Ευθεία εφαπτόμενη σε κύκλο

Στην γεωμετρία, μία ευθεία λέγεται εφαπτόμενη σε έναν κύκλο εάν έχει ακριβώς ένα κοινό σημείο με αυτόν. Το σημείο αυτό ονομάζεται σημείο επαφής.

Η εφαπτόμενη $\varepsilon$ στον κύκλο με κέντρο ${\rm {O}}$ στο σημείο επαφής ${\rm {A}}$.

Ιδιότητες

Οι δύο εφαπτόμενες που άγονται από το σημείο ${\rm {P}}$ προς τον κύκλο με κέντρο ${\rm {O}}$.

• Η εφαπτόμενη $\varepsilon$ τον κύκλο με κέντρο ${\rm {O}}$ στο σημείο ${\rm {A}}$ είναι κάθετη στην ακτίνα ${\rm {OA}}$.
• Από κάθε εξωτερικό σημείο ${\rm {P}}$ του κύκλου άγονται δύο εφαπτόμενες στον κύκλο. Αν ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$ τα σημεία επαφής τους αντίστοιχα, τότε ${\rm {PA}}={\rm {PB}}$.

Ισχύει ότι ${\widehat {\rm {AB\Gamma }}}={\widehat {{\rm {\Gamma A}}z}}$.

• (Γωνία χορδής και εφαπτομένης) Έστω μία ευθεία εφαπτόμενη σε κύκλο. Για κάθε χορδή με ένα άκρο στο σημείο επαφής της εφαπτόμενης και του κύκλου, κάθε εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε αυτή είναι ίση με την γωνία μεταξύ της χορδής και της εφαπτομένης.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης της σχέσης μεταξύ εγγεγραμμένης και εφαπτομένης.

Θεωρούμε την εγγεγραμμένη γωνία ${\widehat {\rm {AB\Gamma }}}=\varphi$ σε κύκλο με κέντρο ${\rm {O}}$ και την εφαπτομένη ευθεία $z$ στο σημείο ${\rm {\Gamma }}$. Θα αποδείξουμε ότι ${\widehat {\rm {AB\Gamma }}}={\widehat {{\rm {A\Gamma }}z}}$.

Από την σχέση επίκεντρης και εγγεγραμμένης γωνίας έχουμε ότι ${\widehat {\rm {AO\Gamma }}}=2\cdot {\widehat {\rm {AB\Gamma }}}=2\varphi$. Το τρίγωνο ${\rm {AO\Gamma }}$ είναι ισοσκελές (καθώς ${\rm {OA=O\Gamma }}$ ως ακτίνες του ίδιου κύκλου) και άρα

${\widehat {\rm {OA\Gamma }}}={\widehat {\rm {O\Gamma A}}}=\omega$.

Επομένως,

$\omega ={\tfrac {1}{2}}\cdot (180^{\circ }-2\varphi )=90^{\circ }-\varphi$.

Αφού η ${\rm {O\Gamma }}\perp {\rm {\Gamma }}z$, καταλήγουμε ότι

${\widehat {{\rm {A\Gamma }}z}}=90^{\circ }-{\widehat {\rm {OA\Gamma }}}=\varphi$.

$\square$

Δείτε επίσης

• Εγγεγραμμένη γωνία
• Επίκεντρη γωνία
• Κύκλος
• Ευθεία τέμνουσα κύκλου
• Δύναμη σημείου ως προς κύκλο