Πίνακας Ζορντάν

Στον μαθηματικό κλάδο της θεωρίας πινάκων, ένας Πίνακας Ζορντάν^[1], που πήρε το όνομά του από τον Καμίλ Ζορντάν^[2], είναι ένας σύνθετος διαγώνιος πίνακας πάνω σε έναν δακτύλιο $R$ (του οποίου οι ταυτότητες είναι το μηδέν 0 και το ένα 1), όπου κάθε σύνθετος πίνακας κατά μήκος της διαγωνίου, που ονομάζεται σύνθετος πίνακας Ζορντάν, έχει την ακόλουθη μορφή:

${\begin{bmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&\lambda \end{bmatrix}}.$

Ορισμός

Κάθε σύνθετος Ζορνταν καθορίζεται από τη διάστασή του n και την ιδιοτιμή του $\lambda \in R$ , και συμβολίζεται ως $J λ, n$ . Είναι ένας $n\times n$ πίνακας μηδενικών παντού εκτός από τη διαγώνιο, η οποία είναι γεμάτη με $\lambda$ και για την υπερδιαγώνιο, η οποία αποτελείται από μονάδες.^[3]

Κάθε διαγώνιος πίνακας του οποίου τα σύνθετα είναι σύνθετα Ζορντάν ονομάζεται πίνακας Ζορντάν. Αυτός ο $(n 1 + \dots + n r) \times (n 1 + \dots + n r)$ τετραγωνικός πίνακας, αποτελούμενος από $r$ διαγώνια σύνθετα, μπορεί να αναφερθεί συμπαγώς ως $J_{\lambda _{1},n_{1}}\oplus \cdots \oplus J_{\lambda _{r},n_{r}}$ ή $\mathrm {diag} \left(J_{\lambda _{1},n_{1}},\ldots ,J_{\lambda _{r},n_{r}}\right)$ , όπου το i-th σύνθετα Ζορντάν είναι το $J λ i, n i$ .

Παραδείγματος χάριν, ο πίνακας

$J=\left[{\begin{array}{ccc|cc|cc|ccc}0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\\hline 0&0&0&i&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&i&0&0&0&0&0\\\hline 0&0&0&0&0&i&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&i&0&0&0\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&7&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&7&1\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&7\end{array}}\right]$

είναι ένας πίνακας Ζορντάν $10 \times 10$ με ένα σύνθετο $3 \times 3$ με ιδιοτιμή $0$ , δύο σύνθετα $2 \times 2$ με ιδιοτιμή τη φανταστική μονάδα $i$ και ένα σύνθετο $3 \times 3$ με ιδιοτιμή 7. Η δομή του σύνθτου Ζορντάν γράφεται είτε ως $J_{0,3}\oplus J_{i,2}\oplus J_{i,2}\oplus J_{7,3}$ είτε ως $diag(J 0,3, J i,2, J i,2, J 7,3)$ .

Γραμμική άλγεβρα

Κάθε $n' \times n$ τετραγωνικός πίνακας $A$ του οποίου τα στοιχεία βρίσκονται σε ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα $K$ είναι παρόμοιος με έναν πίνακα Ζορντάν $J$ , επίσης στο $\mathbb {M} _{n}(K)$ , ο οποίος είναι μοναδικός μέχρι μια μεταβολή των ίδιων των διαγώνιων σύνθετών του. Ο $J$ ονομάζεται κανονική μορφή Ζορντάν του $A$ και αντιστοιχεί σε μια γενίκευση της διαδικασίας διαγωνοποίησης.^[4]^[5]^[6] Ένας διαγωνοποιήσιμος πίνακας είναι παρόμοιος, στην πραγματικότητα, με μια ειδική περίπτωση του πίνακα Ζορντάν: ο πίνακας του οποίου τα σύνθετα είναι όλα $1 \times 1$ .^[7]^[8]^[9]

Γενικότερα, δεδομένου ενός πίνακα Ζορντάν $J=J_{\lambda _{1},m_{1}}\oplus J_{\lambda _{2},m_{2}}\oplus \cdots \oplus J_{\lambda _{N},m_{N}}$ , δηλαδή του οποίου το $k$ -th διαγώνιο σύνθετο, $1\leq k\leq N$ , είναι το σύνθετο Ζορνταν $J λ k, m k$ και του οποίου τα διαγώνια στοιχεία $\lambda _{k}$ μπορεί να μην είναι όλα διακριτά, η γεωμετρική πολλαπλότητα του $\lambda \in K$ για τον πίνακα $J$ , που υποδεικνύεται ως $\operatorname {gmul} _{J}\lambda$ , αντιστοιχεί στον αριθμό των σύνθετων Ζορντάν των οποίων η ιδιοτιμή είναι $λ$ . Ενώ ο δείκτης μιας ιδιοτιμής $\lambda$ για τον $J$ , που υποδεικνύεται ως idx $\operatorname {idx} _{J}\lambda$ , ορίζεται ως η διάσταση του μεγαλύτερου σύνθετου Ζορντάν που σχετίζεται με αυτή την ιδιοτιμή.

Το ίδιο ισχύει για όλους τους πίνακες $A$ που είναι παρόμοιοι με τον $J$ , οπότε $\operatorname {idx} _{A}\lambda$ μπορεί να οριστεί αναλόγως σε σχέση με την κανονική μορφή Ζορντάν του $A$ για οποιαδήποτε από τις ιδιοτιμές του $\lambda \in \operatorname {spec} A$ . Σε αυτή την περίπτωση μπορεί κανείς να ελέγξει ότι ο δείκτης του $\lambda$ για το $A$ είναι ίσος με την πολλαπλότητα του ως ρίζα του ελάχιστου πολυωνύμου του $A$ (ενώ, εξ ορισμού, η αλγεβρική πολλαπλότητα του για το $A$ , $\operatorname {mul} _{A}\lambda$ , είναι η πολλαπλότητά της ως ρίζα του χαρακτηριστικού πολυωνύμου του $A$ , δηλαδή $\det(A-xI)\in K[x]$ ). Μια ισοδύναμη αναγκαία και ικανή συνθήκη για να είναι το $A$ διαγωνοποιήσιμο στο $K$ είναι ότι όλες οι ιδιοτιμές του έχουν δείκτη ίσο με $1$ , δηλαδή το ελάχιστο πολυώνυμό του έχει μόνο απλές ρίζες.

Ας σημειωθεί ότι η γνώση του φάσματος ενός πίνακα με όλες τις αλγεβρικές/γεωμετρικές πολλαπλότητες και τους δείκτες του δεν επιτρέπει πάντοτε τον υπολογισμό της κανονικής μορφής του Ζορντάν (αυτό μπορεί να είναι επαρκής συνθήκη μόνο για φασματικά απλούς, συνήθως χαμηλής διάστασης πίνακες). Πράγματι, ο προσδιορισμός της κανονικής μορφής Ζορντάν είναι γενικά ένα υπολογιστικά δύσκολο έργο. Από τη σκοπιά του διανυσματικού χώρου, η κανονική μορφή Ζορντάν ισοδυναμεί με την εύρεση μιας ορθογώνιας αποσύνθεσης (δηλαδή, μέσω άμεσων αθροισμάτων ιδιοχώρων που αναπαρίστανται από σύνθετο Ζορντάν) του πεδίου για το οποίο τα συσχετιζόμενα γενικευμένα ιδιοδιανύσματα αποτελούν βάση.

Συναρτήσεις πινάκων

Έστω $A\in \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )$ (δηλαδή ένας $n \times n$ μιγαδικός πίνακας) και $C\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )$ να είναι η αλλαγή του πίνακα βάσης στην κανονική μορφή Ζορντάν του $A$ , δηλαδή $A = C -1 JC$ . Έστω τώρα $f (z)$ μια ολομορφική συνάρτηση σε ένα ανοικτό σύνολο $\Omega$ τέτοια ώστε $\mathrm {spec} A\subset \Omega \subseteq \mathbb {C}$ , δηλαδή, το φάσμα του πίνακα περιέχεται μέσα στην περιοχή της ολομορφίας της $f$ . Έστω

$f(z)=\sum _{h=0}^{\infty }a_{h}(z-z_{0})^{h}$

να είναι το ανάπτυγμα της δυναμοσειράς της $f$ γύρω από το $z_{0}\in \Omega \setminus \operatorname {spec} A$ , η οποία στο εξής υποτίθεται ότι είναι 0 για λόγους απλότητας. Ο πίνακας $f (A)$ ορίζεται τότε μέσω της ακόλουθης τυπικής δυναμοσειράς

$f(A)=\sum _{h=0}^{\infty }a_{h}A^{h}$

και είναι απολύτως συγκλίνουσα ως προς την ευκλείδεια νόρμα του $\mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )$ . Για να το θέσουμε αλλιώς, $f (A)$ συγκλίνει απόλυτα για κάθε τετραγωνικό πίνακα του οποίου η φασματική ακτίνα είναι μικρότερη από την ακτίνα σύγκλισης του $f$ γύρω από το $0$ και είναι ομοιόμορφα συγκλίνουσα σε κάθε συμπαγές υποσύνολο του $\mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )$ που ικανοποιεί αυτή την ιδιότητα στην τοπολογία της ομάδας Λι του πίνακα.

Η κανονική μορφή Ζορντάν επιτρέπει τον υπολογισμό συναρτήσεων πινάκων χωρίς τον ρητό υπολογισμό μιας άπειρης σειράς, γεγονός που αποτελεί ένα από τα κύρια επιτεύγματα των πινάκων Ζορντάν. Με τη χρήση των δεδομένων ότι η $k$ th δύναμη ( $k\in \mathbb {N} _{0}$ ) ενός διαγώνιου σύνθετου πίνακα είναι ο διαγώνιος σύνθετος πίνακας του οποίου τα σύνθετα είναι οι $k$ th δύναμη των αντίστοιχων σύνθετων, δηλαδή, $\left(A_{1}\oplus A_{2}\oplus A_{3}\oplus \cdots \right)^{k}=A_{1}^{k}\oplus A_{2}^{k}\oplus A_{3}^{k}\oplus \cdots$ ,, και ότι $A k = C -1 J k C$ , η παραπάνω δυναμοσειρά του πίνακα γίνεται

$f(A)=C^{-1}f(J)C=C^{-1}\left(\bigoplus _{k=1}^{N}f\left(J_{\lambda _{k},m_{k}}\right)\right)C$

όπου η τελευταία σειρά δεν χρειάζεται να υπολογιστεί ρητά μέσω δυναμοσειρών κάθε σύνθετο Ζορντάν. Στην πραγματικότητα, αν $\lambda \in \Omega$ , κάθε ολομορφική συνάρτηση ενός σύνθετου Ζορντάν $f(J_{\lambda ,n})=f(\lambda I+Z)$ έχει μια πεπερασμένη δυναμοσειρά γύρω από το $\lambda I$ επειδή $Z^{n}=0$ . Εδώ, το $Z$ είναι το μηδενικό μέρος του $J$ και το $Z^{k}$ έχει όλα τα 0 εκτός από τα 1 κατά μήκος της υπερδιαγωνίου $k^{\text{th}}$ . Έτσι είναι ο ακόλουθος άνω τριγωνικός πίνακας:

$f(J_{\lambda ,n})=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(\lambda )Z^{k}}{k!}}={\begin{bmatrix}f(\lambda )&f^{\prime }(\lambda )&{\frac {f^{\prime \prime }(\lambda )}{2}}&\cdots &{\frac {f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}}&{\frac {f^{(n-1)}(\lambda )}{(n-1)!}}\\0&f(\lambda )&f^{\prime }(\lambda )&\cdots &{\frac {f^{(n-3)}(\lambda )}{(n-3)!}}&{\frac {f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}}\\0&0&f(\lambda )&\cdots &{\frac {f^{(n-4)}(\lambda )}{(n-4)!}}&{\frac {f^{(n-3)}(\lambda )}{(n-3)!}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &f(\lambda )&f^{\prime }(\lambda )\\0&0&0&\cdots &0&f(\lambda )\\\end{bmatrix}}.$

Ως συνέπεια αυτού, ο υπολογισμός οποιασδήποτε συνάρτησης ενός πίνακα είναι απλός όποτε είναι γνωστή η κανονική του μορφή Ιορδάνη και ο πίνακας αλλαγής βάσης. Παραδείγματος χάριν, χρησιμοποιώντας $f(z)=1/z$ , η αντιστροφή του $J_{\lambda ,n}$ είναι:

$J_{\lambda ,n}^{-1}=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-Z)^{k}}{\lambda ^{k+1}}}={\begin{bmatrix}\lambda ^{-1}&-\lambda ^{-2}&\,\,\,\lambda ^{-3}&\cdots &-(-\lambda )^{1-n}&\,-(-\lambda )^{-n}\\0&\;\;\;\lambda ^{-1}&-\lambda ^{-2}&\cdots &-(-\lambda )^{2-n}&-(-\lambda )^{1-n}\\0&0&\,\,\,\lambda ^{-1}&\cdots &-(-\lambda )^{3-n}&-(-\lambda )^{2-n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &\lambda ^{-1}&-\lambda ^{-2}\\0&0&0&\cdots &0&\lambda ^{-1}\\\end{bmatrix}}.$

Επίσης, $spec f (A) = f (spec A)$ , δηλαδή, κάθε ιδιοτιμή $\lambda \in \mathrm {spec} A$ αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή $f(\lambda )\in \operatorname {spec} f(A)$ , αλλά έχει, γενικά, διαφορετική αλγεβρική πολλαπλότητα, γεωμετρική πολλαπλότητα και δείκτη. Ωστόσο, η αλγεβρική πολλαπλότητα μπορεί να υπολογιστεί ως εξής:

${\text{mul}}_{f(A)}f(\lambda )=\sum _{\mu \in {\text{spec}}A\cap f^{-1}(f(\lambda ))}~{\text{mul}}_{A}\mu .$

Η συνάρτηση $f (T)$ ενός γραμμικού μετασχηματισμού $T$ μεταξύ διανυσματικών χώρων μπορεί να οριστεί με παρόμοιο τρόπο σύμφωνα με τον ολομορφικό συναρτησιακό λογισμό, όπου οι θεωρίες των χώρων Μπάναχ και των επιφανειών Ρίμαν παίζουν θεμελιώδη ρόλο. Στην περίπτωση των πεπερασμένων διαστάσεων χώρων, και οι δύο θεωρίες ταιριάζουν απόλυτα.

Δυναμικά συστήματα

Ας υποθέσουμε τώρα ότι ένα (σύνθετο) δυναμικό σύστημα ορίζεται απλά από την εξίσωση

${\begin{aligned}{\dot {\mathbf {z} }}(t)&=A(\mathbf {c} )\mathbf {z} (t),\\\mathbf {z} (0)&=\mathbf {z} _{0}\in \mathbb {C} ^{n},\end{aligned}}$

όπου $\mathbf {z} :\mathbb {R} _{+}\to {\mathcal {R}}$ είναι η ( $n$ -διάστατη) παραμετροποίηση καμπύλης μιας τροχιάς στην επιφάνεια Ρίμαν ${\mathcal {R}}$ του δυναμικού συστήματος, ενώ $A (c)$ είναι ένας $n \times n$ σύνθετος πίνακας του οποίου τα στοιχεία είναι σύνθετες συναρτήσεις μιας $d$ -διάστατης παραμέτρου $\mathbf {c} \in \mathbb {C} ^{d}$ .

Ακόμη και αν $A\in \mathbb {M} _{n}\left(\mathrm {C} ^{0}\left(\mathbb {C} ^{d}\right)\right)$ (δηλαδή το $A$ εξαρτάται συνεχώς από την παράμετρο $c$ ) η κανονική μορφή Ζορντάν του πίνακα παραμορφώνεται συνεχώς σχεδόν παντού στο $\mathbb {C} ^{d}$ αλλά, γενικά, όχι παντού: υπάρχει κάποια κρίσιμη υποδιαστολή της $\mathbb {C} ^{d}$ στην οποία η μορφή Ζορντάν αλλάζει απότομα τη δομή της κάθε φορά που η παράμετρος τη διασχίζει ή απλώς "ταξιδεύει" γύρω της (μονοδρομία). Τέτοιες αλλαγές σημαίνουν ότι πολλά σύνθετα Ζορντάν (είτε ανήκουν σε διαφορετικές ιδιοτιμές είτε όχι) ενώνονται σε ένα μοναδικό σύνθετο Ζορντάν, ή το αντίστροφο (δηλαδή, ένα σύνθετο Ζορντάν διασπάται σε δύο ή περισσότερα διαφορετικά). Πολλές πτυχές της θεωρίας διακλάδωσης τόσο για συνεχή όσο και για διακριτά δυναμικά συστήματα μπορούν να ερμηνευθούν με την ανάλυση των λειτουργικών πινάκων Ζορντάν.

Από τη δυναμική του εφαπτόμενου χώρου, αυτό σημαίνει ότι η ορθογώνια αποσύνθεση του χώρου φάσεων του δυναμικού συστήματος αλλάζει και, για παράδειγμα, διαφορετικές τροχιές αποκτούν περιοδικότητα ή τη χάνουν ή μετατοπίζονται από ένα συγκεκριμένο είδος περιοδικότητας σε ένα άλλο (όπως ο διπλασιασμός περιόδου, βλ. λογιστικός χάρτης).

Σε μια πρόταση, η ποιοτική συμπεριφορά ενός τέτοιου δυναμικού συστήματος μπορεί να αλλάξει ουσιωδώς ως η πολύπλευρη παραμόρφωση της κανονικής μορφής Ζορντάν της $A (c)$ .

Γραμμικές συνήθεις διαφορικές εξισώσεις

Το απλούστερο παράδειγμα ενός δυναμικού συστήματος είναι ένα σύστημα γραμμικών, με σταθερό συντελεστή, συνήθων διαφορικών εξισώσεων- δηλαδή, έστω $A\in \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )$ και $\mathbf {z} _{0}\in \mathbb {C} ^{n}$ :

${\begin{aligned}{\dot {\mathbf {z} }}(t)&=A\mathbf {z} (t),\\\mathbf {z} (0)&=\mathbf {z} _{0},\end{aligned}}$

του οποίου η άμεση λύση σε κλειστή μορφή περιλαμβάνει τον υπολογισμό του εκθετικού πίνακα: $\mathbf {z} (t)=e^{tA}\mathbf {z} _{0}.$

Ένας άλλος τρόπος, υπό την προϋπόθεση ότι η λύση περιορίζεται στον τοπικό χώρο Λεμπέσκ των $n$ -διάστατων διανυσματικών σωμάτων

$\mathbf {z} \in \mathrm {L} _{\mathrm {loc} }^{1}(\mathbb {R} _{+})^{n}$ , είναι να χρησιμοποιηθεί ο μετασχηματισμός Λαπλάς $\mathbf {Z} (s)={\mathcal {L}}[\mathbf {z} ](s)$ . Σε αυτή την περίπτωση

$\mathbf {Z} (s)=\left(sI-A\right)^{-1}\mathbf {z} _{0}.$

Η συνάρτηση του πίνακα $(A - sI) -1$ ονομάζεται πίνακας επίλυσης του διαφορικού τελεστή ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}-A}$ . Είναι μερομορφικός ως προς τη μιγαδική παράμετρο $s\in \mathbb {C}$ αφού τα στοιχεία του πίνακα είναι ρητές συναρτήσεις των οποίων ο παρονομαστής είναι ίσος για όλους με $det(A' - sI)$ }. Οι πολικές ιδιάζουσες ιδιαιτερότητές του είναι οι ιδιοτιμές του $A$ , των οποίων η τάξη ισούται με τον δείκτη τους γι' αυτόν, δηλαδή $\mathrm {ord} _{(A-sI)^{-1}}\lambda =\mathrm {idx} _{A}\lambda$ .

Δημοσιεύσεις

Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf.
Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9.
Belevitch V (1950). «Theory of 2n-terminal networks with applications to conference telephony». Electrical Communication 27: 231–244.
Goethals J.M., Seidel J.J. (1967). «Orthogonal matrices with zero diagonal». Canadian Journal of Mathematics 19: 1001–1010. doi:10.4153/cjm-1967-091-8. https://archive.org/details/sim_canadian-journal-of-mathematics_1967_19_5/page/1001.
Wilson, Robin (2018). Euler's Pioneering Equation: The Most Beautiful Theorem in Mathematics. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-879492-9. MR 3791469.
Damask, Jay N. (2004). Polarization Optics in Telecommunications. Springer. ISBN 0-387-22493-9.
Goldstein, Dennis· Dekker, Marcel (2003). Polarized Light (2nd έκδοση). Taylor & Francis. ISBN 0-8247-4053-X.
Karlsen, Leif (2003). Secrets of the Viking Navigators: How the Vikings used their amazing sunstones and other techniques to cross the open oceans. One Earth Press.
Können, G. P. (1985). Polarized Light in Nature. Μτφρ. Beerling, G. A. Cambridge University. ISBN 0-521-25862-6.
Pye, David (2001). Polarised Light in Science and Nature. Institute of Physics. ISBN 0-7503-0673-4.
Shurcliff, William A. (1962). Polarized Light, Production and Use. Harvard University.

Δείτε επίσης

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Παραπομπές

↑ «Jordan matrix - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 21 Αυγούστου 2024.
↑ «Camille Jordan - Biography». Maths History (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 21 Αυγούστου 2024.
↑ McCrimmon, Kevin (14 Νοεμβρίου 2003). A Taste of Jordan Algebras. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-95447-9.
↑ Beauregard & Fraleigh (1973, pp. 310–316)
↑ Golub & Van Loan (1996, p. 317)
↑ Nering (1970, pp. 118–127)
↑ Beauregard & Fraleigh (1973, pp. 270–274)
↑ Golub & Van Loan (1996, p. 316)
↑ Nering (1970, pp. 113–118)

Paley, R.E.A.C. (1933). «On orthogonal matrices». Journal of Mathematics and Physics 12: 311–320. doi:10.1002/sapm1933121311.
Zbl 0007.10004
.
Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Co., ISBN 0-395-14017-X, https://archive.org/details/firstcourseinlin0000beau
Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3rd έκδοση), Baltimore: Johns Hopkins University Press, ISBN 0-8018-5414-8
Nering, Evar D. (1970), Linear Algebra and Matrix Theory (2nd έκδοση), New York: Wiley

[1] «Jordan matrix - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 21 Αυγούστου 2024.

[2] «Camille Jordan - Biography». Maths History (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 21 Αυγούστου 2024.

[3] McCrimmon, Kevin (14 Νοεμβρίου 2003). A Taste of Jordan Algebras. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-95447-9.

[4] Beauregard & Fraleigh (1973, pp. 310–316)

[5] Golub & Van Loan (1996, p. 317)

[6] Nering (1970, pp. 118–127)

[7] Beauregard & Fraleigh (1973, pp. 270–274)

[8] Golub & Van Loan (1996, p. 316)

[9] Nering (1970, pp. 113–118)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]