Θεώρημα ύπαρξης του Πεάνο

Στα μαθηματικά, ειδικότερα στη μελέτη των συνήθων διαφορικών εξισώσεων, το θεώρημα ύπαρξης του Πεάνο, θεώρημα Πεάνο ή θεώρημα Κωσύ–Πεάνο, που πήρε το όνομά του από τους Τζουζέπε Πεανό και Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ, είναι ένα θεμελιώδες θεώρημα , το οποίο εγγυάται την ύπαρξη των λύσεων ορισμένων προβλημάτων αρχικών τιμών.

Ιστορία

Ο Πεανό δημοσίευσε για πρώτη φορά το θεώρημα το 1886 με μια εσφαλμένη απόδειξη. Το 1890 δημοσίευσε μία νέα σωστή απόδειξη με χρήση διαδοχικών προσεγγίσεων.

Θεώρημα

Έστω D ένα ανοικτό υποσύνολο του R × R με

$f\colon D\to {\mathbb {R} }$

μια συνεχής συνάρτηση και

$y'(x)=f\left(x,y(x)\right)$

μια συνεχής, πρώτης τάξης διαφορική εξίσωση ορισμένη στο D. Τότε κάθε πρόβλημα αρχικών τιμών με

$y\left(x_{0}\right)=y_{0}$

για την f, με $(x_{0},y_{0})\in D$, έχει μια τοπική λύση

$z\colon I\to {\mathbb {R} }$

όπου $I$ είναι μια γειτονιά του $x_{0}$ στο $\mathbb {R}$, τέτοια ώστε $z'(x)=f\left(x,z(x)\right)$ για κάθε $x\in I$.

Η λύση δεν χρειάζεται να είναι μοναδική: η ίδια αρχική τιμή (x₀,y₀) μπορεί να οδηγήσει σε πολλές διαφορετικές λύσεις z.

Σχετικά θεωρήματα

Το θεώρημα του Πεάνο μπορεί να συγκριθεί με ένα άλλο αποτέλεσμα ύπαρξης, το θεώρημα Πικάρ-Λίντελεφ. Το θεώρημα Πικάρ–Λίντελεφ έχει περισσότερες υποθέσεις και καταλήγει σε περισσότερα αποτελέσματα (εγγυάται και τη μοναδικότητα της λύσης). Απαιτεί συνέχεια Λίπσιτς, ενώ το θεώρημα Πεάνο απαιτεί μόνο τη συνέχεια, αλλά αυτό αποδεικνύει τόσο την ύπαρξη όσο και την μοναδικότητα ενώ το θεώρημα Πεάνο αποδεικνύει μόνο την ύπαρξη των λύσεων. Για παράδειγμα, θεωρούμε την συνήθη διαφορική εξίσωση $y'=\left\vert y\right\vert ^{\frac {1}{2}}$ στο $\left[0,1\right].$ Σύμφωνα με το θεώρημα του Πεάνο, αυτή η εξίσωση έχει λύσεις, αλλά το θεώρημα Πικάρ–Λίντελεφ δεν ισχύει δεδομένου ότι η δεξιά πλευρά δεν είναι Λίπσιτς συνεχής σε κάθε γειτονιά που περιέχει το 0. Έτσι, μπορούμε να συμπεράνουμε την ύπαρξη αλλά όχι και την μοναδικότητα της λύσης της. Αποδεικνύεται ότι αυτή η συνήθης διαφορική εξίσωση έχει δύο είδη λύσεων. Θεωρώντας σαν αρχική υπόθεση ότι $y(0)=0$ τότε, είτε $y(x)=0$, είτε $y(x)=x^{2}/4$. 

Το θεώρημα ύπαρξης του Καραθεοδωρή είναι μια γενίκευση του θεωρήματος ύπαρξης του Πεάνο με ασθενέστερες συνθήκες από τη συνέχεια.

Αναφορές

• Osgood, W. F. (1898). «Beweis der Existenz einer Lösung der Differentialgleichung dy/dx = f(x, y) ohne Hinzunahme der Cauchy-Lipschitzchen Bedingung». Monatsheft Mathematik 9: 331–345. 
• Coddington, Earl A.· Levinson, Norman (1955). Theory of Ordinary Differential Equations. New York: McGraw-Hill. 
• Murray, Francis J.· Miller, Kenneth S. (1976) [1954]. Existence Theorems for Ordinary Differential Equations (Reprint έκδοση). New York: Krieger. 
• Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.