Διχοτόμος γωνίας

Στη γεωμετρία, διχοτόμος μιας γωνίας λέγεται η ημιευθεία η οποία έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και χωρίζει την γωνία σε δύο ίσες γωνίες.^[1]^:52^[2]^:79-89^[3]^[4]

Το θεώρημα της διχοτόμου μιας γωνίας

Η διχοτόμος αποτελείται από τα σημεία που ισαπέχουν από τις πλευρές και βρίσκονται στο εσωτερικό της γωνίας.

Θεώρημα — Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της και αντιστρόφως κάθε σημείο που ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας ανήκει στη διχοτόμο της.^[2]^: 79-80^[4]^: 26^[5]^:75-76

Απόδειξη

Έστω η γωνία ${\widehat {x\mathrm {O} y}}$ και $\mathrm {O\delta }$ η διχοτόμος της. Θα αποδείξουμε ότι κάθε σημείο της $\mathrm {O} \delta$ ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας. Θεωρούμε τυχόν σημείο $\mathrm {\Sigma }$ της $\mathrm {O} \delta$ . Από το $\mathrm {\Sigma }$ φέρνουμε τις κάθετες $\mathrm {\Sigma A}$ στην $\mathrm {O} x$ και $\mathrm {\Sigma B}$ στην $\mathrm {O} y$ . Τα ορθογώνια τρίγωνα $\mathrm {A\Sigma O}$ και $\mathrm {B\Sigma O}$ έχουν κοινή την υποτείνουσα $\mathrm {O\Sigma }$ και τις γωνίες ${\widehat {\mathrm {AO\Sigma } }}={\widehat {\mathrm {BO\Sigma } }}$ , άρα είναι ίσα ως ορθογώνια με την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία ίσες. Συνεπώς $\mathrm {\Sigma A} =\mathrm {\Sigma B}$ .

Αντίστροφα, έστω ${\widehat {x\mathrm {O} y}}$ μία γωνία και $\mathrm {\Sigma }$ εσωτερικό της σημείο τέτοιο ώστε να ισαπέχει από τις $\mathrm {O} x$ και $\mathrm {O} y$ , δηλαδή $\mathrm {\Sigma A} =\mathrm {\Sigma B}$ . Θα αποδείξουμε ότι το σημείο $\mathrm {\Sigma }$ είναι σημείο της διχοτόμου της γωνίας ${\widehat {x\mathrm {O} y}}$ . Ενώνουμε το σημείο $\mathrm {\Sigma }$ με την κορυφή $\mathrm {O}$ και τότε τα ορθογώνια τρίγωνα $\mathrm {A\Sigma O}$ και $\mathrm {B\Sigma O}$ έχουν κοινή την υποτείνουσα και τις κάθετες πλευρές $\mathrm {\Sigma A} =\mathrm {\Sigma B}$ άρα είναι ίσα ως ορθογώνια με κοινή υποτείνουσα και μία κάθετη πλευρά ίση. Συνεπώς, ${\widehat {\mathrm {AO\Sigma } }}={\widehat {\mathrm {BO\Sigma } }}$ . Δηλαδή το σημείο $\mathrm {\Sigma }$ ανήκει στη διχοτόμο $\mathrm {O\delta }$ της γωνίας ${\widehat {x\mathrm {O} y}}$ . $\square$

Σημείωση: Άμεση συνέπεια του παραπάνω θεωρήματος είναι ότι η διχοτόμος μίας γωνίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων της που ισαπέχουν από τις πλευρές της.

Ιδιότητες

Πόρισμα — Η διχοτόμος μίας γωνίας είναι και άξονας συμμετρίας της γωνίας.

Θεώρημα — Οι διχοτόμοι δύο εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών είναι κάθετες.

Απόδειξη

Οι διχοτόμοι δύο εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών είναι κάθετες.

Έστω οι γωνίες ${\widehat {x\mathrm {O} z}}$ και ${\widehat {z\mathrm {O} y}}$ , εφεξής και παραπληρωματικές. Χαράζουμε τις διχοτόμους τους ${\rm {O\delta }}$ και ${\rm {O\varepsilon }}$ αντίστοιχα. Θα αποδείξουμε ότι οι διχοτόμοι ${\rm {O\delta }}$ και ${\rm {O\varepsilon }}$ είναι κάθετες δηλαδή ότι η γωνία ${\widehat {\delta \mathrm {O} \varepsilon }}$ είναι ορθή.

Οι γωνίες ${\widehat {x\mathrm {O} z}}$ και ${\widehat {z\mathrm {O} y}}$ είναι παραπληρωματικές άρα ισχύει:

{\widehat {x\mathrm {O} z}}+{\widehat {z\mathrm {O} y}}=180^{\circ }

2\cdot {\widehat {\mathrm {\delta Oz} }}+2\cdot {\widehat {\mathrm {zO\theta } }}=180^{\circ }

καθώς

{\rm {O}}\delta

και

{\rm {O}}\theta

διχοτόμοι των

{\widehat {x\mathrm {O} z}}

και

{\widehat {z\mathrm {O} y}}

{\widehat {\delta \mathrm {O} z}}+{\widehat {z\mathrm {O} \varepsilon }}=90^{\circ }

{\widehat {\delta \mathrm {O} \varepsilon }}=90^{\circ }

.

Άρα οι διχοτόμοι είναι κάθετες.

$\square$

Θεώρημα — Οι διχοτόμοι δύο κατακορυφήν γωνιών είναι αντικείμενες ημιευθείες.^[2]^: 79-80

Απόδειξη

Οι διχοτόμοι κατακορυφήν γωνιών είναι αντικείμενες ημιευθείες.

Θεωρούμε τις ευθείες $xx'$ και $yy'$ οι οποίες τέμνονται στο σημείο Ο και τις διχοτόμους $O\delta$ και $O\varepsilon$ των κατακορυφήν γωνιών ${\widehat {x\mathrm {O} y}}$ και ${\widehat {x'\mathrm {O} y'}}$ αντίστοιχα.
Θα αποδείξουμε ότι η γωνία ${\widehat {\delta \mathrm {O} \varepsilon }}=180^{\circ }$ .
Οι κατακορυφήν γωνίες ${\widehat {x\mathrm {O} y}}$ και ${\widehat {x'\mathrm {O} y'}}$ είναι ίσες άρα ισχύει:

{\widehat {x\mathrm {O} \delta }}={\widehat {\delta \mathrm {O} y}}={\widehat {x'\mathrm {O} \varepsilon }}={\widehat {\varepsilon \mathrm {O} y'}}=\omega

.

Η γωνία ${\widehat {\delta \mathrm {O} \varepsilon }}$ γράφεται ως

{\begin{aligned}{\widehat {\delta \mathrm {O} \varepsilon }}&={\widehat {\delta \mathrm {O} x}}+{\widehat {x\mathrm {O} y'}}+{\widehat {y'\mathrm {O} \varepsilon }}\\&=\omega +{\widehat {x\mathrm {O} y'}}+{\widehat {y'\mathrm {O} \varepsilon }}\\&={\widehat {\varepsilon \mathrm {O} x'}}+{\widehat {x\mathrm {O} y'}}+{\widehat {y'\mathrm {O} \varepsilon }}\\&={\widehat {x\mathrm {O} x'}}\\&=180^{\circ }.\end{aligned}}

Άρα οι διχοτόμοι δύο κατακορυφήν γωνιών είναι αντικείμενες ημιευθείες.

$\square$

Γεωμετρική κατασκευή

Κατασκευή της διχοτόμου της γωνίας

{\widehat {x{\rm {O}}y}}

με κανόνα και διαβήτη.

Η διχοτόμος μίας γωνίας ${\widehat {x{\rm {O}}y}}$ μπορεί να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη ως εξής:

Διαγράφουμε έναν κύκλο με κέντρο το σημείο τομής $\mathrm {O}$ των δύο πλευρών της γωνίας.
Θεωρούμε $\mathrm {T} _{1}$ και $\mathrm {T} _{2}$ τα δύο σημεία τομής του κύκλου με τις δύο πλευρές της γωνίας.
Διαγράψουμε δύο κύκλους με κέντρα τα $\mathrm {T} _{1}$ και $\mathrm {T} _{2}$ και ακτίνα ίση με τον αρχικό. Οι δύο αυτοί κύκλοι τέμονται σε δύο σημεία εκ των οποίων το ένα είναι το $\mathrm {O}$ .
Η ημιευθεία που ενώνει τα δύο αυτά σημεία είναι η διχοτόμος.

Αναλυτική γεωμετρία

Έστω δύο ευθείες με εξισώσεις:

A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\quad {\text{ και }}\quad A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0.

Οι διχοτόμοι της οξείας και της αμβλείας γωνίας μεταξύ των δύο ευθειών έχουν εξισώσεις

{\frac {A_{1}x+B_{1}y+C_{1}}{\sqrt {A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}}={\frac {A_{2}x+B_{2}y+C_{2}}{\sqrt {A_{2}^{2}+B_{2}^{2}}}},

και

{\frac {A_{1}x+B_{1}y+C_{1}}{\sqrt {A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}}=-{\frac {A_{2}x+B_{2}y+C_{2}}{\sqrt {A_{2}^{2}+B_{2}^{2}}}}.

Ο τύπος αυτός προκύπτει από τον τύπο για την απόσταση σημείου από ευθεία.

Περαιτέρω ανάγνωση

Ελληνικά άρθρα

Ν. Μαρκάκης (1982). «Παραλληλία και καθετότητα στη διχοτόμο». Ευκλείδης Β΄ (3): 160-164. http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=3135.

Ξενόγλωσσα άρθρα

Constantia, Mary (1964). «Dr. Hopkins' proof of the angle bisector problem». The Mathematics Teacher 57 (8): 539-541. https://www.jstor.org/stable/27957138.
Smith, T. Knape (Φεβρουαρίου 1969). «184. Angle bisector theorems». The Mathematical Gazette 53 (383): 58–59. doi:10.2307/3613462. https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1969-02_53_383/page/58.
Abu-Saymeh, Sadi; Al-Momani, Yaqeen; Hajja, Mowaffaq; Hayajneh, Mostafa (Νοεμβρίου 2021). «Long medians and long angle bisectors». The Mathematical Gazette 105 (564): 397–409. doi:10.1017/mag.2021.106.
Mironescu, Petru; Panaitopol, Laurentiu (Ιανουαρίου 1994). «The Existence of a Triangle with Prescribed Angle Bisector Lengths». The American Mathematical Monthly 101 (1): 58–60. doi:10.1080/00029890.1994.11996906. https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1994-01_101_1/page/58.

Δείτε επίσης

Παραπομπές

↑ Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα.
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 Ταβανλής, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη.
↑ Πανάκης, Ιωάννης (1974). Μαθηματικά Δ'-Ε'-ΣΤ' Γυμνασίου Τόμος Δεύτερος. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων.
↑ ^4,0 ^4,1 Κανέλλος, Σπ. Γ. (1975). Ευκλείδειος Γεωμετρία. Αθήνα 1975: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων.
↑ Παπανικολάου, Γεώργιος Χ. (1966). Θεωρητική γεωμετρία (3η έκδοση). Αθήνα: Ι. Μακρής.

[T57-1] Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα.

[Tav-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 Ταβανλής, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη.

[P74-3] Πανάκης, Ιωάννης (1974). Μαθηματικά Δ'-Ε'-ΣΤ' Γυμνασίου Τόμος Δεύτερος. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων.

[K75-4] 4,0 ^4,1 Κανέλλος, Σπ. Γ. (1975). Ευκλείδειος Γεωμετρία. Αθήνα 1975: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων.

[5] Παπανικολάου, Γεώργιος Χ. (1966). Θεωρητική γεωμετρία (3η έκδοση). Αθήνα: Ι. Μακρής.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]