Πίνακας διάσκεψης

Στα μαθηματικά, ένας πίνακας διάσκεψης (που ονομάζεται επίσης πίνακας C) είναι ένας τετραγωνικός πίνακας C με 0 στη διαγώνιο και +1 και -1 εκτός της διαγωνίου, έτσι ώστε ο C^TC να είναι πολλαπλάσιο του πίνακα ταυτότητας I. Έτσι, εάν ο πίνακας έχει τάξη n, C^TC = (n−1)I.. Ορισμένοι συγγραφείς χρησιμοποιούν έναν πιο γενικό ορισμό, ο οποίος απαιτεί να υπάρχει ένα μόνο 0 σε κάθε γραμμή και στήλη, αλλά όχι απαραίτητα στη διαγώνιο.

Οι πίνακες διάσκεψης εμφανίστηκαν για πρώτη φορά σε σχέση με ένα πρόβλημα στην τηλεφωνία. Περιγράφηκαν για πρώτη φορά από τον Βίτολντ Μπέλεβιτς, ο οποίος τους έδωσε και το όνομά τους. Ο Μπελέβιτς ενδιαφερόταν να κατασκευάσει ιδεώδη τηλεφωνικά δίκτυα συνδιάσκεψης από ιδεώδεις μετασχηματιστές και ανακάλυψε ότι τέτοια δίκτυα αναπαρίστανται από πίνακες συνδιάσκεψης, εξ ου και το όνομα Άλλες εφαρμογές είναι στη στατιστική και μια άλλη στην ελλειπτική γεωμετρία.

Για n > 1, υπάρχουν δύο είδη πινάκων διάσκεψης. Ας κανονικοποιήσουμε τον C, πρώτα (αν χρησιμοποιείται ο πιο γενικός ορισμός), αναδιατάσσοντας τις γραμμές έτσι ώστε όλα τα μηδενικά να βρίσκονται στη διαγώνιο, και στη συνέχεια αναιρώντας κάθε γραμμή ή στήλη της οποίας η πρώτη εγγραφή είναι αρνητική. (Αυτές οι πράξεις δεν αλλάζουν το αν ένας πίνακας είναι πίνακας διάσκεψης.) Έτσι, ένας κανονικοποιημένος πίνακας διάσκεψης έχει όλα τα 1 στην πρώτη γραμμή και στήλη του, εκτός από ένα 0 στην πάνω αριστερή γωνία, και είναι 0 στη διαγώνιο. Έστω S ο πίνακας που παραμένει όταν αφαιρεθούν η πρώτη γραμμή και στήλη του C. Τότε είτε το n είναι ζυγό (πολλαπλάσιο του 4) και ο S είναι λοξά συμμετρικός (όπως και ο κανονικοποιημένος C αν η πρώτη του γραμμή αναιρεθεί), είτε το n είναι περιττά ζυγό (σύμφωνο με το 2 modulo 4) και ο S είναι συμμετρικός (όπως και ο κανονικοποιημένος C).

Συμμετρικοί πίνακες διασκέψεων

Αν ο C είναι ένας συμμετρικός πίνακας διάσκεψης τάξης n > 1, τότε όχι μόνο ο n πρέπει να είναι σύμφωνος με το 2 mod 4 αλλά και ο n - 1 πρέπει να είναι άθροισμα δύο τετραγώνων; υπάρχει μια έξυπνη απόδειξη μέσω της στοιχειώδους θεωρίας πινάκων στους βαν Λιντ και Σέιντελ. Το n θα είναι πάντα το άθροισμα δύο τετραγώνων αν το n - 1 είναι μια πρώτη δύναμη.

Δεδομένου ενός συμμετρικού πίνακα διάσκεψης, ο πίνακας S μπορεί να θεωρηθεί ως ο πίνακας γειτνίασης Σέιντελ ενός γραφήματος. Ο γράφος έχει n - 1 κορυφές, που αντιστοιχούν στις γραμμές και τις στήλες του S, και δύο κορυφές είναι όμορες αν η αντίστοιχη εγγραφή στον S είναι αρνητική. Αυτός ο γράφος είναι ισχυρά κανονικός του τύπου που ονομάζεται (μετά τον πίνακα) γράφος διάσκεψης.

Η ύπαρξη πινάκων διάσκεψης τάξης n που επιτρέπονται από τους παραπάνω περιορισμούς είναι γνωστή μόνο για ορισμένες τιμές του n. Παραδείγματος χάριν, εάν n = q + 1 όπου q είναι μια πρώτη δύναμη που είναι σύμφωνη με το 1 mod 4, τότε τα γραφήματα Πάλεϊ παρέχουν περιπτώσεις συμμετρικών πινάκων διάσκεψης τάξης n, θεωρώντας S τον πίνακα Σεϊντέλ του γραφήματος Πάλεϊ. Οι πρώτες δυνατές τάξεις ενός συμμετρικού πίνακα διάσκεψης είναι n = 2, 6, 10, 14, 18, (όχι 22, αφού το 21 δεν είναι άθροισμα δύο τετραγώνων), 26, 30, (όχι 34, αφού το 33 δεν είναι άθροισμα δύο τετραγώνων), 38, 42, 46, 50, 54, (όχι 58), 62 (ακολουθία A000952 στην OEIS)- για κάθε μία από αυτές, είναι γνωστό ότι υπάρχει ένας συμμετρικός πίνακας διάσκεψης αυτής της τάξης. Η τάξη 66 φαίνεται να είναι ένα ανοιχτό πρόβλημα.

Παράδειγμα

Ο ουσιαστικά μοναδικός πίνακας διάσκεψης τάξης 6 δίνεται από τη σχέση

${\begin{pmatrix}0&+1&+1&+1&+1&+1\\+1&0&+1&-1&-1&+1\\+1&+1&0&+1&-1&-1\\+1&-1&+1&0&+1&-1\\+1&-1&-1&+1&0&+1\\+1&+1&-1&-1&+1&0\end{pmatrix}}$.

Όλοι οι άλλοι πίνακες διάσκεψης τάξης 6 προκύπτουν από αυτόν με αντιστροφή των προσήμων κάποιας γραμμής ή/και στήλης (και με μεταθέσεις γραμμών ή/και στηλών, σύμφωνα με τον χρησιμοποιούμενο ορισμό).

Αντισυμμετρικοί πίνακες διάσκεψης

Οι αντισυμμετρικοί πίνακες μπορούν επίσης να παραχθούν με την κατασκευή Πάλεϊ. Έστω q μια πρώτη δύναμη με υπόλοιπο 3 mod 4. Τότε υπάρχει ένας διγράφος Πάλεϊ τάξης q που οδηγεί σε έναν αντισυμμετρικό πίνακα διάσκεψης τάξης n = q + 1. Ο πίνακας προκύπτει λαμβάνοντας για S τον πίνακα q × q που έχει +1 στη θέση (i, j ) και -1 στη θέση (j, i) αν υπάρχει τόξο του διγράφου από i σε j, και μηδενική διαγώνιο. Τότε ο C που κατασκευάστηκε όπως παραπάνω από τον S, αλλά με την πρώτη γραμμή να είναι όλη αρνητική, είναι ένας αντισυμμετρικός πίνακας διάσκεψης.

Αυτή η κατασκευή λύνει μόνο ένα μικρό μέρος του προβλήματος να αποφασίσουμε για ποιους ζυγούς αριθμούς n υπάρχουν αντισυμμετρικοί πίνακες διάσκεψης τάξης n.

Γενικεύσεις

Μερικές φορές ένας πίνακας διάσκεψης τάξης n ορίζεται απλά ως ένας πίνακας ζύγισης της μορφής W(n, n-1), όπου W(n,w) W(n,w) λέγεται ότι έχει βάρος w > 0 και τάξης n αν είναι ένας τετραγωνικός πίνακας μεγέθους n με καταχωρήσεις από {-1, 0, +1} που ικανοποιεί W W^T = w I. Χρησιμοποιώντας αυτόν τον ορισμό, το μηδενικό στοιχείο δεν απαιτείται πλέον να βρίσκεται στη διαγώνιο, αλλά είναι εύκολο να δούμε ότι εξακολουθεί να υπάρχει ακριβώς ένα μηδενικό στοιχείο σε κάθε γραμμή και στήλη. Παραδείγματος χάριν, ο πίνακας

${\begin{pmatrix}1&0&1&1\\0&-1&-1&1\\1&-1&0&-1\\1&1&-1&0\end{pmatrix}}$

θα ικανοποιούσε αυτόν τον χαλαρό ορισμό, αλλά όχι τον πιο αυστηρό ορισμό που απαιτεί τα μηδενικά στοιχεία να βρίσκονται στη διαγώνιο.

Ο σχεδιασμός διάσκεψης είναι μια γενίκευση των πινάκων διάσκεψης σε μη ορθογώνιους πίνακες. Ένας σχεδιασμός διάσκεψης C είναι ένας $N\times k$ πίνακας, με καταχωρήσεις από {-1, 0, +1} που ικανοποιεί την $W^{\mathrm {T} }W=(N-1)I_{k}$, όπου $I_{k}$ είναι ο πίνακας ταυτότητας $k\times k$ και το πολύ ένα μηδέν σε κάθε γραμμή. Οι αναδιπλούμενοι σχεδιασμοί των συνεδριακών σχεδιασμών μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως οριστικοί σχεδιασμοί διαλογής.

Κυκλώματα τηλεδιάσκεψης

Το τετριμμένο 2-port δίκτυο τηλεδιάσκεψης

Ο Μπελέβιτς πέτυχε πλήρεις λύσεις για πίνακες διάσκεψης για όλες τις τιμές του n μέχρι 38 και παρείχε κυκλώματα για μερικούς από τους μικρότερους πίνακες. Ένα ιδεώδες δίκτυο διάσκεψης είναι ένα δίκτυο όπου η απώλεια σήματος οφείλεται εξ ολοκλήρου στη διαίρεση του σήματος μεταξύ πολλαπλών θυρών συνδρομητών συνδιάσκεψης. Δηλαδή, δεν υπάρχουν απώλειες διάχυσης εντός του δικτύου. Το δίκτυο πρέπει να περιέχει μόνο ιδεώδους μετασχηματιστές και καμία αντίσταση. Ένα ιδεώδες δίκτυο διάσκεψης n θυρών υπάρχει εάν και μόνο εάν υπάρχει ένας πίνακας διάσκεψης τάξης n. Παραδείγματος χάριν, ένα δίκτυο διάσκεψης 3 θυρών μπορεί να κατασκευαστεί με το γνωστό κύκλωμα υβριδικού μετασχηματιστή που χρησιμοποιείται για τη μετατροπή από 2 σε 4 καλώδια σε τηλεφωνικά ακουστικά και επαναλήπτες γραμμών. Ωστόσο, δεν υπάρχει πίνακας διάσκεψης τάξης 3 και αυτό το κύκλωμα δεν παράγει ένα ιδεώδες δίκτυο διάσκεψης. Χρειάζεται μια αντίσταση για την προσαρμογή η οποία διαχέει το σήμα, αλλιώς το σήμα χάνεται μέσω της κακής προσαρμογής.

Η υλοποίηση του 6-port ιδεώδους συνεδριακού δικτύου από τον Μπελέβιτς Η υλοποίηση του 6-port ιδεώδους συνεδριακού δικτύου από τον Μπελέβιτς   Η υλοποίηση του 10-port ιδεώδους συνεδριακού δικτύου από τον Μπελέβιτς Η υλοποίηση του 10-port ιδεώδους συνεδριακού δικτύου από τον Μπελέβιτς

περισσότερα από ένα πιθανά αθροίσματα δύο τετραγώνων για n-1 θα υπάρχουν πολλαπλές ουσιαστικά διαφορετικές λύσεις για το αντίστοιχο δίκτυο διάσκεψης. Αυτή η κατάσταση συμβαίνει σε n 26 και 66. Τα δίκτυα είναι ιδιαίτερα απλά όταν το n−1 είναι τέλειο τετράγωνο (n = 2, 10, 26, ...).

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Εσωτερικό γινόμενο
• Αντιερμιτιανός πίνακας
• Πίνακας (μαθηματικά)
• Τριγωνικός πίνακας
• Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Ελλειπτική γεωμετρία
• Δυναμικό σύστημα
• Μετασχηματιστής
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form
• Algorithm overview

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix calculator
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Integral Matrices
• An Introduction to Computational Physics
• Control Theory Methods in Economics
• Numerical Fourier Analysis
• Compositions of Quadratic Forms, Τόμος 33
• Matrix-analytic Methods: Theory And Applications - Proceedings Of The Fourth ....
• Conference Matrices for Optimizing and Applications: High-Precision ...

Δημοσιεύσεις

• Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9. 
• Belevitch V (1950). «Theory of 2n-terminal networks with applications to conference telephony». Electrical Communication 27: 231–244. 
• Goethals J.M., Seidel J.J. (1967). «Orthogonal matrices with zero diagonal». Canadian Journal of Mathematics 19: 1001–1010. doi:10.4153/cjm-1967-091-8. https://archive.org/details/sim_canadian-journal-of-mathematics_1967_19_5/page/1001. 
• Lili Xiao and Dennis K. J. Lin and Fengshan Bai (2012). «Constructing Definitive Screening Designs Using Conference Matrices». Journal of Quality Technology 44 (1): 2–8. doi:10.1080/00224065.2012.11917877. 
• Seidel, J.J. (1991), ed. D.G. Corneil and R. Mathon, Geometry and Combinatorics: Selected Works of J.J. Seidel. Boston: Academic Press. Several of the articles are related to conference matrices and their graphs.
• Colbourn, Charles J.; Dinitz, Jeffrey H. (2007) Handbook of Combinatorial Designs, Boca Raton, Florida: Chapman and Hall/CRC Press, (ISBN 1-58488-506-8).
• van Lint, Jacobus Hendricus; Wilson, Richard Michael (2001) A Course in Combinatorics, Cambridge: Cambridge University Press, (ISBN 0-521-00601-5).
• Stinson, Douglas Robert (2004) Combinatorial Designs: Constructions and Analysis, New York: Springer, (ISBN 0-387-95487-2).
• Eric D. Schoen, Pieter T. Eendebak, Peter Goos (2018). «A Classification Criterion for Definitive Screening Designs». Annals of Statistics. 

Παραπομπές

• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN 0-395-14017-X, https://archive.org/details/firstcourseinlin0000beau 
• Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016 
• N. A. Balonin, Jennifer Seberry, "A Review and New Symmetric Conference Matrices", Research Online, University of Wollongong, 2014. Appendix lists all known and possible conference matrices up to 1002.