Επιφάνεια Πεάνο

Στα μαθηματικά, η επιφάνεια Πεάνο είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης με δύο μεταβλητές.

f(x,y)=(2x^{2}-y)(y-x^{2}).

Προτάθηκε από τον Τζουζέπε Πεάνο το 1899 ως αντιπαράδειγμα σε ένα εικαζόμενο κριτήριο για την ύπαρξη μεγίστων και ελαχίστων συναρτήσεων δύο μεταβλητών^[1]^[2].

Η επιφάνεια ονομάστηκε επιφάνεια Πεάνο (γερμανικά: Peanosche Fläche) από τον Γκέοργκ Σέφερς το 1920 στο βιβλίο του Lehrbuch der darstellenden Geometrie του 1920 (Εγχειρίδιο περιγραφικής γεωμετρίας του 1920)^[1]^[3]. Αποκαλείται επίσης σέλλα του Πεάνο^[4]^[5].

Ιδιότητες

Η επιφάνεια Πεάνο και οι καμπύλες επίπεδου της για το επίπεδο 0 (παραβολές, πράσινο και μοβ)

Η συνάρτηση $f(x,y)=(2x^{2}-y)(y-x^{2})$ της οποίας η γραφική παράσταση είναι η επιφάνεια παίρνει θετικές τιμές μεταξύ των δύο παραβολών $y=x^{2}$ και $y=2x^{2}$ , και αρνητικές τιμές αλλού (βλέπε διάγραμμα). Στην αρχή, το τρισδιάστατο σημείο $(0,0,0)$ της επιφάνειας που αντιστοιχεί στο σημείο τομής των δύο παραβολών, η επιφάνεια έχει ένα σημείο σέλλας. ^[6] Η ίδια η επιφάνεια έχει θετική καμπυλότητα Γκάους σε ορισμένα σημεία και αρνητική καμπυλότητα σε άλλα, τα οποία χωρίζονται από μια άλλη παραβολή,^[4]^[5] που σημαίνει ότι ο Γκαουσιανός της χάρτης έχει μια κορυφή Γουίτνεϊ.^[5]

Τομή της επιφάνειας Πεάνο με ένα κατακόρυφο επίπεδο. Η καμπύλη τομής έχει ένα τοπικό μέγιστο στην αρχή, στα δεξιά της εικόνας, και ένα συνολικό μέγιστο στα αριστερά της εικόνας, με ρηχή βύθιση μεταξύ αυτών των δύο σημείων.

Αν και η επιφάνεια δεν έχει τοπικό μέγιστο στην αρχή, η τομή της με οποιοδήποτε κατακόρυφο επίπεδο που διέρχεται από την αρχή (ένα επίπεδο με εξίσωση $y=mx$ ή $x=0$ ) είναι μια καμπύλη που έχει τοπικό μέγιστο στην αρχή,^[1] μια ιδιότητα που περιγράφεται από τον Ερλ Ρέιμοντ Χέντρικ (Earle Raymond Hedrick) ως "παράδοξη".^[7] Με άλλα λόγια, αν ένα σημείο ξεκινά από την αρχή $(0,0)$ του επιπέδου και απομακρύνεται από την αρχή κατά μήκος οποιασδήποτε ευθείας γραμμής, η τιμή του $(2x^{2}-y)(y-x^{2})$ θα μειωθεί στην αρχή της κίνησης. Παρ' όλα αυτά, το $(0,0)$ δεν είναι τοπικό μέγιστο της συνάρτησης, διότι η κίνηση κατά μήκος μιας παραβολής όπως η $y={\sqrt {2}}\,x^{2}$ (στο διάγραμμα: κόκκινο) θα προκαλέσει αύξηση της τιμής της συνάρτησης.

Ως αντιπαράδειγμα

Το 1886 ο Ζοζέφ Άλφρεντ Σερρέ^[8] δημοσίευσε ένα εγχειρίδιο^[9] με προτεινόμενα κριτήρια για τα ακραία σημεία μιας επιφάνειας που δίνονται από τη σχέση $z=f(x_{0}+h,y_{0}+k)$

"το μέγιστο ή το ελάχιστο λαμβάνει χώρα όταν για τις τιμές των

h

και

k

για τις οποίες τα

d^{2}f

και

d^{3}f

(τρίτος και τέταρτος όρος) εξαφανίζονται, το

d^{4}f

(πέμπτος όρος) έχει συνεχώς το πρόσημο - , ή το πρόσημο +".

Εδώ, θεωρείται ότι οι γραμμικοί όροι εξαφανίζονται και η σειρά Τέιλορ του $f$ έχει τη μορφή $z=f(x_{0},y_{0})+Q(h,k)+C(h,k)+F(h,k)+\cdots$ όπου $Q(h,k)$ είναι μια τετραγωνική μορφή όπως $ah^{2}+bhk+ck^{2}$ , $C(h,k)$ είναι μια κυβική μορφή με κυβικούς όρους στα $h$ και $k$ , και $F(h,k)$ είναι μια τεταρτοβάθμια μορφή με ένα ομογενές τεταρτοβάθμιο πολυώνυμο στο $h$ και $k$ . Ο Σερρέ προτείνει ότι αν το $F(h,k)$ έχει σταθερό πρόσημο για όλα τα σημεία όπου $Q(h,k)=C(h,k)=0$ τότε υπάρχει ένα τοπικό μέγιστο ή ελάχιστο της επιφάνειας στο $(x_{0},y_{0})$ .

Στις σημειώσεις του 1884 στο ιταλικό εγχειρίδιο του Άντζελο Τζενοτσί^[10] για τον λογισμό, Υπολογισμός διαφορών και αρχές του ολοκληρωτικού υπολογισμού, ο Πεάνο είχε ήδη παράσχει διάφορες σωστές συνθήκες για να φτάσει μια συνάρτηση σε τοπικό ελάχιστο ή τοπικό μέγιστο^[1]^[11]. Στη γερμανική μετάφραση του ίδιου εγχειριδίου το 1899, έδωσε αυτή την επιφάνεια ως αντιπαράδειγμα στη συνθήκη του . Στο σημείο $(0,0,0)$ πληρούνται οι συνθήκες του Σερρέ, αλλά το σημείο αυτό είναι σημείο σέλας και όχι τοπικό μέγιστο^[1]^[2]. Μια συναφής συνθήκη με αυτή του Σερρέ επικρίθηκε επίσης από τον Λούντβιχ Σέφερ, ο οποίος χρησιμοποίησε την επιφάνεια του Πεάνο ως αντιπαράδειγμα σε μια δημοσίευση του 1890, η οποία πιστώνεται στον Πεάνο^[6]^[12].

Μοντέλα

Μοντέλα της επιφάνειας του Πεάνο περιλαμβάνονται στη Συλλογή Μαθηματικών Προτύπων και Οργάνων του Πανεπιστημίου του Γκέτινγκεν^[13] και στη συλλογή μαθηματικών μοντέλων του TU Δρέσδης (σε δύο διαφορετικά πρότυπα)^[14]. Το μοντέλο του Γκέτινγκεν ήταν το πρώτο νέο πρότυπο που προστέθηκε στη συλλογή μετά τον Πρώτο Παγκόσμιο Πόλεμο και ένα από τα τελευταία που προστέθηκαν στη συλλογή συνολικά^[6].

Δημοσιεύσεις

Δείτε επίσης

Peano Surface

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Surface Area. (AM-35), Volume 35
Geometric Modeling of Fractal Forms for CAD
Peano: Life and Works of Giuseppe Peano

Παραπομπές

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 Emch, Arnold (1922). «A model for the Peano Surface». American Mathematical Monthly 29 (10): 388–391. doi:10.1080/00029890.1922.11986180.
MR 1520111
. https://archive.org/details/jstor-2299024.
↑ ^2,0 ^2,1 Genocchi, Angelo (1899). Peano, Giuseppe, επιμ. Differentialrechnung und Grundzüge der Integralrechnung (στα German). B.G. Teubner. σελ. 332.
↑ Scheffers, Georg (1920). «427. Die Peanosche Fläche». Lehrbuch der darstellenden Geometrie (στα German). II. σελίδες 261–263.
↑ ^4,0 ^4,1 Krivoshapko, S. N.· Ivanov, V. N. (2015). «Saddle Surfaces». Encyclopedia of Analytical Surfaces. Springer. σελίδες 561–565. doi:10.1007/978-3-319-11773-7_33. See especially section "Peano Saddle", pp. 562–563.
↑ ^5,0 ^5,1 ^5,2 Francis, George K. (1987). A Topological Picturebook. Springer-Verlag, New York. σελ. 88. ISBN 0-387-96426-6. MR 0880519.
↑ ^6,0 ^6,1 ^6,2 Fischer, Gerd, επιμ. (2017). Mathematical Models: From the Collections of Universities and Museums – Photograph Volume and Commentary (2nd έκδοση). doi:10.1007/978-3-658-18865-8. ISBN 978-3-658-18864-1. See in particular the Foreword (p. xiii) for the history of the Göttingen model, Photo 122 "Penosche Fläsche / Peano Surface" (p. 119), and Chapter 7, Functions, Jürgen Leiterer (R. B. Burckel, trans.), section 1.2, "The Peano Surface (Photo 122)", pp. 202–203, for a review of its mathematics.
↑ Hedrick, E. R. (Ιούλιος 1907). «A peculiar example in minima of surfaces». Annals of Mathematics. Second Series 8 (4): 172-174. doi:10. 2307/1967821.
↑ «Joseph Serret - Biography». Maths History (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 5 Μαΐου 2024.
↑ Serret, J. A. (1886). Cours de calcul différentiel et intégral. 1 (3d έκδοση). Paris. σελ. 216 – μέσω Internet Archive.
↑ «Angelo Genocchi - Biography». Maths History (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 5 Μαΐου 2024.
↑ Genocchi, Angelo (1884). «Massimi e minimi delle funzioni di più variabili». Στο: Peano, Giuseppe, επιμ. Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale (στα Italian). Fratelli Bocca. σελίδες 195–203.
↑ Scheeffer, Ludwig (December 1890). «Theorie der Maxima und Minima einer Function von zwei Variabeln» (στα German). Mathematische Annalen 35 (4): 541–576. doi:10.1007/bf02122660. https://eudml.org/doc/157480. See in particular pp. 545–546.
↑ «Peano Surface». Göttingen Collection of Mathematical Models and Instruments. University of Göttingen. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 12 Ιουλίου 2020. Ανακτήθηκε στις 13 Ιουλίου 2020.
↑ Model 39, "Peanosche Fläche, geschichtet" Αρχειοθετήθηκε 2020-07-08 στο Wayback Machine. and model 40, "Peanosche Fläche" Αρχειοθετήθηκε 2020-07-09 στο Wayback Machine., Mathematische Modelle, TU Dresden, retrieved 2020-07-13

[Emch-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 Emch, Arnold (1922). «A model for the Peano Surface». American Mathematical Monthly 29 (10): 388–391. doi:10.1080/00029890.1922.11986180.
MR 1520111
. https://archive.org/details/jstor-2299024.

[Peano1899-2] 2,0 ^2,1 Genocchi, Angelo (1899). Peano, Giuseppe, επιμ. Differentialrechnung und Grundzüge der Integralrechnung (στα German). B.G. Teubner. σελ. 332.

[3] Scheffers, Georg (1920). «427. Die Peanosche Fläche». Lehrbuch der darstellenden Geometrie (στα German). II. σελίδες 261–263.

[encyc-4] 4,0 ^4,1 Krivoshapko, S. N.· Ivanov, V. N. (2015). «Saddle Surfaces». Encyclopedia of Analytical Surfaces. Springer. σελίδες 561–565. doi:10.1007/978-3-319-11773-7_33. See especially section "Peano Saddle", pp. 562–563.

[Francis-5] 5,0 ^5,1 ^5,2 Francis, George K. (1987). A Topological Picturebook. Springer-Verlag, New York. σελ. 88. ISBN 0-387-96426-6. MR 0880519.

[Fischer-6] 6,0 ^6,1 ^6,2 Fischer, Gerd, επιμ. (2017). Mathematical Models: From the Collections of Universities and Museums – Photograph Volume and Commentary (2nd έκδοση). doi:10.1007/978-3-658-18865-8. ISBN 978-3-658-18864-1. See in particular the Foreword (p. xiii) for the history of the Göttingen model, Photo 122 "Penosche Fläsche / Peano Surface" (p. 119), and Chapter 7, Functions, Jürgen Leiterer (R. B. Burckel, trans.), section 1.2, "The Peano Surface (Photo 122)", pp. 202–203, for a review of its mathematics.

[Hedrick-7] Hedrick, E. R. (Ιούλιος 1907). «A peculiar example in minima of surfaces». Annals of Mathematics. Second Series 8 (4): 172-174. doi:10. 2307/1967821.

[8] «Joseph Serret - Biography». Maths History (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 5 Μαΐου 2024.

[9] Serret, J. A. (1886). Cours de calcul différentiel et intégral. 1 (3d έκδοση). Paris. σελ. 216 – μέσω Internet Archive.

[10] «Angelo Genocchi - Biography». Maths History (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 5 Μαΐου 2024.

[11] Genocchi, Angelo (1884). «Massimi e minimi delle funzioni di più variabili». Στο: Peano, Giuseppe, επιμ. Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale (στα Italian). Fratelli Bocca. σελίδες 195–203.

[12] Scheeffer, Ludwig (December 1890). «Theorie der Maxima und Minima einer Function von zwei Variabeln» (στα German). Mathematische Annalen 35 (4): 541–576. doi:10.1007/bf02122660. https://eudml.org/doc/157480. See in particular pp. 545–546.

[13] «Peano Surface». Göttingen Collection of Mathematical Models and Instruments. University of Göttingen. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 12 Ιουλίου 2020. Ανακτήθηκε στις 13 Ιουλίου 2020.

[14] Model 39, "Peanosche Fläche, geschichtet" Αρχειοθετήθηκε 2020-07-08 στο Wayback Machine. and model 40, "Peanosche Fläche" Αρχειοθετήθηκε 2020-07-09 στο Wayback Machine., Mathematische Modelle, TU Dresden, retrieved 2020-07-13

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]