Αποκλειστική διάζευξη

Στην μαθηματική λογική, η αποκλειστική διάζευξη είναι ο λογικός τελεστής που δίνει αποτέλεσμα αληθές αν και μόνο αν ακριβώς ένας από τους όρους στους οποίους ενεργεί είναι αληθής.

Για να δηλώσουν αποκλειστική διάζευξη χρησιμοποιούνται τα σύμβολα XOR και $\oplus$ . Η αποκλειστική διάζευξη μπορεί να γραφεί με χρήση μόνο των λογικών τελεστών σύζευξη (ή "ένωση" ή "λογική άθροιση") $\wedge$ , διάζευξη $\lor$ , και άρνηση $\neg$ ως εξής:^[1]^:147-148^[2]^:21^[3]^:17

{\begin{matrix}p\oplus q&=&(p\land \lnot q)\lor (\lnot p\land q)\end{matrix}}

Πίνακας αλήθειας

Παρακάτω δίνεται ο πίνακας αλήθειας της πρότασης $p\oplus q$ :^[4]^:11^[5]^:18


$p$	$q$	$\oplus$
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

όπου 0 αντιστοιχεί στην τιμή ψευδής και 1 στην τιμή αληθής.

Ιδιότητες

Η αποκλειστική διάζευξη ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες:^[1]^: 147-148^[6]^:24

Ικανοποιεί την $x\oplus x=0$ .

Απόδειξη

Προκύπτει από την πρώτη και την τελευταία γραμμή του πίνακα ορισμού.

Ικανοποιεί την $x\oplus 1=\neg x$ .

Απόδειξη

Προκύπτει από την δεύτερη και την τελευταία γραμμή του πίνακα ορισμού.

Ικανοποιεί την αντιμεταθετική ιδιότητα $x\oplus y=y\oplus x$ .

Απόδειξη

Όταν $x=y$ τότε $x\oplus y=y\oplus x=0$ . Όταν $x\neq y$ τότε $x\oplus y=y\oplus x=1$ .

Ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα $(x\oplus y)\oplus z=x\oplus (y\oplus z)$ και γι' αυτό οι παρενθέσεις συνήθως παραλείπονται.

Απόδειξη


$x$	$y$	$z$	$x\oplus (y\oplus z)$	$(x\oplus y)\oplus z$
0	0	0	$0\oplus 0=0$	$0\oplus 0=0$
0	0	1	$0\oplus 1=1$	$0\oplus 1=1$
0	1	0	$1\oplus 0=1$	$0\oplus 1=1$
0	1	1	$1\oplus 1=0$	$0\oplus 0=0$
1	0	0	$1\oplus 0=1$	$1\oplus 0=1$
1	0	1	$1\oplus 1=0$	$1\oplus 1=0$
1	1	0	$0\oplus 0=0$	$1\oplus 1=0$
1	1	1	$1\oplus 0=1$	$0\oplus 1=1$

Η διάζευξη και η σύζευξη δεν μπορούν να υλοποιηθούν με την χρήση μόνο τελεστών αποκλειστικής διάζευξης.^[7]^:199

Γενικεύσεις

Η αποκλειστική διάζευξη $n$ εισόδων $x_{1},\ldots ,x_{n}$ ορίζεται ως $x_{1}\oplus x_{2}\oplus \ldots \oplus x_{n}$ και είναι ισοδύναμη με την συνάρτηση^[1]^: 148^[6]^: 25

s(x_{1},\ldots ,x_{n})={\begin{cases}1&{\text{αν υπάρχει μονός αριθμός 1 μεταξύ των }}x_{1},\ldots ,x_{n}\\0&{\text{διαφορετικά}}.\end{cases}}

Δείτε επίσης

Παραπομπές

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 Hayes, John P. (1993). Introduction to Digital Logic Design. Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 0-201-15461-7.
↑ Harris, David Money (2013). Digital design and computer architecture (2η έκδοση). Waltham, MA: Morgan Kaufmann. ISBN 978-0-12-394424-5.
↑ Κολέτσος, Γεώργιος. «Εισαγωγή - Η Λογική των Προτάσεων» (PDF). Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο (PDF) στις 3 Σεπτεμβρίου 2022. Ανακτήθηκε στις 3 Σεπτεμβρίου 2022.
↑ Πλεξουσάκης, Δημήτρης. «Προτασιακός Λογισμός» (PDF). Πανεπιστήμιο Κρήτης. Ανακτήθηκε στις 3 Σεπτεμβρίου 2022.
↑ Παπαϊωάννου, Εύη (2018). «Διακριτά Μαθηματικά: Λογική, αποδείξεις, σύνολα, συναρτήσεις» (PDF). Σχολή οργάνωσης και διοικησης επιχειρήσεων, Πανεπιστήμιο Πατρών. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο (PDF) στις 3 Σεπτεμβρίου 2022. Ανακτήθηκε στις 3 Σεπτεμβρίου 2022.
↑ ^6,0 ^6,1 Natarajan, Dhanasekharan (2020). Fundamentals of digital electronics. Cham: Springer. ISBN 978-3-030-36196-9.
↑ Chattopadhyay, D. (2002). Basic Electronics: in accordance with u.p. technical university syllabus (1η έκδοση). New Delhi: New age international Publishers. ISBN 9788122414103.

[H93-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 Hayes, John P. (1993). Introduction to Digital Logic Design. Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 0-201-15461-7.

[2] Harris, David Money (2013). Digital design and computer architecture (2η έκδοση). Waltham, MA: Morgan Kaufmann. ISBN 978-0-12-394424-5.

[3] Κολέτσος, Γεώργιος. «Εισαγωγή - Η Λογική των Προτάσεων» (PDF). Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο (PDF) στις 3 Σεπτεμβρίου 2022. Ανακτήθηκε στις 3 Σεπτεμβρίου 2022.

[4] Πλεξουσάκης, Δημήτρης. «Προτασιακός Λογισμός» (PDF). Πανεπιστήμιο Κρήτης. Ανακτήθηκε στις 3 Σεπτεμβρίου 2022.

[5] Παπαϊωάννου, Εύη (2018). «Διακριτά Μαθηματικά: Λογική, αποδείξεις, σύνολα, συναρτήσεις» (PDF). Σχολή οργάνωσης και διοικησης επιχειρήσεων, Πανεπιστήμιο Πατρών. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο (PDF) στις 3 Σεπτεμβρίου 2022. Ανακτήθηκε στις 3 Σεπτεμβρίου 2022.

[N20-6] 6,0 ^6,1 Natarajan, Dhanasekharan (2020). Fundamentals of digital electronics. Cham: Springer. ISBN 978-3-030-36196-9.

[7] Chattopadhyay, D. (2002). Basic Electronics: in accordance with u.p. technical university syllabus (1η έκδοση). New Delhi: New age international Publishers. ISBN 9788122414103.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]