Νόμος των Μπιό-Σαβάρ

Ο νόμος των Μπιό-Σαβάρ (Biot- Savart) είναι μια εξίσωση του ηλεκτρομαγνητισμού που περιγράφει το διάνυσμα της μαγνητικής επαγωγής $\mathbf {B}$ (επίσης καλούμενο "ένταση του μαγνητικού πεδίου") μέσω του μέτρου και της διεύθυνσης του ηλεκτρικού ρεύματος, της απόστασης από το ηλεκτρικό ρεύμα, και της μαγνητικής διαπερατότητας.

Η σημασία του νόμου των Μπιό-Σαβάρ έγκειται στο ότι είναι ένας νόμος αντίστροφου τετραγώνου, που αποτελεί λύση στο νόμο του Αμπέρ. Είναι επίσης λύση της εξίσωσης στροβιλότητας: $\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} =\mathbf {B}$ , όπου το $\mathbf {A}$ μπορεί να θεωρηθεί ως το μαγνητικό διανυσματικό δυναμικό του $\mathbf {B}$ . Παρέχει λοιπόν τη λύση του πεδίου $\mathbf {B}$ στις εξισώσεις του Μάξγουελ, όπως ακριβώς ο νόμος του Κουλόμπ παρέχει τη λύση του πεδίου $\mathbf {E}$ .

Η ίδια εξίσωση, και με την ίδια ονομασία, χρησιμοποιείται επίσης στην αεροδυναμική για τη μοντελοποίηση του πεδίου ταχυτήτων στη περιοχή γύρω από μία δίνη (vortex)^[1] ^[2] ^[3].

Εισαγωγή

Ο νόμος των Μπιό-Σαβάρ είναι τόσο θεμελιώδης για τη μαγνητοστατική, όσο είναι ο νόμος του Κουλόμπ για την ηλεκτροστατική.

Πιο συγκεκριμένα, εάν ορίσουμε ένα απειροστό στοιχείο ρεύματος

Id\mathbf {l} ,

τότε το αντίστοιχο διαφορικό στοιχείο του μαγνητικού πεδίου είναι

d\mathbf {B} =K_{m}{\frac {Id\mathbf {l} \times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}

όπου

K_{m}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\,

, όπου

\mu _{0}

είναι η μαγνητική σταθερά,

I\mathbf {}

είναι το ρεύμα, το οποίο μετριέται σε Αμπέρ,

d\mathbf {l}

είναι το διαφορικό διάνυσμα μήκους του στοιχείου ρεύματος,

\mathbf {\hat {r}}

είναι το μοναδιαίο διάνυσμα με διεύθυνση από το στοιχείο ρεύματος στο σημείο που υπολογίζεται το πεδίο Β,

r\mathbf {}

είναι η απόσταση από το στοιχείο ρεύματος στο σημείο του πεδίου Β.

Μορφές

Γενικά

Στη μαγνητοστατική, το μαγνητικό πεδίο μπορεί να προσδιοριστεί εάν είναι γνωστή η πυκνότητα ρεύματος $\mathbf {J}$ :

\mathbf {B} =K_{m}\int {{\frac {\mathbf {J} \times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}dv}

όπου

\mathbf {\hat {r}} ={\mathbf {r}  \over r}

είναι το μοναδιαίο διάνυσμα στη διεύθυνση του

\mathbf {r}

και

dv

= είναι το διαφορικό στοιχείο όγκου.

Συνεχές ομογενές ρεύμα

Στην ειδική περίπτωση ενός σταθερού, ομογενούς ρεύματος $\mathbf {I}$ , το μαγνητικό πεδίο $\mathbf {B}$ είναι

\mathbf {B} =K_{m}I\int {\frac {d\mathbf {l} \times \mathbf {\hat {r}} }{r^{2}}}

Σημειακό φορτίο με σταθερή ταχύτητα

Στην ειδική περίπτωση ενός σημειακού φορτισμένου σωματιδίου $q\mathbf {}$ που κινείται με σταθερή ταχύτητα $\mathbf {v}$ , η παραπάνω εξίσωση για το μαγνητικό πεδίο παίρνει τη μορφή: