Γραμμική απεικόνιση

Στην γραμμική άλγεβρα, μία γραμμική απεικόνιση (ή γραμμικός μετασχηματισμός) μεταξύ δύο διανυσματικών χώρων $V$ και $W$ επί του σώματος $F$ είναι μία συνάρτηση $T:V\to W$ η οποία ικανοποιεί

$T(u+v)=T(u)+T(v)$ , για κάθε $u,v\in V$ , και
$T(\alpha u)=\alpha T(u)$ , για κάθε $u\in V$ και $\alpha \in F$ .

Οι παραπάνω σχέσεις ονομάζονται σχέσεις γραμμικότητας και είναι ισοδύναμες με την σχέση

T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v)

, για κάθε

u,v\in V

και

\alpha ,\beta \in F

.

Αν οι διανυσματικοί χώροι $V$ και $W$ ταυτίζονται, τότε η γραμμική απεικόνιση ονομάζεται γραμμικός τελεστής ή αλλιώς ενδομορφισμός.

Ιδιότητες

Οι παρακάτω ιδιότητες ισχύουν για όποια απεικόνιση $T:U\to W$ :

$T(0_{U})=0_{W}$ .

Απόδειξη

Θεωρούμε ένα διάνυσμα $u\in U$ . Τότε, $T(0_{U})=T(u+(-u))=T(u+(-1_{F})u)=T(u)+(-1_{F})T(u)=0_{W}.$

Για οποιαδήποτε $n$ διανύσματα $u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}\in V$ και σταθερές $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\in F$ , ισχύει ότι

T(\alpha _{1}u_{1}+\ldots +\alpha _{n}u_{n})=\alpha _{1}T(u_{1})+\ldots +\alpha _{n}T(u_{n})

.

Απόδειξη

Η απόδειξη είναι με την χρήση επαγωγής.

Βασική περίπτωση: Για $n=2$ η σχέση ισχύει από τον ισοδύναμο ορισμό των σχέσεων γραμμικότητας.

Επαγωγική περίπτωση: Έστω ότι ισχύει για $n=k$ , δηλαδή

T(\alpha _{1}u_{1}+\ldots +\alpha _{k}u_{k})=\alpha _{1}T(u_{1})+\ldots +\alpha _{k}T(u_{k})

.

τότε για $n=k+1$ έχουμε ότι

{\begin{aligned}T(\alpha _{1}u_{1}+\ldots +\alpha _{k+1}u_{k+1})&=T((\alpha _{1}u_{1}+\ldots +\alpha _{k}u_{k})+\alpha _{k+1}u_{k+1})\\&=T(\alpha _{1}u_{1}+\ldots +\alpha _{k}u_{k})+\alpha _{k+1}u_{k+1}\\&=T(\alpha _{1}u_{1})+\ldots +T(\alpha _{k}u_{k})+T(\alpha _{k+1}u_{k+1}).\end{aligned}}

.

Παραδείγματα

Η συνάρτηση $T(u)=c\cdot u$ για $u\in F$ είναι γραμμική.
Η μηδενική συνάρτηση $T(u)=0_{W}$ είναι γραμμική.
Για κάθε πίνακα $A\in R^{n\times n}$ η συνάρτηση $T(u)=Au$ είναι γραμμική (για $U=W=\mathbb {R} ^{n}$ ).
Στον διανυσματικό χώρο των ολοκληρώσιμων πραγματικών συναρτήσεων, η συνάρτηση

T(f)=\int _{a}^{b}f(t)\,dt

είναι γραμμική.

Απόδειξη

Για κάθε ολοκληρώσιμες συναρτήσεις $f,g$ και σταθερές $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ ισχύει ότι

T(\alpha f+\beta g)=\int _{a}^{b}(\alpha f(t)+\beta g(t))\,dt=\int _{a}^{b}\alpha f(t)\,dt+\int _{a}^{b}\beta g(t)\,dt=\alpha \int _{a}^{b}f(t)\,dt+\beta \int _{a}^{b}g(t)\,dt=\alpha T(f)+\beta T(g).

Στον διανυσματικό χώρο των πραγματικών συνεχών συναρτήσεων $C(\mathbb {R} )$ η συνάρτηση

T(f)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {dt} }}f(t)

είναι γραμμική.

Απόδειξη

Για κάθε ολοκληρώσιμες συναρτήσεις $f,g$ και σταθερές $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ ισχύει ότι

T(\alpha f+\beta g)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {dt} }}(\alpha f+\beta g)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {dt} }}(\alpha f)+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {dt} }}(\beta g)=\alpha {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {dt} }}+\beta {\frac {\mathrm {d} g}{\mathrm {dt} }}=\alpha T(f)+\beta T(g).

Πίνακας μετασχηματισμού

Σε κάθε διανυσματικό χώρο $U$ πεπερασμένης διάστασης έχουμε ότι κάθε απεικόνιση αντιστοιχεί σε έναν πίνακα.

Έστω $b_{1},\ldots ,b_{n}$ μία βάση του διανυσματικού χώρου $U$ . Τότε κάθε διάνυσμα $u\in U$ μπορεί να γραφτεί ως

u=u_{1}b_{1}+\ldots +u_{n}b_{n}

,

για κάποια $b_{1},\ldots ,b_{n}\in F$ . Επομένως για έναν μετασχηματισμό $T:U\to W$ έχουμε από τις παραπάνω ιδιότητες ότι

T(u)=T(u_{1}b_{1}+\ldots +u_{n}b_{n})=u_{1}T(b_{1})+\ldots +u_{n}T(b_{n})

.

Αυτό το άθροισμα μπορεί να γραφτεί ως το γινόμενο πινάκων

{\begin{bmatrix}{\Big \uparrow }&&{\Big \uparrow }\\T(b_{1})&\cdots &T(b_{n})\\{\Big \downarrow }&&{\Big \downarrow }\end{bmatrix}}\cdot \mathbf {u} .

Παρατηρήστε ότι τα διανύσματα $T(b_{1}),\ldots ,T(b_{n})\in W$ δεν εξαρτώνται από το $u$ , επομένως ο πίνακας περιγράφει τον μετασχηματισμό $T$ . Αυτό μας δίνει και έναν τρόπο να υπολογίζουμε τον πίνακα που αντιστοιχεί στον γραμμικό μετασχηματισμό, υπολογίζοντας απλά τον μεταχηματισμό για τα διανύσματα μία βάσης του $U$ .