Διανύσματα γραμμής και στήλης

Στη γραμμική άλγεβρα, ένα διάνυσμα στήλης ή διάνυσμα πίνακα είναι ένας m × 1 πίνακας αποτελούμενος από μία στήλη m στοιχείων,

$\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}\,.$

Ομοίως, ένα διάνυσμα γραμμή ή διάνυσμα πίνακα είναι ένας 1 × m πίνακας αποτελούμενος από μία γραμμή m στοιχείων

$\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\dots &x_{m}\end{bmatrix}}\,.$

Καθ' ολοκληρίαν, οι έντονοι χαρακτήρες χρησιμοποιούνται για τα διανύσματα στήλης και γραμμής. Ο ανάστροφος (συμβολιζόμενος από το T) ενός διανύσματος γραμμής είναι ένα διάνυσμα στήλης.

${\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}\,,$

και ο ανάστροφος ενός διανύσματος στήλης είναι ένας διάνυσμα γραμμής

${\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}\,.$

Το σύνολο όλων των διανυσμάτων γραμμής σχηματίζει ένα διανυσματικό χώρο ονόματι χώρο γραμμής, ομοίως το σύνολο όλων των διανυσμάτων στήλης σχηματίζει ένα διανυσματικό χώρο ονόματι χώρο στήλης. Οι διαστάσεις του χώρου γραμμής και στήλης ισούται με των αριθμό των στοιχείων εντός του διανύσματος γραμμής ή στήλης.

Ο χώρος στήλης μπορεί να αντιμετωπιστεί ως ο δυϊκός χώρος ενός χώρου γραμμής, εφόσον κάθε γραμμικό συναρτησιακό στο χώρο των διανυσμάτων στήλης μπορεί να αναπαρασταθεί μοναδικά από ένα εσωτερικό γινόμενο με συγκεκριμένο διάνυσμα γραμμής

Συμβολισμός

Για να απλοποιήσουμε το γράψιμο των διανυσμάτων στήλης σε ευθεία γραμμή όπως στο υπόλοιπο κείμενο, μερικές φορές γράφονται ως διανύσματα γραμμής με εφαρμογή σε αυτά τον ανάστροφο τελεστή.

$\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}$

ή

$\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}$

Μερικοί συγγραφείς χρησιμοποιούν τη σύμβαση γράφοντας τα διανύσματα στήλης και γραμμής ως διανύσματα γραμμής, αλλά διαχωρίζοντας τα στοιχεία των διανυσμάτων γραμμής με κόμματα και τα στοιχεία των διανυσμάτων στήλης με ελληνικό ερωτηματικό (βλέπε εναλλακτικό συμβολισμό 2 στο παρακάτω πίνακα).

Διανυσμα γραμμής	Διάνυσμα γραμμής	Διάνυσμα στήλης
Standard matrix notation (κενά διατάξεων, καθόλου κόμματα, ανάστροφα σύμβολα)	${\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{m}\end{bmatrix}}{\text{ or }}{\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}$
Εναλλακτικός συμβολισμός 1 (κόμματα, ανάστροφα σύμβολα)	${\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}$
Εναλλακτικός συμβολισμός 2 (κόμματα και ελληνικά ερωτηματικά, καθόλου ανάστροφα σύμβολα)	${\begin{bmatrix}x_{1},x_{2},\dots ,x_{m}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}x_{1};x_{2};\dots ;x_{m}\end{bmatrix}}$

Τελεστές

Μητρωϊκός πολλαπλασιασμός περιλαμβάνει τη δράση του πολλαπλασιασμού κάθε διανύσματος γραμμής ενός πίνακα με κάθε διάνυσμα στήλης ενός άλλου πίνακα.

Το σημειωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων a και b είναι ισοδύναμο με το μητρωϊκό πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος γραμμής αναπαριστώμενο από a και ενός διανύσματος στήλης αναπαριστώμενο από b.

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\,,$

το οποίο είναι ισοδύναμο με το μητρωϊκό γινόμενο ενός διανύσματος γραμμής αναπαριστώμενο από b και ενός διανύσματος στήλης αναπαριστώμενο από a

$\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}\,.$

Το μητρωϊκό γινόμενο ενός διανύσματος στήλης και ενός διανύσματος γραμμής δίνει ένα δυαδικό γινόμενο δύο διανυσμάτων a και b, το οποίο αποτελεί παράδειγμα ενός γενικότερου τανυστικού γινομένου. Το μητρωϊκό γινόμενο ενός διανύσματος στήλης αναπαριστώμενο από a και ενός διανύσματος γραμμής αναπαριστώμενο από b δίνει τις συνιστώσες του δυαδικού γινομένου τους,

$\mathbf {a} \otimes \mathbf {b} =\mathbf {a} \mathbf {b} ^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}\\\end{bmatrix}}\,,$

το οποίο δεν ισοδυναμεί με το μητρωϊκό γινόμενο ενός διανύσματος στήλης αναπαριστώμενο από b και ενός διανύσματος γραμμής αναπαριστώμενο από a, 

$\mathbf {b} \otimes \mathbf {a} =\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}a_{1}&b_{1}a_{2}&b_{1}a_{3}\\b_{2}a_{1}&b_{2}a_{2}&b_{2}a_{3}\\b_{3}a_{1}&b_{3}a_{2}&b_{3}a_{3}\\\end{bmatrix}}\,.$

Σε αυτή τη περίπτωση οι δύο πίνακες είναι διαφορετικοί.

Προτιμητέα διανύσματα εισόδου για μητρωϊκούς μετασχηματισμούς

Συχνά ένα διάνυσμα γραμμής παρουσιάζεται ως ένα τελεστής μέσα σε ένα n-χώρο εκφρασμένο από έναν n x n πίνακα M,

$vM=p\,.$

Τότε το p  είναι επίσης ένα διάνυσμα γραμμής και μπορεί να αναπαριστά έναν άλλο n × n πίνακα Q,

$pQ=t\,.$

Εύκολα, μπορεί κανείς να γράψει t = p Q = v MQ πληροφορώντας μας ότι ο μετασχηματισμός μητρωϊκού γινομένου MQ μπορεί να πάρει το v κατευθείαν στο t. Συνεχίζοντας με τα διανύσματα γραμμής, ο μητρωϊκός μετασχηματισμός ξανασχηματίζοντας τον n-χώρο μπορεί να εφαρμοστεί στις προηγούμενες δεξιές εξόδους.

Αντίθετα, όταν ένα διάνυσμα στήλης μετασχηματίζεται για να γίνει μία άλλη στήλη κάτω από την δράση ενός n x n πίνακα, ο τελεστής προκύπτει στα αριστερά,

$p=Mv\,,\quad t=Qp$,

οδηγώντας στην αλγεβρική έκφραση QM v για τη συντιθέμενη έξοδο από την είσοδο v. Οι μητρωϊκοί μετασχηματισμοί συσσωρεύονται στα αριστερά με τη χρήση ενός διανύσματος στήλης για είσοδο στον μητρωϊκό μετασχηματισμό. Η φυσική προκατάληψη για το διάβασμα αριστερά-προς-δεξιά, για τους μετέπειτα μετασχηματισμούς εφαρμόζεται στη γραμμική άλγεβρα, στέκεται έναντι των εισόδων διανυσμάτων στήλης.

Παρ 'όλα αυτά, χρησιμοποιώντας τον ανάστροφο τελεστή αυτές οι διαφορές μεταξύ των εισόδων γραμμής ή στήλης επιλύονται από έναν αντιαυτομορφισμό μεταξύ των ομάδων  που ξεκινούν από τις δύο πλευρές. Τεχνικά, χρησιμοποιείται ο δυϊκός χώρος σχετιζόμενος με έναν διανυσματικό χώρο για την ανάπτυξη του ανάστροφου γραμμικής απεικόνισης.

Για παράδειγμα εκεί που είχε καλά αποτελέσματα η σύμβαση του διανύσματος γραμμής ως είσοδο είναι στη σελίδα 106 του Raiz Usmani, όπου η σύμβαση επιτρέπει τη κατάσταση " το γινόμενο απεικονίσεων ST του U στο W [δίνεται] από:

$\alpha (ST)=(\alpha S)T=\beta T=\gamma$."

(οι ελληνικοί χαρακτήρες αναπαριστούν διανύσματα γραμμής).

Ο Ludwik Silberstein χρησιμοποίησε τα διανύσματα γραμμής για τα χωροχρονικά γεγονότα, εφάρμοσε τον μετασχηματισμό Λόρεντζ για πίνακες στην Θεωρία της Σχετικότητας το 1914 (βλέπε σελίδα 143). Το 1963 όταν το McGraw-Hill δημοσίευσε τη Διαφορική Γεωμετρία (Differential Geometry) του Heinrich Guggenheimer του Πανεπιστημίου της Μινεσότα, χρησιμοποίησε τη σύμβαση του διανύσματος γραμμής στο κεφάλαιο 5, "Εισαγωγή στους μετασχηματισμούς ομάδων" (Introduction to trasformation groups" (εξ. 7a, 9b, και 12 μέχρι 15). Όταν ο H.S.M. Coxeter επανεξέτασε τη Γραμμική Γεωμετρία (Linear Geometry) του Rafael Artzy, έγραψε, "[Artzy] συγχαρητήρια στην επιλογή του για την "αριστερή-προς-δεξιά" σύμβαση, το οποίο τον ενεργοποίησε να λάβει ένα σημείο ως διάνυσμα γραμμής αντί των αδέξιων στηλών που πολλοί συγγραφείς προτιμούν."

Δείτε επίσης

• Συναλλοίωτα και ανταλλοίωτα διανύσματα
• Δεικτικός συμβολισμός

Παραπομπές

• Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (2nd έκδοση), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0 
• Lay, David C. (August 22, 2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd έκδοση), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7 
• Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, http://www.matrixanalysis.com/DownloadChapters.html, ανακτήθηκε στις 2015-11-10 
• Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2nd έκδοση), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3 
• Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th έκδοση), Wiley International 
• Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th έκδοση), Pearson Prentice Hall