Στα μαθηματικά , οι υπερβολικές συναρτήσεις είναι ανάλογες των συμβατικών τριγωνομετρικών ή κυκλικών συναρτήσεων. Οι βασικές υπερβολικές συναρτήσεις είναι το υπερβολικό ημίτονο (συμβολίζεται sinh ) και το υπερβολικό συνημίτονο (cosh ), από τις οποίες προκύπτουν η υπερβολική εφαπτομένη (tanh ) και οι υπόλοιπες υπερβολικές, κατ' αναλογία των παράγωγων τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Οι συναρτήσεις αυτές ονομάστηκαν έτσι επειδή η γεωμετρική σχέση τους με μία υπερβολή είναι σχεδόν ίδια με την σχέση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων με την περιφέρεια.[ 1]
Γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων sinh , cosh και tanh Γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων csch , sech και coth
sinh
(
−
x
)
=
−
sinh
x
{\displaystyle \sinh(-x)=-\sinh x\,\!}
cosh
(
−
x
)
=
cosh
x
{\displaystyle \cosh(-x)=\cosh x\,\!}
Οπότε:
tanh
(
−
x
)
=
−
tanh
x
{\displaystyle \tanh(-x)=-\tanh x\,\!}
coth
(
−
x
)
=
−
coth
x
{\displaystyle \coth(-x)=-\coth x\,\!}
sech
(
−
x
)
=
sech
x
{\displaystyle \operatorname {sech} (-x)=\operatorname {sech} \,x\,\!}
cosech
(
−
x
)
=
−
cosech
x
{\displaystyle \operatorname {cosech} (-x)=-\operatorname {cosech} \,x\,\!}
Προκύπτει δηλαδή ότι οι cosh x και sech x είναι άρτιες συναρτήσεις , ενώ οι υπόλοιπες είναι περιττές συναρτήσεις .
sech
−
1
x
=
cosh
−
1
(
1
x
)
{\displaystyle \operatorname {sech} ^{-1}x=\cosh ^{-1}\left({\frac {1}{x}}\right)}
cosech
−
1
x
=
sinh
−
1
(
1
x
)
{\displaystyle \operatorname {cosech} ^{-1}x=\sinh ^{-1}\left({\frac {1}{x}}\right)}
coth
−
1
x
=
tanh
−
1
(
1
x
)
{\displaystyle \coth ^{-1}x=\tanh ^{-1}\left({\frac {1}{x}}\right)}
Τα υπερβολικά ημίτονα και συνημίτονα ικανοποιούν τη σχέση:
cosh
2
x
−
sinh
2
x
=
1
{\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1\,}
η οποία είναι αντίστοιχη της συμβατικής τριγωνομετρικής σχέσης:
sin
2
x
+
cos
2
x
=
1
{\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1\,}
Η υπερβολική εφαπτομένη είναι λύση του μη γραμμικού προβλήματος οριακών τιμών.[ 2]
1
2
f
″
=
f
3
−
f
;
f
(
0
)
=
f
′
(
∞
)
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{2}}f''=f^{3}-f\qquad ;\qquad f(0)=f'(\infty )=0}
sinh
−
1
x
=
ln
(
x
+
x
2
+
1
)
{\displaystyle \sinh ^{-1}x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}
cosh
−
1
x
=
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
;
x
≥
1
{\displaystyle \cosh ^{-1}x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1}
tanh
−
1
x
=
1
2
ln
(
1
+
x
1
−
x
)
;
|
x
|
<
1
{\displaystyle \tanh ^{-1}x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right);\left|x\right|<1}
sech
−
1
x
=
ln
(
1
+
1
−
x
2
x
)
;
0
<
x
≤
1
{\displaystyle \operatorname {sech} ^{-1}x=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right);0<x\leq 1}
cosech
−
1
x
=
ln
(
1
x
+
1
+
x
2
|
x
|
)
{\displaystyle \operatorname {cosech} ^{-1}x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{\left|x\right|}}\right)}
coth
−
1
x
=
1
2
ln
(
x
+
1
x
−
1
)
;
|
x
|
>
1
{\displaystyle \coth ^{-1}x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right);\left|x\right|>1}
d
d
x
sinh
(
x
)
=
cosh
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sinh(x)=\cosh(x)\,}
d
d
x
cosh
(
x
)
=
sinh
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cosh(x)=\sinh(x)\,}
d
d
x
tanh
(
x
)
=
1
−
tanh
2
(
x
)
=
sech
2
(
x
)
=
1
/
cosh
2
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh(x)=1-\tanh ^{2}(x)={\hbox{sech}}^{2}(x)=1/\cosh ^{2}(x)\,}
d
d
x
coth
(
x
)
=
1
−
coth
2
(
x
)
=
−
csch
2
(
x
)
=
−
1
/
sinh
2
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\coth(x)=1-\coth ^{2}(x)=-{\hbox{csch}}^{2}(x)=-1/\sinh ^{2}(x)\,}
d
d
x
csch(x)
=
−
coth
(
x
)
csch(x)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ {\hbox{csch(x)}}=-\coth(x)\ {\hbox{csch(x)}}\,}
d
d
x
sech(x)
=
−
tanh
(
x
)
sech(x)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ {\hbox{sech(x)}}=-\tanh(x)\ {\hbox{sech(x)}}\,}
d
d
x
(
sinh
−
1
x
)
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\sinh ^{-1}x\right)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
d
d
x
(
cosh
−
1
x
)
=
1
x
2
−
1
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\cosh ^{-1}x\right)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
d
d
x
(
tanh
−
1
x
)
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\tanh ^{-1}x\right)={\frac {1}{1-x^{2}}}}
d
d
x
(
csch
−
1
x
)
=
−
1
|
x
|
1
+
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\operatorname {csch} ^{-1}x\right)=-{\frac {1}{\left|x\right|{\sqrt {1+x^{2}}}}}}
d
d
x
(
sech
−
1
x
)
=
−
1
x
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\operatorname {sech} ^{-1}x\right)=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}}
d
d
x
(
coth
−
1
x
)
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\coth ^{-1}x\right)={\frac {1}{1-x^{2}}}}
Είναι δυνατόν να εκφράσουμε τις υπερβολικές συναρτήσεις με χρήση σειράς Taylor :
sinh
x
=
x
+
x
3
3
!
+
x
5
5
!
+
x
7
7
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
{\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}
cosh
x
=
1
+
x
2
2
!
+
x
4
4
!
+
x
6
6
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
(
2
n
)
!
{\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}
tanh
x
=
x
−
x
3
3
+
2
x
5
15
−
17
x
7
315
+
⋯
=
∑
n
=
1
∞
2
2
n
(
2
2
n
−
1
)
B
2
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
,
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \tanh x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}
coth
x
=
1
x
+
x
3
−
x
3
45
+
2
x
5
945
+
⋯
=
1
x
+
∑
n
=
1
∞
2
2
n
B
2
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
,
0
<
|
x
|
<
π
{\displaystyle \coth x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi }
Σειρά Laurent )
sech
x
=
1
−
x
2
2
+
5
x
4
24
−
61
x
6
720
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
E
2
n
x
2
n
(
2
n
)
!
,
|
x
|
<
π
2
{\displaystyle \operatorname {sech} \,x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}
csch
x
=
1
x
−
x
6
+
7
x
3
360
−
31
x
5
15120
+
⋯
=
1
x
+
∑
n
=
1
∞
2
(
1
−
2
2
n
−
1
)
B
2
n
x
2
n
−
1
(
2
n
)
!
,
0
<
|
x
|
<
π
{\displaystyle \operatorname {csch} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi }
Σειρά Laurent )όπου
B
n
{\displaystyle B_{n}\,}
αριθμός Μπερνούλι
E
n
{\displaystyle E_{n}\,}
αριθμός Όιλερ
↑ Tom M. Apostol. Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός Τόμος Ι . Ατλαντίς. ISBN 9600700672 . ↑ Eric W. Weisstein. «Hyperbolic Tangent» . MathWorld. Ανακτήθηκε στις 20 Οκτωβρίου 2008 . 
