Κρύσταλλος (μαθηματικά)

Στα μαθηματικά, οι κρύσταλλοι είναι καρτεσιανή τομή ορισμένων νηματικών κατηγοριών. Εισήχθησαν από τον Αλεξάντερ Γκρότεντικ (Alexander Grothendieck (1966a), ο οποίος τους ονόμασε κρυστάλλους επειδή κατά μία έννοια είναι "άκαμπτοι" και "μεγαλώνουν". Ειδικότερα, οι οιονεί συνεκτικοί κρύσταλλοι πάνω στην κρυσταλλική περιοχή είναι ανάλογοι με τις οιονεί συνεκτικές ενότητες πάνω σε ένα σχήμα.

Ένας ισοκρύσταλλος είναι ένας κρύσταλλος μέχρι ισογένειας. Είναι $p$-adic ανάλογα των $\mathbf {Q} _{l}$-adic étale δεματίων, που εισήχθησαν από τους Γκρότεντικ (Grothendieck (1966a)) και Μπέρτελοτ & Όγκους (Berthelot & Ogus (1983) (αν και ο ορισμός του ισοκρυστάλλου εμφανίζεται μόνο στο μέρος ΙΙ αυτής της εργασίας από τον Όγκους (Ogus (1984). Οι συγκλίνουσες ισοκρυσταλλώσεις είναι μια παραλλαγή των ισοκρυσταλλώσεων που λειτουργούν καλύτερα πάνω σε μη τέλεια σώματα, και οι υπερσυγκλίνουσες ισοκρυσταλλώσεις είναι μια άλλη παραλλαγή που σχετίζεται με τις υπερσυγκλίνουσες θεωρίες συνομολογίας.

Ένας κρύσταλλος Ντιεντονέ είναι ένας κρύσταλλος με χάρτες Βερσκιέμπανγκ και Φρομπένιους. Ένας κρύσταλλος F είναι μια δομή στην ημιγραμμική άλγεβρα που σχετίζεται κάπως με τους κρυστάλλους.

Κρύσταλλοι πάνω από τις απειροελάχιστες και κρυσταλλικές θέσεις

Η απειροελάχιστη τοποθεσία ${\text{Inf}}(X/S)$ έχει ως αντικείμενα τις απειροελάχιστες επεκτάσεις των ανοικτών συνόλων του $X$. Αν $X$ είναι ένα σχήμα πάνω στο $S$ τότε το δεμάτιο $O_{X/S}$ ορίζεται ως εξής $O_{X/S}(T)$ = δακτύλιος συντεταγμένων του $T$, όπου γράφουμε $T$ ως συντομογραφία του ενός αντικειμένου $U\to T$ του ${\text{Inf}}(X/S)$. Τα δεμάτια σε αυτή την περιοχή αναπτύσσονται με την έννοια ότι μπορούν να επεκταθούν από ανοικτά σύνολα σε απειροελάχιστες επεκτάσεις ανοικτών συνόλων.

Ένας κρύσταλλος στον τόπο ${\text{Inf}}(X/S)$ είναι ένα δεμάτιο $F$ των μονάδων $O_{X/S}$ που είναι άκαμπτο με την ακόλουθη έννοια:

για κάθε χάρτη $f$ μεταξύ των αντικειμένων $T$, $T'$; του ${\text{Inf}}(X/S)$, ο φυσικός χάρτης από το $f^{*}F(T)$ στο $F(T')$ είναι ισομορφισμός.

Αυτό είναι παρόμοιο με τον ορισμό ενός οιονεί συνεκτικού δεματίου από modules στην τοπολογία Ζαρίσκι.

Παράδειγμα κρυστάλλου είναι το δεμάτιο $O_{X/S}$.

Κρύσταλλοι στην κρυσταλλική περιοχή ορίζονται με παρόμοιο τρόπο.

Κρύσταλλοι σε κατηγορίες ινών

Γενικά, αν η $E$ είναι μια ινώδης κατηγορία πάνω στην $F$, τότε ένας κρύσταλλος είναι ένα καρτεσιανό τμήμα της ινώδους κατηγορίας. Στην ειδική περίπτωση που η $F$ είναι η κατηγορία των απειροστικών επεκτάσεων ενός σχήματος $X$ και η $E$ η κατηγορία των οιονεί συνεκτικών ενοτήτων πάνω σε αντικείμενα της $F$, τότε οι κρύσταλλοι αυτής της ινοποιημένης κατηγορίας είναι ίδιοι με τους κρυστάλλους της απειροστικής περιοχής.

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Θεώρημα δείκτη Ατίγια-Σίνγκερ
• Τοπολογία
• Ναιτεριανό σχήμα
• Ελλειπτική συνάρτηση Βάιερστρας
• Αλεξάντερ Γκρότεντικ

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Andreas Gathmann - Algebraic Geometry (SS 2014)
• Galois Groups and Fundamental Groups
• Cohomological Theory of Crystals Over Function Fields
• Cyclic Cohomology at 40: Achievements and Future Prospects
• Mathematical Crystallography
• Mathematical techniques in crystallography and materials science
• Abelian Varieties and Number Theory
• p-Adic Automorphic Forms on Shimura Varieties

Δημοσιεύσεις

• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 20. doi:10.1007/bf02684747. MR 0173675.
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 32. doi:10.1007/bf02732123. MR 0238860.
• Bombieri, Enrico· Gubler, Walter (2006). Heights in Diophantine Geometry. New Mathematical Monographs. 4. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1130.11034. 
• Hindry, Marc· Silverman, Joseph H. (2000). Diophantine Geometry: An Introduction. Graduate Texts in Mathematics. 201. ISBN 0-387-98981-1. Zbl 0948.11023. 
• Ogus, Arthur (1 December 1984). «F-isocrystals and de Rham cohomology II—Convergent isocrystals». Duke Mathematical Journal 51 (4). doi:10.1215/S0012-7094-84-05136-6. 
• Berthelot, Pierre (1974), Cohomologie cristalline des schémas de caractéristique p>0, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 407, 407, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0068636, ISBN 978-3-540-06852-5 
• Berthelot, Pierre; Ogus, Arthur (1978), Notes on crystalline cohomology, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08218-9 
• Berthelot, P.; Ogus, A. (June 1983). «F-isocrystals and de Rham cohomology. I». Inventiones Mathematicae 72 (2): 159–199. doi:10.1007/BF01389319. 
• Chambert-Loir, Antoine (1998), «Cohomologie cristalline: un survol», Expositiones Mathematicae 16 (4): 333–382, ISSN 0723-0869, http://perso.univ-rennes1.fr/antoine.chambert-loir/publications 
• Grothendieck, Alexander (1966a), «On the de Rham cohomology of algebraic varieties», Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications Mathématiques 29 (29): 95–103, doi:10.1007/BF02684807, ISSN 0073-8301, http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1966__29__95_0  (letter to Atiyah, Oct. 14 1963)
• Grothendieck, Alexander (1966b), Letter to J. Tate, https://agrothendieck.github.io/divers/LGT66scan.pdf 
• Grothendieck, Alexander (1968), «Crystals and the de Rham cohomology of schemes», στο: Giraud, Jean; Grothendieck, Alexander; Kleiman, Steven L. και άλλοι, επιμ., Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas, Advanced studies in pure mathematics, 3, Amsterdam: North-Holland, σελ. 306–358, https://agrothendieck.github.io/divers/CRCSscan.pdf 
• Illusie, Luc (1975), «Report on crystalline cohomology», Algebraic geometry, Proc. Sympos. Pure Math., 29, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., σελ. 459–478 
• Illusie, Luc (1976), «Cohomologie cristalline (d'après P. Berthelot)», Séminaire Bourbaki (1974/1975: Exposés Nos. 453-470), Exp. No. 456, Lecture Notes in Math., 514, Berlin, New York: Springer-Verlag, σελ. 53–60, http://www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=SB_1974-1975__17__53_0, ανακτήθηκε στις 2016-08-24 
• Illusie, Luc (1994), «Crystalline cohomology», Motives (Seattle, WA, 1991), Proc. Sympos. Pure Math., 55, Providence, RI: Amer. Math. Soc., σελ. 43–70 
• Kedlaya, Kiran S. (2009), «p-adic cohomology», στο: Abramovich, Dan; Bertram, A.; Katzarkov, L. και άλλοι, επιμ., Algebraic geometry---Seattle 2005. Part 2, Proc. Sympos. Pure Math., 80, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., σελ. 667–684, ISBN 978-0-8218-4703-9