Κυκλικός νόμος

Στη θεωρία πιθανοτήτων, και πιο συγκεκριμένα στη μελέτη των τυχαίων πινάκων, ο κυκλικός νόμος αφορά την κατανομή των ιδιοτιμών ενός τυχαίου πίνακαn × n με ανεξάρτητες και πανομοιότυπα κατανεμημένες καταχωρήσεις στο όριο n → ∞.

Ισχυρίζεται ότι για οποιαδήποτε ακολουθία τυχαίων πινάκων n × n των οποίων οι καταχωρήσεις είναι ανεξάρτητες και πανομοιότυπα κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές, όλες με μέση τιμή μηδέν και διακύμανση ίση με 1/n, η οριακή φασματική κατανομή είναι η ομοιόμορφη κατανομή πάνω στον μοναδιαίο δίσκο.

Σύνολα Ζινίμπρ

Το σύνθετο σύνολο Ζινίμπρ ορίζεται ως $X={\frac {1}{\sqrt {2}}}Z_{1}+{\frac {i}{\sqrt {2}}}Z_{2}$ για $Z_{1},Z_{2}\in \mathbb {R} ^{n\times n}$, με όλες τις καταχωρήσεις τους δειγματοληπτικά IID από την τυπική κανονική κατανομή ${\mathcal {N}}(0,1)$.

Το πραγματικό σύνολο Ζινίμπρ ορίζεται ως $X=Z_{1}$.

Ιδιοτιμές

Οι ιδιοτιμές της $X$ κατανέμονται σύμφωνα με

$\rho _{n}\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)={\frac {1}{\pi ^{n}\prod _{k=1}^{n}k!}}\exp \left(-\sum _{k=1}^{n}\left|z_{k}\right|^{2}\right)\prod _{1\leq j<k\leq n}\left|z_{j}-z_{k}\right|^{2}$

Απεικόνιση του πραγματικού και του φανταστικού μέρους (με κλίμακα sqrt(1000)) των ιδιοτιμών ενός πίνακα 1000x1000 με ανεξάρτητες, τυπικές κανονικές καταχωρήσεις.

Καθολικός νόμος

Έστω $(X_{n})_{n=1}^{\infty }$ μια ακολουθία δειγματοληψίας από το σύνθετο σύνολο Ζινίμπρ. Έστω ότι $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n},1\leq j\leq n$ συμβολίζουν τις ιδιοτιμές της $\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}X_{n}$ Ορίζουμε το εμπειρικό φασματικό μέτρο του $\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}X_{n}$ ως

$\mu _{{\frac {1}{\sqrt {n}}}X_{n}}(A)=n^{-1}\#\{j\leq n:\lambda _{j}\in A\}~,\quad A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {C} ).$

Τότε, σχεδόν σίγουρα (δηλαδή με πιθανότητα ένα), η ακολουθία των μέτρων $\displaystyle \mu _{{\frac {1}{\sqrt {n}}}X_{n}}$ συγκλίνει ως προς την κατανομή στο ομοιόμορφο μέτρο στον μοναδιαίο δίσκο.

Στατιστικά στοιχεία άκρων

Έστω $G_{n}$ ένα δείγμα από το πραγματικό ή μιγαδικό σύνολο, και έστω $\rho (G_{n})$ η απόλυτη τιμή της μέγιστης ιδιοτιμής του

$\rho (G_{n}):=\max _{j}|\lambda _{j}|$

Έχουμε το ακόλουθο θεώρημα για τα στατιστικά ακμών:

Στατιστικά στοιχεία ακμών του συνόλου Ζινίμπρ - Για $G_{n}$ και $\rho \left(G_{n}\right)$ όπως ανωτέρω, με πιθανότητα ένα,

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{\sqrt {n}}}\rho \left(G_{n}\right)=1$

Επιπλέον, εάν $\gamma _{n}=\log \left({\frac {n}{2\pi }}\right)-2\log(\log(n))$ και

$Y_{n}:={\sqrt {4n\gamma _{n}}}\left({\frac {1}{\sqrt {n}}}\rho \left(G_{n}\right)-1-{\sqrt {\frac {\gamma _{n}}{4n}}}\right),$

τότε το $Y_{n}$ συγκλίνει ως προς την κατανομή στο νόμο Γκάμπελ, δηλαδή το μέτρο πιθανότητας στο $\mathbb {R}$ με αθροιστική συνάρτηση κατανομής $F_{\mathrm {Gum} }(x)=e^{-e^{-x}}$.

Αυτό το θεώρημα βελτιώνει τον κυκλικό νόμο του συνόλου Ζινίμπρ. Με λίγα λόγια, ο κυκλικός νόμος λέει ότι το φάσμα του ${\frac {1}{\sqrt {n}}}G_{n}$ σχεδόν σίγουρα πέφτει ομοιόμορφα στον μοναδιαίο δίσκο. και το θεώρημα της στατιστικής των άκρων δηλώνει ότι η ακτίνα του σχεδόν μοναδιαίου δίσκου είναι περίπου $1-{\sqrt {\frac {\gamma _{n}}{4n}}}$, και κυμαίνεται σε κλίμακα ${\frac {1}{\sqrt {4n\gamma _{n}}}}$, σύμφωνα με τον νόμο Γκάμπελ.

Ιστορία

Για τυχαίους πίνακες με γκαουσιανή κατανομή των καταχωρήσεων (τα σύνολα Ζινίμπρ), ο κυκλικός νόμος καθιερώθηκε τη δεκαετία του 1960 από τον Ζαν Ζινίμπρ Τη δεκαετία του 1980, ο Βιάτσεσλαβ Γκίρκο εισήγαγε μια προσέγγιση που επέτρεψε να καθιερωθεί ο κυκλικός νόμος για πιο γενικές κατανομές. Περαιτέρω πρόοδος σημειώθηκε από τον Ζίντονγκ Μπάι, ο οποίος καθιέρωσε τον κυκλικό νόμο υπό ορισμένες υποθέσεις ομαλότητας της κατανομής.

Οι παραδοχές χαλαρώθηκαν περαιτέρω στις εργασίες των Τέρενς Τάο και Βαν Χ. Βου, Γκουανγκμίνγκ Παν και Γουάνγκ Ζου, και Φρίντριχ Γκότσε και Αλεξάντερ Τιχομίροφ. Τέλος, το 2010 οι Τάο και Βου απέδειξαν τον κυκλικό νόμο υπό τις ελάχιστες παραδοχές που αναφέρθηκαν παραπάνω.

Το αποτέλεσμα του κυκλικού νόμου επεκτάθηκε το 1985 από τον Γίρκο σε έναν ελλειπτικό νόμο για σύνολα πινάκων με σταθερή ποσότητα συσχέτισης μεταξύ των καταχωρήσεων πάνω και κάτω από τη διαγώνιο. Ο ελλειπτικός και ο κυκλικός νόμος γενικεύτηκαν περαιτέρω από τους Ασιτούνο, Ρότζερς και Σόμερους στον υποτροχοειδή νόμο που περιλαμβάνει συσχετίσεις υψηλότερης τάξης.

Δημοσιεύσεις

• Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9. 
• Belevitch V (1950). «Theory of 2n-terminal networks with applications to conference telephony». Electrical Communication 27: 231–244. 
• Bareiss, E. H. (1969), «Numerical solution of linear equations with Toeplitz and vector Toeplitz matrices», Numerische Mathematik 13 (5): 404–424, doi:10.1007/BF02163269 
• Goldreich, O.; Tal, A. (2018), «Matrix rigidity of random Toeplitz matrices», Computational Complexity 27 (2): 305–350, doi:10.1007/s00037-016-0144-9 
• Diodorus Siculus, Bibliotheca Historica. Vol. 1–2. Immanel Bekker. Ludwig Dindorf. Friedrich Vogel. in aedibus B. G. Teubneri. Leipzig. 1888–1890. Greek text available at the Perseus Digital Library.
• O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor, J. Z. Zhu : The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals, Butterworth-Heinemann (2005).
• Francis, J. G. F. (1962), «The QR Transformation, II (part 2)», The Computer Journal 4 (4): 332–345, doi:10.1093/comjnl/4.4.332 
• Friedberg, Stephen H.; Insel, Arnold J.; Spence, Lawrence E. (1989), Linear algebra (2nd έκδοση), Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, ISBN 0-13-537102-3 
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix computations (3rd έκδοση), Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press, ISBN 978-0-8018-5414-9 
• Graham, D.; Midgley, N. (2000), «Graphical representation of particle shape using triangular diagrams: an Excel spreadsheet method», Earth Surface Processes and Landforms 25 (13): 1473–1477, doi:10.1002/1096-9837(200012)25:13<1473::AID-ESP158>3.0.CO;2-C 
• Hawkins, T. (1975), «Cauchy and the spectral theory of matrices», Historia Mathematica 2: 1–29, doi:10.1016/0315-0860(75)90032-4 
• Heesterbeek, J. A. P.; Diekmann, Odo (2000), Mathematical epidemiology of infectious diseases, Wiley series in mathematical and computational biology, West Sussex, England: John Wiley & Sons, //books.google.com/books?id=5VjSaAf35 
• Hefferon, Jim (2001), Linear Algebra, Colchester, VT: Online book, St Michael's College, https://joshua.smcvt.edu/linearalgebra/ 
• Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016 

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Πραγματικός αριθμός
• Αντιερμιτιανός πίνακας
• Μέγιστος κοινός διαιρέτης
• Υπολογιστική βιολογία
• Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Συμμετρικός πίνακας
• Παραμετρικές εξισώσεις
• Πολλαπλασιασμός πινάκων
• Επαναλαμβανόμενη συνάρτηση
• Ανάλυση πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές
• Κανονική κατανομή
• Θεωρία πιθανοτήτων
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix calculator
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Exercises of Matrices and Linear Algebra
• Fourier Transforms: Approach to Scientific Principles
• Euclidean Distance Matrices and Their Applications in Rigidity Theory.
• Physics and Combinatorics 2000: Proceedings of the Nagoya 2000 International ...
• Smart Grid using Big Data Analytics: A Random Matrix Theory Approach
• Stochastic Processes and Random Matrices: Lecture Notes of the Les Houches ...
• Numerical Methods in Matrix Computations ....
• Lectures on the Combinatorics of Free Probability, Τόμος 13

Παραπομπές

• Golub, Gene H.· Van Loan, Charles F. (1996). Matrix Computations. ISBN 0-8018-5414-8. 
• Horn, Roger A.· Johnson, Charles R. (1985). Matrix Analysis (Paperback έκδοση). Cambridge University Press. ISBN 0-521-38632-2. 
• Najnudel, Joseph; Nikeghbali, Ashkan (2013), «The Distribution of Eigenvalues of Randomized Permutation Matrices», Annales de l'Institut Fourier 63 (3): 773–838, http://www.numdam.org/item/AIF_2013__63_3_773_0/