Αντιστρέψιμος πίνακας

Στα μαθηματικά και ειδικότερα στη γραμμική άλγεβρα, ένας αντιστρέψιμος πίνακας^[1] (ή κανονικός ή μη-σημαδιακός) είναι ένας τετραγωνικός πίνακας $A$ για τον οποίο υπάρχει ένας πίνακας $B$ του ίδιου μεγέθους $n$ με τον οποίο τα γινόμενα $A B$ και $B A$ είναι ίσα με τον ταυτοτηκό πίνακα.

AB=BA=I_{n}

Στην περίπτωση αυτή ο πίνακας $B$ είναι μοναδικός, ονομάζεται αντίστροφος πίνακας του $A$ και συμβολίζεται $B = A -1$ .

Αυτός ο ορισμός αντιστοιχεί με τον ορισμό του αντιστρέψιμου στοιχείου για πολλαπλασιασμό στον σχετικό δακτύλιο τετραγωνικών πινάκων^[2].

Αν οι συντελεστές ενός τετραγωνικού πίνακα λαμβάνονται από έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο $K$ , ο πίνακας αυτός είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν αντιπροσωπεύει έναν ισομορφισμό του $K n$ , ο οποίος οδηγεί σε έναν αντιστρέψιμο προσδιοριστή. Ειδικότερα, αν ο $K$ είναι ένα αντιμεταθετικό πεδίο όπως ο $R$ ή ο $C$ , η αντιστρεψιμότητα χαρακτηρίζεται από έναν μη μηδενικό προσδιοριστή, αλλά και από τη μεγιστοποίηση του βαθμού ή άλλες ιδιότητες του αναπαριστώμενου ενδομορφισμού. Διάφοροι απλούστεροι όροι μπορούν να εφαρμοστούν σε ορισμένες κατηγορίες πινάκων.

Ο αλγόριθμος Γκάους παρέχει ακριβή υπολογισμό του αντίστροφου, αλλά δεν είναι πολύ ανθεκτικός στη διάδοση σφαλμάτων όταν το μέγεθος του πίνακα γίνεται πολύ μεγάλο. Στην πράξη, άλλοι αλγόριθμοι είναι προτιμότεροι για την προσέγγιση του αντιστρόφου.

Στο σύνολο ${\mathcal {M}}_{n}(K)$ των τετραγωνικών πινάκων μεγέθους $n$ με συντελεστές σε έναν δακτύλιο $K$ , το σύνολο των αντιστρέψιμων πινάκων σχηματίζει μια πολλαπλασιαστική ομάδα, που ονομάζεται γενική γραμμική ομάδα και συμβολίζεται ${\mathcal {GL}}_{n}(K)$ .

Η έννοια του αντίστροφου πίνακα γενικεύεται από την έννοια του ψευδοαντίστροφου και ειδικότερα των αντιστρόφων προς τα αριστερά ή προς τα δεξιά.

Αναστρεψιμότητα

Πλαίσιο

Δύο διαφορετικοί πίνακες με το ίδιο τρίτο γινόμενο

Σε αντίθεση με τον πολλαπλασιασμό στο πραγματικό ή στο μιγαδικό πεδίο, ο πολλαπλασιασμός πινάκων (ακόμη και με μη μηδενικό πίνακα) δεν είναι πάντα αντιστρεπτή πράξη (λέμε ότι αυτός ο νόμος της σύνθεσης δεν είναι κανονικός), με την έννοια ότι η ισότητα δύο προϊόντων $A B = A C$ δεν συνεπάγεται απαραίτητα την ισότητα $B = C$ .

Αντίστοιχα, έχοντας έναν πίνακα $A$ και έναν πίνακα $Y$ , η εξίσωση $A X = Y$ δεν μπορεί να επιλυθεί διαιρώντας τα δύο μέλη της ισότητας με τον πίνακα $A$ .

Η ύπαρξη ενός αντίστροφου πίνακα $A -1$ καθιστά δυνατή την επίλυση αυτών των δύο προβλημάτων, χρησιμοποιώντας την ακόλουθη ισοδυναμία:

AX=Y\iff X=A^{-1}Y

.

Έτσι, οποιοσδήποτε αντιστρέψιμος πίνακας μπορεί να "απλοποιηθεί" για πολλαπλασιασμό προς τα αριστερά ή προς τα δεξιά.

Ωστόσο, η επίλυση μιας εξίσωσης πίνακα της μορφής $A X = Y$ , που ενδεχομένως δίνεται με τη μορφή ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων, δεν αντιμετωπίζεται συστηματικά με τον προσδιορισμό ενός αντίστροφου πίνακα για το $A$ . Οι μέθοδοι αποσύνθεσης, όπως η LU αποσύνθεση, είναι πολύ ταχύτερες από την αντιστροφή.

Αναπαράσταση ενός ισομορφισμού και προσδιοριστής

Κάθε πίνακας A=(a_i_,j), με συντελεστές σε έναν αντιμεταθετικό δακτύλιο $K$ ορίζει έναν μοναδιαίο ενδομορφισμό της μονάδας (ή του διανυσματικού χώρου) στον $K n$ :

(x_{1},\dots ,x_{n})\mapsto \left(\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}x_{j}\right)_{1\leq i\leq n}

και αντίστροφα, οποιοσδήποτε ενδομορφισμός στο $K$ ^$n$ μπορεί να προκύψει με αυτόν τον τρόπο από έναν απλό πίνακα του ${\mathcal {M}}_{n}(K)$ .

Συγκεκριμένα, ο πίνακας ταυτότητας συνδέεται με την εφαρμογή ταυτότητας. Και δεδομένου ότι ο πολλαπλασιασμός πινάκων οδηγεί στη σύνθεση των σχετικών εφαρμογών (με την ίδια σειρά), μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η ύπαρξη ενός αντίστροφου πίνακα είναι ισοδύναμη με το γεγονός ότι η σχετική εφαρμογή είναι αυτομορφισμός. Το αποτέλεσμα αυτό βασίζεται εν μέρει στη θεμελιώδη ιδιότητα ότι το αντίστροφο ενός ισομορφισμού ενοτήτων είναι επίσης ισομορφισμός.

Η πολλαπλασιαστικότητα του προσδιοριστή που εφαρμόζεται σε έναν αντιστρέψιμο πίνακα $A$ μας επιτρέπει να γράψουμε

\det(A)\times \det(A^{-1})=\det(I_{n})=1

Επομένως, ο προσδιοριστής ενός αντιστρέψιμου πίνακα είναι αναγκαστικά αντιστρέψιμος στον δακτύλιο των συντελεστών.

Αντιστρόφως, το γινόμενο ενός πίνακα με τον αντιμεταθετικό του πίνακα δίνει τον τύπο του Λαπλάς

A\times \ ^{\mathrm {t} }\!\mathrm {com} (A)=\det(A).I_{n}

επομένως αν ο προσδιοριστής είναι αντιστρέψιμος στο δακτύλιο των συντελεστών, ο πίνακας $det(A) -1 . t com(A)$ είναι ένας αντίστροφος για τον $A$ .

Ειδικότερα, ένας πίνακας με ακέραιους συντελεστές έχει αντίστροφο με ακέραιους συντελεστές αν και μόνο αν ο προσδιοριστής του είναι 1 ή -1.

Περίπτωση συντελεστών σε σώμα

Χαρακτηρισμοί

Έστω A ένας τετραγωνικός πίνακας τάξης n με συντελεστές σε ένα αντιμεταθετικό πεδίο K (για παράδειγμα το πεδίο ℝ των πραγματικών). Οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες (σημειώστε ότι X είναι πίνακας στήλης με n στοιχεία στο K)^[3]

Το A είναι αντιστρέψιμο,
Ο προσδιοριστής του A είναι μη μηδενικός,
Το A διαθέτει n άξονες,
Το 0 δεν είναι ιδιοτιμή του A ;
ο βαθμός του A αντιστοιχεί σε n ,
το ομογενές γραμμικό σύστημα AX = 0 έχει μόνο μία λύση X = 0 ,
ο πυρήνας (άλγεβρα) του Α είναι ο μηδενικός χώρος: Ker(A)={0};
για όλα τα b στο M_n,1(K), το γραμμικό σύστημα AX = b έχει το πολύ μία λύση ,
για όλα τα b στο M_n,1(K), το γραμμικό σύστημα AX = b έχει τουλάχιστον μία λύση,
οι στήλες του A, που θεωρούνται ως διανύσματα του Kⁿ, είναι γραμμικά ανεξάρτητες ,
οι στήλες του A, που θεωρούνται ως διανύσματα του Kⁿ, δημιουργούν το Kⁿ,
ο ενδοµορφισµός που συνδέεται κανονικά µε το Α (δηλαδή η γραµµική εφαρµογή του Kⁿ στον εαυτό του, του οποίου ο πίνακας είναι το Α στην κανονική βάση) είναι εγχυτικός ,
ο ενδοµορφισµός που συνδέεται κανονικά µε το Α είναι επιφανειακός,
ο πίνακας A είναι αριστερά αντιστρέψιμος, δηλαδή υπάρχει ένας τετραγωνικός πίνακας B τάξης n τέτοιος ώστε BA = I_n,
ο πίνακας A είναι δεξιός αντιστρέψιμος, δηλαδή υπάρχει τετραγωνικός πίνακας B τάξης n τέτοιος ώστε AB = I_n,
ο αντιστροφή ^tA του A είναι αντιστρέψιμος,
υπάρχει ένα πολυώνυμο του Α του οποίου το 0 δεν είναι ρίζα,
το 0 δεν είναι ρίζα του ελάχιστου πολυωνύμου του Α,
Το A είναι ισοδύναμο με τον πίνακα ταυτότητας I_n τάξης n..

Ειδικές περιπτώσεις

Όταν το σύνολο των συντελεστών είναι ένα πεδίο, ένας τριγωνικός πίνακας (άνω ή κάτω) είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν όλοι οι διαγώνιοι συντελεστές του είναι διάφοροι του μηδενός.

Ένας πραγματικός πίνακας του οποίου όλες οι στήλες είναι ορθογώνιες μεταξύ τους είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν δεν έχει μηδενικές στήλες.

Ένα γινόμενο δύο τετραγωνικών πινάκων είναι αντιστρέψιμο αν και μόνο αν οι δύο παραγοντικοί πίνακες είναι επίσης αντιστρέψιμοι.

Οι πίνακες μετάθεσης^[4], μεταβολής, συμμετρίας ή περιστροφής και οι πίνακες διέλευσης είναι πάντα αντιστρέψιμοι.

Ο πίνακας διακύμανσης-συνδιακύμανσης^[5] μιας οικογένειας (X₁, … , X_n) πραγματικών τυχαίων μεταβλητών είναι αντιστρέψιμος, εκτός εάν υπάρχει μια σχεδόν βέβαιη συγγενής σχέση μεταξύ αυτών των μεταβλητών.

Ο πίνακας συνοδών ενός πολυωνύμου είναι αντιστρέψιμος εάν και μόνο εάν αυτό το πολυώνυμο έχει σταθερό μη μηδενικό συντελεστή.

Άλλα σύνολα συντελεστών

Για πίνακες με συντελεστές σε μη αντιμεταθετικό δακτύλιο, ή ακόμη και σε ημι-δακτύλιο, ο προσδιορισμός της αντιστρεψιμότητας δεν μπορεί πλέον να βασίζεται στην έννοια του προσδιοριστή.

Το σύνολο ${\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {H} )$ των τετραγωνικών πινάκων των τεταρτοβάθμιων διαιρείται φυσικά ως υποάλγεβρα στο σύνολο ${\mathcal {M}}_{2n}(\mathbb {C} )$ των μιγαδικών πινάκων διπλού μεγέθους, στο οποίο ο προσδιοριστής επάγει μια μιγαδική συνάρτηση της οποίας η ακύρωση χαρακτηρίζει τους μοναδιαίους πίνακες. Η ύπαρξη ενός αριστερού αντιστρόφου είναι ακόμα ισοδύναμη με την ύπαρξη ενός δεξιού αντιστρόφου (και οι δύο αυτοί αντιστρόφοι συμπίπτουν)^[6]..

Με συντελεστές Μπουλ, εφοδιασμένοι με τους εσωτερικούς νόμους σύνθεσης OR και AND^[7]^[8], οι μόνοι αντιστρέψιμοι πίνακες είναι οι πίνακες μετατροπής, των οποίων ο αντίστροφος ισούται με την αντιμετάθεση ^[9]..

Αντίστροφη

Επίλυση ενός συστήματος

Δίνεται ένας τετραγωνικός πίνακας $A$ μεγέθους $n$ , ο προσδιορισμός ενός πίνακα $B$ που ικανοποιεί τη σχέση AB = I_n μπορεί να εκφραστεί από ένα σύστημα με n² γραμμικές εξισώσεις και τόσους αγνώστους.

Ωστόσο, ακόμη και για μικρές τιμές του $n$ , είναι πολύ απλούστερο να επιλυθεί ένα σύστημα που μεταφράζει την ισότητα AX = Y όπου $X$ είναι ένας πίνακας στήλης με $n$ αγνώστους και $Y$ είναι ένας πίνακας στήλης με $n$ κυριολεκτικές παραμέτρους. Η έκφραση των αγνώστων ως συνάρτηση των παραμέτρων γράφεται σε μορφή πίνακα $X = B Y$ και ο πίνακας $B$ που ορίζεται με αυτόν τον τρόπο είναι ο αντίστροφος πίνακας του $A$ .

Αυτά τα συστήματα επιλύονται συνήθως με τη διαδικασία απαλοιφής Γκάους-Ζόρνταν, γνωστή και ως αλγόριθμος Γκάους Πιβό.

Μέθοδος συμπαράγοντα

Αν ο προσδιοριστής ενός πίνακα $A$ (με συντελεστές σε ένα αντιμεταθετικό πεδίο) είναι διάφορος του μηδενός, τότε ο $A$ είναι αντιστρέψιμος, με τον αντίστροφό του να δίνεται από :

A^{-1}={\frac {1}{\det A}}\,^{\operatorname {t} }\!{{\rm {com}}A}

όπου $t com(A)$ είναι ο πίνακας μεταθέσεως του αντιμεταθετικού πίνακα του $A$ . Πράγματι (βλ. αναλυτικό άρθρο), οποιοσδήποτε τετραγωνικός πίνακας $A$ τάξης $n$ επαληθεύει:

A\;{}^{\operatorname {t} }\!\left(\operatorname {com} A\right)={}^{\operatorname {t} }\!\left(\operatorname {com} A\right)\;A=\det(A)\;\mathrm {I} _{n}

.

Αυτή η μέθοδος καθιστά εύκολο τον υπολογισμό του αντίστροφου ενός πίνακα μικρών διαστάσεων. Για μεγαλύτερους πίνακες, αυτή η ουσιαστικά αναδρομική μέθοδος καθίσταται αναποτελεσματική.

Αντιστροφή πινάκων 2×2

Η παραπάνω εξίσωση του συμπαράγοντα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της αντιστροφής των πινάκων 2×2: αν $ad - bc \neq 0$ ,

A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},\ \operatorname {com} A={\begin{pmatrix}d&-c\\-b&a\end{pmatrix}},\ ^{\operatorname {t} }\!\operatorname {com} A={\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}

,

A^{-1}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}

.

Παράδειγμα:

{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{-2}}{\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\\\end{pmatrix}}

.

Αναστροφή πινάκων 3×3

Αντίστοιχα, λαμβάνουμε τον αντίστροφο ενός πίνακα $A={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{pmatrix}}$ διάστασης 3×3 υπολογίζοντας τον προσδιοριστή του (χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Σάρους, για παράδειγμα):

\det A=aei+bfg+cdh-ceg-fha-ibd,\

στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τον τύπο :

A^{-1}={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det A}}^{\operatorname {t} }\!{\begin{pmatrix}ei-fh&fg-di&dh-eg\\ch-bi&ai-cg&bg-ah\\bf-ce&cd-af&ae-bd\end{pmatrix}}={\frac {1}{\det A}}{\begin{pmatrix}ei-fh&ch-bi&bf-ce\\fg-di&ai-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\end{pmatrix}}

.

Ομάδα αντιστρέψιμων πινάκων

Οι τετραγωνικοί πίνακες τάξης n με συντελεστές σε ένα δακτύλιο K σχηματίζουν ένα δακτύλιο, που συμβολίζεται M_n(K). Το σύνολο των αντιστρέψιμων πινάκων στον M_n(K)σχηματίζει επομένως μια ομάδα για πολλαπλασιασμό: την ομάδα των αντιστρέψιμων πινάκων στον M_n(K). Αυτή ονομάζεται γενική γραμμική ομάδα και συνήθως συμβολίζεται GL_n(K). Επομένως :

ο αντίστροφος πίνακας ενός αντιστρέψιμου πίνακα A είναι ο ίδιος αντιστρέψιμος, και
(A⁻¹)⁻¹ = A ;
το γινόμενο δύο αντιστρέψιμων πινάκων Α και Β (της ίδιας τάξης) είναι ένας αντιστρέψιμος πίνακας και ο αντίστροφός του δίνεται από την ακόλουθη σχέση
(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ (συνήθως διαφέρει του A⁻¹B⁻¹, εκτός αν A και B αντιμετατίθενται, παραδείγματος χάριν αν ο Α ή ο Β είναι ένας πίνακας και ο δακτύλιος Κ είναι αντιμεταθετικός).

Κάθε πίνακας που αντιμετατίθεται με έναν αντιστρέψιμο πίνακα A αντιμετατίθεται επίσης με A⁻¹.

Γενικά, "σχεδόν όλοι" οι τετραγωνικοί πίνακες τάξης n είναι αντιστρέψιμοι. Στο πεδίο των πραγματικών αριθμών, αυτό μπορεί να διατυπωθεί με μεγαλύτερη ακρίβεια: το σύνολο των μη αντιστρέψιμων πινάκων, θεωρούμενο ως υποσύνολο του $\mathbb {R} ^{n\times n}$ , είναι αμελητέο για το μέτρο Λεμπεσγκ. Διαισθητικά, αυτό σημαίνει ότι αν επιλέξουμε τυχαία έναν τετραγωνικό πίνακα τάξης n με πραγματικούς συντελεστές, η πιθανότητα να μην είναι αντιστρέψιμος είναι μηδέν. Ο λόγος γι' αυτό είναι ότι οι μη αντιστρέψιμοι πίνακες είναι οι ρίζες (ή τα μηδενικά) μιας πολυωνυμικής συνάρτησης που δίνεται από τον προσδιοριστή.

Στο σύνολο των πραγματικών ή μιγαδικών τετραγωνικών πινάκων σταθερού μεγέθους, το υποσύνολο των αντιστρέψιμων πινάκων είναι πυκνό ^[10].

Παράγωγος του αντιστρόφου μιας εφαρμογής με τιμή πίνακα

Έστω ένα διάστημα I (με μη κενό εσωτερικό) του $\mathbb {R}$ και μια συνάρτηση πίνακα

$A:I\to \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} ),~t\mapsto A(t)$

που μπορεί να παραχθεί στο I. Τότε η συνάρτηση του πίνακα

$A^{-1}:I\to \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} ),\,t\mapsto A(t)^{-1}$

είναι παραγωγίσιμη στο I και

$\forall t\in I\quad {\frac {\mathrm {d} A^{-1}}{\mathrm {d} t}}(t)=-A^{-1}(t)\,{\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}(t)\,A^{-1}(t)$ .

Για n = 1, σημειώνοντας f(t) το πραγματικό A(t), βρίσκουμε τον συνήθη τύπο παραγώγισης:

\left({\frac {1}{f}}\right)'(t)=-{\frac {f'(t)}{f^{2}(t)}}

.

Γενικότερα, η εφαρμογή

$\mathrm {inv} :\qquad \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )\to \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} ),\qquad A\mapsto A^{-1}$

είναι απεριόριστα διαφορίσιμη (αφού η έκφρασή της με τον τύπο του συμπαράγοντα είναι ορθολογική) και το διαφορικό της δίνεται από^[11] :

\forall A\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )\quad \forall H\in \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )\quad \mathrm {d} \,\mathrm {inv} _{A}(H)=-A^{-1}HA^{-1}

.

Γενικεύσεις

Ορισμένες από τις ιδιότητες των αντίστροφων πινάκων επαληθεύονται επίσης από τους ψευδο-αντίστροφους πίνακες, οι οποίοι μπορούν να οριστούν για οποιονδήποτε πίνακα, ακόμη και για εκείνους που δεν είναι τετραγωνικοί.

Ακόμη και όταν ο πίνακας Χ δεν είναι τετραγωνικός, οι πίνακες ΧΧ' και Χ'Χ (όπου Χ' είναι ο πίνακας μεταφοράς του Χ) είναι. Αν ένας από αυτούς τους πίνακες είναι αντιστρέψιμος, τότε είναι δυνατόν να "αντιστρέψουμε" τον X χρησιμοποιώντας αριστερόστροφο πολλαπλασιασμό με $(X'X)^{-1}$ , ή δεξιόστροφο πολλαπλασιασμό με $(XX')^{-1}$ - σε αυτή την περίπτωση, έχουμε στην πραγματικότητα

\left((X'X)^{-1}X'\right)X=I\,

(αντίστροφα αριστερά) ή

X\left(X'(XX')^{-1}\right)=I

(αντίστροφα δεξιά).

Δημοσιεύσεις

Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Inversion of a matrix», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/i052440
Bernstein, Dennis S. (2009). Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas (2nd έκδοση). Princeton University Press. ISBN 978-0691140391 – μέσω Google Books.
Petersen, Kaare Brandt· Pedersen, Michael Syskind (15 Νοεμβρίου 2012). «The Matrix Cookbook» (PDF). σελίδες 17–23.

Δείτε επίσης

Παραπομπές

↑ «Invertible matrix | Definition, Properties, & Facts | Britannica». www.britannica.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 28 Ιανουαρίου 2024.
↑ Υπάρχουν διαφορετικά σύνολα τετραγωνικών πινάκων, ανάλογα με τη διάσταση και το σύνολο των συντελεστών που επιλέγονται. Ο ίδιος πίνακας με ακέραιους συντελεστές, για παράδειγμα, μπορεί να είναι αντιστρέψιμος στο ${\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )$ χωρίς να είναι αντιστρέψιμος στο ${\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {Z} )$ .
↑ Voir par exemple (en) David C. Lay, , Washington, Pearson, 2016, 579 p. ISBN 978-0-321-98238-4 , p. 114, 237, 277 et 423, ou le chapitre sur l'inverse, dans la leçon de Wikiversité sur les matrices (voir infra).
↑ «Permutation matrices - Drexel University» (PDF).
↑ Weisstein, Eric W. «Covariance». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 28 Ιανουαρίου 2024.
↑ Fuzhen Zhang, Quaternions and Matrices of Quaternions, Linear Algebra and its Applications 251:21–57 (1997).
↑ NiNa.Az (17 Οκτωβρίου 2023). «Fonction OU». www.wikidata.fr-fr.nina.az (στα Γαλλικά). Ανακτήθηκε στις 28 Ιανουαρίου 2024.
↑ NiNa.Az (17 Οκτωβρίου 2023). «Fonction ET». www.wikidata.fr-fr.nina.az (στα Γαλλικά). Ανακτήθηκε στις 28 Ιανουαρίου 2024.
↑ D. E. Rutherford, Inverses of Boolean matrices, Glasgow Mathematical Journal, Volume 6:1, janvier 1963, p. 49–53, DOI: https://doi.org/10.1017/S2040618500034705.
↑ «Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie — Wikiversité». fr.wikiversity.org (στα Γαλλικά). Ανακτήθηκε στις 28 Ιανουαρίου 2024.
↑ «Calcul différentiel/Exercices/Différentiabilité — Wikiversité». fr.wikiversity.org (στα Γαλλικά). Ανακτήθηκε στις 28 Ιανουαρίου 2024.

[1] «Invertible matrix | Definition, Properties, & Facts | Britannica». www.britannica.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 28 Ιανουαρίου 2024.

[2] Υπάρχουν διαφορετικά σύνολα τετραγωνικών πινάκων, ανάλογα με τη διάσταση και το σύνολο των συντελεστών που επιλέγονται. Ο ίδιος πίνακας με ακέραιους συντελεστές, για παράδειγμα, μπορεί να είναι αντιστρέψιμος στο ${\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} )$ χωρίς να είναι αντιστρέψιμος στο ${\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {Z} )$ .

[3] Voir par exemple (en) David C. Lay, , Washington, Pearson, 2016, 579 p. ISBN 978-0-321-98238-4 , p. 114, 237, 277 et 423, ou le chapitre sur l'inverse, dans la leçon de Wikiversité sur les matrices (voir infra).

[4] «Permutation matrices - Drexel University» (PDF).

[5] Weisstein, Eric W. «Covariance». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 28 Ιανουαρίου 2024.

[6] Fuzhen Zhang, Quaternions and Matrices of Quaternions, Linear Algebra and its Applications 251:21–57 (1997).

[7] NiNa.Az (17 Οκτωβρίου 2023). «Fonction OU». www.wikidata.fr-fr.nina.az (στα Γαλλικά). Ανακτήθηκε στις 28 Ιανουαρίου 2024.

[8] NiNa.Az (17 Οκτωβρίου 2023). «Fonction ET». www.wikidata.fr-fr.nina.az (στα Γαλλικά). Ανακτήθηκε στις 28 Ιανουαρίου 2024.

[9] D. E. Rutherford, Inverses of Boolean matrices, Glasgow Mathematical Journal, Volume 6:1, janvier 1963, p. 49–53, DOI: https://doi.org/10.1017/S2040618500034705.

[10] «Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie — Wikiversité». fr.wikiversity.org (στα Γαλλικά). Ανακτήθηκε στις 28 Ιανουαρίου 2024.

[11] «Calcul différentiel/Exercices/Différentiabilité — Wikiversité». fr.wikiversity.org (στα Γαλλικά). Ανακτήθηκε στις 28 Ιανουαρίου 2024.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]