Αξίωμα παραλληλίας

Στη γεωμετρία, το αξίωμα παραλληλίας (ή αξίωμα των παραλλήλων ή αξίωμα Playfair) θεωρήθηκε ότι δεν είναι διαισθητικά προφανές, όπως τα υπόλοιπα αξιώματα, και διατυπώθηκε η εικασία πως δεν είναι αξίωμα αλλά θεώρημα. Κατά την προσπάθεια απόδειξής του βρέθηκαν προτάσεις που είναι ισοδύναμες με αυτό, όπως ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου ισούται με 180°.

Ορισμένοι μαθηματικοί προσπάθησαν να αποδείξουν το αξίωμα των παραλλήλων με την εις άτοπον απαγωγή. Από τις προσπάθειες αυτές γεννήθηκε η υπερβολική γεωμετρία, η οποία στη θέση του αξιώματος των παραλλήλων δέχεται ότι υπάρχουν άπειρες ευθείες που διέρχονται από ένα σημείο εκτός μίας δεδομένης ευθείας και δεν την τέμνουν.

Πλέον έχει αποδειχτεί ότι το αξίωμα των παραλλήλων είναι ανεξάρτητο των υπολοίπων αξιωμάτων της ευκλείδειας γεωμετρίας.

Το 5ο αξίωμα του Ευκλείδη

Σύμφωνα με το 5ο αξίωμα του Ευκλείδη ή Αξίωμα Παραλληλίας ή Αξίωμα Playfair:

Από δοθέν σημείο εκτός δοθείσης γραμμής (ευθείας), διέρχεται το πολύ μία γραμμή (ευθεία), που δεν τέμνει την δοθείσα.

Το αξίωμα αυτό λέγεται και Αξίωμα Playfair, διότι ο Λάιον Πλέιφερ μελέτησε την ισοδυναμία της πρωτότυπης διατύπωσης του Ευκλείδη και της δικής του, η οποία είναι περισσότερο γνωστή στα σημερινά σχολικά εγχειρίδια.