Ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού-αρμονικού μέσου

Στα μαθηματικά, η ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού-αρμονικού μέσου είναι η ανισότητα που λέει ότι για κάθε $n$ θετικούς πραγματικούς αριθμούς ο αριθμητικός μέσος είναι μεγαλύτερος ή ίσος από τον γεωμετρικό μέσο που είναι μεγαλύτερος ή ίσος από τον αρμονικό μέσο.

Πιο συγκεκριμένα, για τους $n$ αριθμούς $x_{1},\ldots ,x_{n}$ ισχύει ότι^[1]^:2-11^[2]^:19-36^[3]^[4]^[5]^:32-33^[6]^:440-443^[7]^:71-118

{\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}}}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}}

.

Για την ειδική περίπτωση που έχουμε $n=3$ αριθμούς $a,b,c$ η ανισότητα παίρνει την μορφή

{\frac {a+b+c}{3}}\geq {\sqrt[{3}]{abc}}\geq {\frac {3}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}}}

.

Η ανισότητα αυτή είναι επέκταση της ανισότητας αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου και η απόδειξή της προκύπτει από αυτή.

Παραπομπές

↑ Venkatachala, B. J. (2018). Inequalities : an approach through problems (Second έκδοση). Singapore. ISBN 9789811087325.
↑ Steele, J. Michael (2004). The Cauchy-Schwarz master class : an introduction to the art of mathematical inequalities. Cambridge, UK. ISBN 9780511817106.
↑ Στεργίου,, Χ.· Σκομπρης, Ν. (2005). Αλγεβρικές Ανισότητες. Σαββάλας. ISBN 9789604235582.
↑ Στεργίου, Μπάμπης (2017). «Εισαγωγή στις ανισότητες» (PDF). Ανακτήθηκε στις 2 Οκτωβρίου 2022.
↑ Κολουντζάκης, Μιχαήλ· Παπαχριστόδουλος, Χρήστος (2015). Διακριτά Μαθηματικά. Αθήνα: Κάλλιπος, Ανοικτές Ακαδημαϊκές Εκδόσεις. ISBN 978-960-603-361-2.
↑ Mitrinović, D. S.· Pečarić, J. E.· Fink, A. M. (1993). Classical and new inequalities in analysis. Dordrecht: Kluwer Academic. ISBN 978-0-7923-2064-7.
↑ Bullen, P. S. (2003). Handbook of means and their inequalities. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 9781402015229.

Αυτό το μαθηματικό λήμμα χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το.