περίπτωση προσέγγισης τυχαίου μονοδιάστατου δυναμικού V(x) στη γειτονιά ενός σημείου ισορροπίας. Αν το σωματίδιο που κινείται υπό την επίδραση του αρμονικού δυναμικού (1/2)kx² έχει αρκετή ενέργεια ώστε να μπορεί να κινηθεί επαρκώς μακριά από το σημείο ισορροπίας του δυναμικού, τότε η προσέγγιση του αρμονικού δυναμικού καταρρέει και οι συνεισφορές όρων της τάξης του x³, x⁴ κοκ. γίνονται σημαντικές.

Προσθήκη διαταρακτικού όρου ~x³

Από μαθηματικής σκοπιάς, το ζητούμενο του προβλήματος είναι ο υπολογισμός των ιδιοσυναρτήσεων και ιδιοτιμών του προβλήματος του ΚΑΤ με την προσθήκη ενός κυβικού όρου στο δυναμικό. Το πρόβλημα αυτό είναι αδύνατον να λυθεί αναλυτικά, αν και υπάρχουν ποικίλες υπολογιστικές τεχνικές που μπορούν να υπολογίσουν τις διάφορες ποσότητες που μας ενδιαφέρουν με μεγάλη ακρίβεια.

Παρόλα αυτά, υπάρχουν προσεγγιστικές μέθοδοι που επιτρέπουν τον υπολογισμό των ιδιοτιμών και ιδιοσυναρτήσεων του προβλήματος. Σύμφωνα με την θεωρία διαταραχών, αν ο πρόσθετος όρος στο δυναμικό είναι της μορφής λx³ όπου λ μία μικρή σταθερά, τότε είναι δυνατόν να υπολογίσει κανείς τις διορθώσεις στις οποίες υπόκεινται οι ιδιοσυναρτήσεις και ιδιοτιμές του «αδιατάρακτου» (ακριβώς επιλύσιμου) προβλήματος.

Η Χαμιλτονιανή μαζί με τον διαταρακτικό όρο έχει τη μορφή

$H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}+\lambda x^{3}$

Βάσει της θεωρίας διαταραχών, η ολική διόρθωση στις ιδιοτιμές της ενέργειας μέχρι και την δεύτερη τάξη διόρθωσης είναι:

$E_{n}=E_{n}^{(0)}+E_{n}^{(1)}+E_{n}^{(2)}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega -{\frac {\hbar ^{2}\lambda ^{2}}{15m^{3}\omega ^{4}}}\left(n^{2}+n+{\frac {11}{30}}\right),\ \ \ n=0,1,2,...$

Η προσθήκη λοιπόν του κυβικού όρου ως διαταραχή στον ΚΑΤ έχει ως αποτέλεσμα την μείωση της ενέργειας. Η φυσική σημασία της έννοιας «μικρή» διαταραχή εξαρτάται άμεσα από τις παραμέτρους του προβλήματος. Εν προκειμένω, «μικρή» διαταραχή μεταφράζεται στη μαθηματική συνθήκη

$\lambda \ll \lambda _{0}$

όπου λ₀ ο μοναδικός εκείνος συνδυασμός των σταθερών ħ=m=ω=1 με διαστάσεις ίδιες με εκείνες της σταθεράς λ (ενέργεια ανά μήκος στον κύβο), ήτοι (m³ω⁵/ħ)^1/2. Όσο ικανοποιείται η παραπάνω συνθήκη, η θεωρία διαταραχών μπορεί να εφαρμοστεί με ικανοποιητική ακρίβεια.

Εφαρμογές

• Διατομικά μόρια

Δείτε επίσης

• Το ελεύθερο σωμάτιο
• Το απειρόβαθο πηγάδι
• Το σωματίδιο σε δακτύλιο
• Το δυναμικό δέλτα
• Το σκαλοπάτι δυναμικού
• Το άτομο του υδρογόνου
• Θεωρία διαταραχών (κβαντική μηχανική)

Βιβλιογραφία

• Τραχανάς, Στέφανος (2005). Κβαντομηχανική Ι. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης. ISBN 978-960-524-206-0. 
• Τραχανάς, Στέφανος (2008). Κβαντομηχανική ΙΙ. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης. ISBN 978-960-524-267-1.