Αναλυτική γεωμετρία

Αναλυτική γεωμετρία είναι το είδος της γεωμετρίας που θεωρεί τον γεωμετρικό χώρο ως διανυσματικό χώρο. Κάθε διάνυσμα αντιστοιχεί σε ένα σημείο του χώρου, ενώ τα γεωμετρικά σχήματα και οι γεωμετρικές σχέσεις μεταξύ των σημείων και διάφορων σχημάτων περιγράφονται με διανυσματικές σχέσεις, τις οποίες μπορούμε να τις επεξεργαστούμε όπως και τις αλγεβρικές. Έτσι μέσω της αναλυτικής γεωμετρίας έγινε μια αλγεβροποίηση της γεωμετρίας, σε σημείο ώστε να υποστηρίζεται ότι πλέον η γεωμετρία δε χρειάζεται καθόλου αξιωματική θεμελίωση, αλλά αρκεί να στηριχθεί μέσω κατάλληλων ορισμών στην άλγεβρα.

Ιστορία

Αρχαία Ελλάδα

Ο Έλληνας μαθηματικός Μέναιχμος έλυνε προβλήματα και αποδείκνυε θεωρήματα χρησιμοποιώντας μια μέθοδο που έμοιαζε πολύ με τη χρήση των συντεταγμένων, γεγονός που μερικές φορές έχει υποστηριχθεί ότι εισήγαγε την αναλυτική γεωμετρία^[1].

Ο Απολλώνιος ο Περγαίος, στο έργο Διωρισμένη τομή, ασχολήθηκε με προβλήματα με τρόπο που μπορεί να περιγραφεί ως μονοδιάστατη αναλυτική γεωμετρία, με ζητούμενο την εύρεση σημείων σε μια ευθεία που σχετίζονταν με άλλες^[2]. Ο Απολλώνιος, στο έργο του Κωνικά, ανέπτυξε μια μέθοδο που μοιάζει τόσο πολύ με την αναλυτική γεωμετρία, ώστε το έργο του θεωρείται μερικές φορές ότι προηγήθηκε του έργου του Ντεκάρτ κατά περίπου 1.800 χρόνια. Η χρήση γραμμών αναφοράς, μιας διαμέτρου και μιας εφαπτομένης δεν διαφέρει πολύ από τη σύγχρονη χρήση ενός συστήματος συντεταγμένων, όπου οι αποστάσεις που μετρώνται κατά μήκος της διαμέτρου από το σημείο της εφαπτομένης αποτελούν την άβυσσο, και τα τμήματα που είναι παράλληλα στην εφαπτομένη και τέμνονται μεταξύ του άξονα και της καμπύλης αποτελούν τη διαταγμένη. Στη συνέχεια ανέπτυξε σχέσεις μεταξύ των τετμημένων και των αντίστοιχων κανονικών που είναι ισοδύναμες με τις ρητορικές εξισώσεις (εκφρασμένες με λέξεις) των καμπυλών. Ωστόσο, παρόλο που ο Απολλώνιος έφτασε κοντά στην ανάπτυξη της αναλυτικής γεωμετρίας, δεν τα κατάφερε επειδή δεν έλαβε υπόψιν του τα αρνητικά μεγέθη και, σε όλες τις περιπτώσεις, το σύστημα συντεταγμένων επικάλυπτε μια καμπύλη που είχε δοθεί εκ των υστέρων αντί για εκ των προτέρων. Με άλλα λόγια, οι εξισώσεις καθορίζονταν από τις καμπύλες, αλλά οι καμπύλες δεν καθορίζονταν από τις εξισώσεις. Οι συντεταγμένες, οι μεταβλητές και οι εξισώσεις ήταν επικουρικές έννοιες που εφαρμόζονταν σε μια συγκεκριμένη γεωμετρική κατάσταση ^[3].

Περσία

Ο Πέρσης μαθηματικός του 11ου αιώνα Ομάρ Καγιάμ είδε μια στενή σχέση μεταξύ γεωμετρίας και άλγεβρας και κινήθηκε προς τη σωστή κατεύθυνση όταν βοήθησε να κλείσει το χάσμα μεταξύ αριθμητικής και γεωμετρικής άλγεβρας^[4] με τη γεωμετρική λύση των γενικών κυβικών εξισώσεων^[5], ωστόσο το αποφασιστικό βήμα έγινε αργότερα με τον Ντεκάρτ.^[4] Ο Ομάρ Καγιάμ πιστώνεται με τον προσδιορισμό των θεμελίων της αλγεβρικής γεωμετρίας και το βιβλίο του "Πραγματεία για την επίδειξη προβλημάτων της άλγεβρας" (1070), το οποίο καθόρισε τις αρχές της αναλυτικής γεωμετρίας, αποτελεί μέρος του σώματος των περσικών μαθηματικών που τελικά μεταδόθηκε στην Ευρώπη^[6]. Λόγω της εμπεριστατωμένης γεωμετρικής προσέγγισης των αλγεβρικών εξισώσεων, ο Καγιάμ μπορεί να θεωρηθεί πρόδρομος του Ντεκάρτ στην εφεύρεση της αναλυτικής γεωμετρίας^[7]^:248

Δυτική Ευρώπη

Η αναλυτική γεωμετρία εφευρέθηκε ανεξάρτητα από τον Ρενέ Ντεκάρτ και τον Πιερ ντε Φερμά,^[8]^[9] αν και μερικές φορές αποδίδεται αποκλειστικά στον Ντεκάρτ.^[10]^[11] Η καρτεσιανή γεωμετρία, ο εναλλακτικός όρος που χρησιμοποιείται για την αναλυτική γεωμετρία, πήρε το όνομά της από τον Ντεκάρτ.

Ο Ντεκάρτ σημείωσε σημαντική πρόοδο με τις μεθόδους σε ένα δοκίμιο με τίτλο La Géométrie (Η Γεωμετρία), ένα από τα τρία συνοδευτικά δοκίμια (παραρτήματα) που δημοσιεύτηκαν το 1637 μαζί με το έργο του Discourse on the Method for Rightly Directing One's Reason and Searching for Truth in the Sciences, που συνήθως αναφέρεται ως Discourse on Method. Το έργο La Geometrie, γραμμένο στη μητρική του γαλλική γλώσσα, και οι φιλοσοφικές αρχές του, αποτέλεσαν τη βάση για τον λογισμό στην Ευρώπη. Αρχικά το έργο δεν είχε καλή υποδοχή, εν μέρει λόγω των πολλών κενών στα επιχειρήματα και των περίπλοκων εξισώσεων. Μόνο μετά τη μετάφραση στα λατινικά και την προσθήκη σχολιασμού από τον φαν Σούτεν το 1649 (και περαιτέρω εργασίες στη συνέχεια) το αριστούργημα του Ντεκάρτ έτυχε της δέουσας αναγνώρισης^[12].

Ο Πιερ ντε Φερμά διαδραμάτισε επίσης πρωτοποριακό ρόλο στην ανάπτυξη της αναλυτικής γεωμετρίας. Αν και δεν δημοσιεύθηκε όσο ζούσε, μια χειρόγραφη μορφή του Ad locos planos et solidos isagoge (Εισαγωγή στους επίπεδους και στερεούς τόπους) κυκλοφόρησε στο Παρίσι το 1637, λίγο πριν από τη δημοσίευση του Discourse του Descartes..^[13]^[14]^[15] Η Εισαγωγή, καθαρά γραμμένη και καλοδεχούμενη, έθεσε επίσης τις βάσεις για την αναλυτική γεωμετρία. Η βασική διαφορά μεταξύ των επεξεργασιών του Φερμά και του Ντεκάρτ είναι θέμα οπτικής γωνίας: Ο Φερμά ξεκινούσε πάντα με μια αλγεβρική εξίσωση και στη συνέχεια περιέγραφε τη γεωμετρική καμπύλη που την ικανοποιούσε, ενώ ο Ντεκάρτ ξεκινούσε με γεωμετρικές καμπύλες και παρήγαγε τις εξισώσεις τους ως μία από τις διάφορες ιδιότητες των καμπυλών^[12]. ως συνέπεια αυτής της προσέγγισης, ο Ντεκάρτ έπρεπε να ασχοληθεί με πιο περίπλοκες εξισώσεις και έπρεπε να αναπτύξει τις μεθόδους για να εργαστεί με πολυωνυμικές εξισώσεις υψηλότερου βαθμού. Ο Λέοναρντ Όιλερ ήταν ο πρώτος που εφάρμοσε τη μέθοδο των συντεταγμένων σε μια συστηματική μελέτη των καμπυλών και των επιφανειών του χώρου.

Αντιστοιχίες

Σημείο: κάθε σημείο ${\rm {M}}$ αντιστοιχίζεται σε ένα διάνυσμα ${\vec {m}}$ , το διάνυσμα θέσης του ( ${\vec {m}}={\vec {OM}}$ , όπου ${\rm {O}}$ η αρχή των αξόνων)
Ευθεία: μπορεί να οριστεί ως το σύνολο των σημείων ${\vec {x}}$ που ικανοποιούν την εξίσωση της μορφής $\mathrm {det} |{\vec {x}}-{\vec {p}},{\vec {d}}|=0$ , όπου ${\vec {p}}$ ένα σημείο που ανήκει στην ευθεία και ${\vec {d}}$ ένα διάνυσμα ίδιας διεύθυνσης με την ευθεία.
Επίπεδο: μπορεί να οριστεί ως το σύνολο των σημείων $({\vec {x}}-{\vec {p}})\cdot {\vec {n}}=0$ , όπου ${\vec {p}}$ ένα σημείο που ανήκει στο επίπεδο και ${\vec {n}}$ ένα διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο.

Δείτε επίσης

Περαιτέρω ανάγνωση

Σημειώσεις

Κεχαγιάς, Θ. (2009). «Σημειώσεις αναλυτικής γεωμετρίας» (PDF). Ανακτήθηκε στις 15 Οκτωβρίου 2023.
Γιαννιώτης, Παναγιώτης (2019). «Αναλυτική γεωμετρία» (PDF). Ανακτήθηκε στις 15 Οκτωβρίου 2023.
Κορνάρος, Χαράλαμπος. «Αναλυτική γεωμετρία» (PDF). Τμήμα μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Ανακτήθηκε στις 15 Οκτωβρίου 2023.
Ατρέας, Νικόλαος Δ. (2009). «Αναλυτική γεωμετρία» (PDF). Θεσσαλονίκη: Α. Π. Θ. Γενικό τμήμα πολυτεχνικής σχολής. Ανακτήθηκε στις 15 Οκτωβρίου 2023.

Ελληνικά άρθρα

Λυγάτσικας, Ζήνων (Οκτωβρίου 2021). «Επίλυση γεωμετρικού προβλήματος με αναλυτική γεωμετρία». Ευκλείδης Β΄ (122): 36-38. http://www.hms.gr/sites/default/files/subsites/problems/material/EYKLEIDHS_B_t122_2021.pdf.

Δημοσιεύσεις

Βιβλία

Boyer, Carl B. (2004), History of Analytic Geometry, Dover Publications, ISBN 978-0486438320
Cajori, Florian (1999), A History of Mathematics, AMS, ISBN 978-0821821022
John Casey (1885) Analytic Geometry of the Point, Line, Circle, and Conic Sections, link from Internet Archive.
Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics: An Introduction (2nd Ed.), Reading: Addison Wesley Longman, ISBN 0-321-01618-1, https://archive.org/details/historyofmathema00katz
Mikhail Postnikov (1982) Lectures in Geometry Semester I Analytic Geometry via Internet Archive
Struik, D. J. (1969), A Source Book in Mathematics, 1200-1800, Harvard University Press, ISBN 978-0674823556

Άρθρα

Bissell, Christopher C. (1987), «Cartesian geometry: The Dutch contribution», The Mathematical Intelligencer 9 (4): 38–44, doi:10.1007/BF03023730
Boyer, Carl B. (1944), «Analytic Geometry: The Discovery of Fermat and Descartes», Mathematics Teacher 37 (3): 99–105, doi:10.5951/MT.37.3.0099
Boyer, Carl B. (1965), «Johann Hudde and space coordinates», Mathematics Teacher 58 (1): 33–36, doi:10.5951/MT.58.1.0033
Coolidge, J. L. (1948), «The Beginnings of Analytic Geometry in Three Dimensions», American Mathematical Monthly 55 (2): 76–86, doi:10.2307/2305740
Pecl, J., Newton and analytic geometry

Παραπομπές

↑ Boyer, Carl B. (1991). «The Age of Plato and Aristotle». A History of Mathematics (Second έκδοση). John Wiley & Sons, Inc. σελίδες 94–95. ISBN 0-471-54397-7. Menaechmus apparently derived these properties of the conic sections and others as well. Since this material has a strong resemblance to the use of coordinates, as illustrated above, it has sometimes been maintained that Menaechmus had analytic geometry. Such a judgment is warranted only in part, for certainly Menaechmus was unaware that any equation in two unknown quantities determines a curve. In fact, the general concept of an equation in unknown quantities was alien to Greek thought. It was shortcomings in algebraic notations that, more than anything else, operated against the Greek achievement of a full-fledged coordinate geometry.
↑ Boyer, Carl B. (1991). «Apollonius of Perga». A History of Mathematics (Second έκδοση). John Wiley & Sons, Inc. σελίδες 142. ISBN 0-471-54397-7. The Apollonian treatise On Determinate Section dealt with what might be called an analytic geometry of one dimension. It considered the following general problem, using the typical Greek algebraic analysis in geometric form: Given four points A, B, C, D on a straight line, determine a fifth point P on it such that the rectangle on AP and CP is in a given ratio to the rectangle on BP and DP. Here, too, the problem reduces easily to the solution of a quadratic; and, as in other cases, Apollonius treated the question exhaustively, including the limits of possibility and the number of solutions.
↑ Boyer, Carl B. (1991). «Apollonius of Perga». A History of Mathematics (Second έκδοση). John Wiley & Sons, Inc. σελίδες 156. ISBN 0-471-54397-7. The method of Apollonius in the Conics in many respects are so similar to the modern approach that his work sometimes is judged to be an analytic geometry anticipating that of Descartes by 1800 years. The application of references lines in general, and of a diameter and a tangent at its extremity in particular, is, of course, not essentially different from the use of a coordinate frame, whether rectangular or, more generally, oblique. Distances measured along the diameter from the point of tangency are the abscissas, and segments parallel to the tangent and intercepted between the axis and the curve are the ordinates. The Apollonian relationship between these abscissas and the corresponding ordinates are nothing more nor less than rhetorical forms of the equations of the curves. However, Greek geometric algebra did not provide for negative magnitudes; moreover, the coordinate system was in every case superimposed a posteriori upon a given curve in order to study its properties. There appear to be no cases in ancient geometry in which a coordinate frame of reference was laid down a priori for purposes of graphical representation of an equation or relationship, whether symbolically or rhetorically expressed. Of Greek geometry we may say that equations are determined by curves, but not that curves are determined by equations. Coordinates, variables, and equations were subsidiary notions derived from a specific geometric situation; [...] That Apollonius, the greatest geometer of antiquity, failed to develop analytic geometry, was probably the result of a poverty of curves rather than of thought. General methods are not necessary when problems concern always one of a limited number of particular cases.
↑ ^4,0 ^4,1 Boyer (1991). «The Arabic Hegemony» . A History of Mathematics. σελίδες 241–242. ISBN 9780471543978. Omar Khayyam (ca. 1050–1123), the "tent-maker," wrote an Algebra that went beyond that of al-Khwarizmi to include equations of third degree. Like his Arab predecessors, Omar Khayyam provided for quadratic equations both arithmetic and geometric solutions; for general cubic equations, he believed (mistakenly, as the sixteenth century later showed), arithmetic solutions were impossible; hence he gave only geometric solutions. The scheme of using intersecting conics to solve cubics had been used earlier by Menaechmus, Archimedes, and Alhazan, but Omar Khayyam took the praiseworthy step of generalizing the method to cover all third-degree equations (having positive roots). For equations of higher degree than three, Omar Khayyam evidently did not envision similar geometric methods, for space does not contain more than three dimensions, ... One of the most fruitful contributions of Arabic eclecticism was the tendency to close the gap between numerical and geometric algebra. The decisive step in this direction came much later with Descartes, but Omar Khayyam was moving in this direction when he wrote, "Whoever thinks algebra is a trick in obtaining unknowns has thought it in vain. No attention should be paid to the fact that algebra and geometry are different in appearance. Algebras are geometric facts which are proved."
↑ Cooper, Glen M. (2003). «Review: Omar Khayyam, the Mathmetician by R. Rashed, B. Vahabzadeh». The Journal of the American Oriental Society 123 (1): 248–249. doi:10.2307/3217882.
↑ Mathematical Masterpieces: Further Chronicles by the Explorers, p. 92
↑ Cooper, G. (2003). Journal of the American Oriental Society,123(1), 248-249.
↑ Stillwell, John (2004). «Analytic Geometry». Mathematics and its History (Second έκδοση). Springer Science + Business Media Inc. σελ. 105. ISBN 0-387-95336-1. the two founders of analytic geometry, Fermat and Descartes, were both strongly influenced by these developments.
↑ Boyer 2004, σελ. 74
↑ Cooke, Roger (1997). «The Calculus». The History of Mathematics: A Brief Course. Wiley-Interscience. σελίδες 326. ISBN 0-471-18082-3. The person who is popularly credited with being the discoverer of analytic geometry was the philosopher René Descartes (1596–1650), one of the most influential thinkers of the modern era.
↑ Boyer 2004, σελ. 82
↑ ^12,0 ^12,1 Katz 1998, pg. 442
↑ Katz 1998, pg. 436
↑ Pierre de Fermat, Varia Opera Mathematica d. Petri de Fermat, Senatoris Tolosani (Toulouse, France: Jean Pech, 1679), "Ad locos planos et solidos isagoge," pp. 91–103. Αρχειοθετήθηκε 2015-08-04 στο Wayback Machine.
↑ "Eloge de Monsieur de Fermat" Αρχειοθετήθηκε 2015-08-04 στο Wayback Machine. (Eulogy of Mr. de Fermat), Le Journal des Scavans, 9 February 1665, pp. 69–72. From p. 70: "Une introduction aux lieux, plans & solides; qui est un traité analytique concernant la solution des problemes plans & solides, qui avoit esté veu devant que M. des Cartes eut rien publié sur ce sujet." (An introduction to loci, plane and solid; which is an analytical treatise concerning the solution of plane and solid problems, which was seen before Mr. des Cartes had published anything on this subject.)

Αυτό το λήμμα σχετικά με τη γεωμετρία χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το.

[1] Boyer, Carl B. (1991). «The Age of Plato and Aristotle». A History of Mathematics (Second έκδοση). John Wiley & Sons, Inc. σελίδες 94–95. ISBN 0-471-54397-7. Menaechmus apparently derived these properties of the conic sections and others as well. Since this material has a strong resemblance to the use of coordinates, as illustrated above, it has sometimes been maintained that Menaechmus had analytic geometry. Such a judgment is warranted only in part, for certainly Menaechmus was unaware that any equation in two unknown quantities determines a curve. In fact, the general concept of an equation in unknown quantities was alien to Greek thought. It was shortcomings in algebraic notations that, more than anything else, operated against the Greek achievement of a full-fledged coordinate geometry.

[2] Boyer, Carl B. (1991). «Apollonius of Perga». A History of Mathematics (Second έκδοση). John Wiley & Sons, Inc. σελίδες 142. ISBN 0-471-54397-7. The Apollonian treatise On Determinate Section dealt with what might be called an analytic geometry of one dimension. It considered the following general problem, using the typical Greek algebraic analysis in geometric form: Given four points A, B, C, D on a straight line, determine a fifth point P on it such that the rectangle on AP and CP is in a given ratio to the rectangle on BP and DP. Here, too, the problem reduces easily to the solution of a quadratic; and, as in other cases, Apollonius treated the question exhaustively, including the limits of possibility and the number of solutions.

[3] Boyer, Carl B. (1991). «Apollonius of Perga». A History of Mathematics (Second έκδοση). John Wiley & Sons, Inc. σελίδες 156. ISBN 0-471-54397-7. The method of Apollonius in the Conics in many respects are so similar to the modern approach that his work sometimes is judged to be an analytic geometry anticipating that of Descartes by 1800 years. The application of references lines in general, and of a diameter and a tangent at its extremity in particular, is, of course, not essentially different from the use of a coordinate frame, whether rectangular or, more generally, oblique. Distances measured along the diameter from the point of tangency are the abscissas, and segments parallel to the tangent and intercepted between the axis and the curve are the ordinates. The Apollonian relationship between these abscissas and the corresponding ordinates are nothing more nor less than rhetorical forms of the equations of the curves. However, Greek geometric algebra did not provide for negative magnitudes; moreover, the coordinate system was in every case superimposed a posteriori upon a given curve in order to study its properties. There appear to be no cases in ancient geometry in which a coordinate frame of reference was laid down a priori for purposes of graphical representation of an equation or relationship, whether symbolically or rhetorically expressed. Of Greek geometry we may say that equations are determined by curves, but not that curves are determined by equations. Coordinates, variables, and equations were subsidiary notions derived from a specific geometric situation; [...] That Apollonius, the greatest geometer of antiquity, failed to develop analytic geometry, was probably the result of a poverty of curves rather than of thought. General methods are not necessary when problems concern always one of a limited number of particular cases.

[Boyer_Omar_Khayyam_positive_roots-4] 4,0 ^4,1 Boyer (1991). «The Arabic Hegemony» . A History of Mathematics. σελίδες 241–242. ISBN 9780471543978. Omar Khayyam (ca. 1050–1123), the "tent-maker," wrote an Algebra that went beyond that of al-Khwarizmi to include equations of third degree. Like his Arab predecessors, Omar Khayyam provided for quadratic equations both arithmetic and geometric solutions; for general cubic equations, he believed (mistakenly, as the sixteenth century later showed), arithmetic solutions were impossible; hence he gave only geometric solutions. The scheme of using intersecting conics to solve cubics had been used earlier by Menaechmus, Archimedes, and Alhazan, but Omar Khayyam took the praiseworthy step of generalizing the method to cover all third-degree equations (having positive roots). For equations of higher degree than three, Omar Khayyam evidently did not envision similar geometric methods, for space does not contain more than three dimensions, ... One of the most fruitful contributions of Arabic eclecticism was the tendency to close the gap between numerical and geometric algebra. The decisive step in this direction came much later with Descartes, but Omar Khayyam was moving in this direction when he wrote, "Whoever thinks algebra is a trick in obtaining unknowns has thought it in vain. No attention should be paid to the fact that algebra and geometry are different in appearance. Algebras are geometric facts which are proved."

[5] Cooper, Glen M. (2003). «Review: Omar Khayyam, the Mathmetician by R. Rashed, B. Vahabzadeh». The Journal of the American Oriental Society 123 (1): 248–249. doi:10.2307/3217882.

[6] Mathematical Masterpieces: Further Chronicles by the Explorers, p. 92

[Cooper-7] Cooper, G. (2003). Journal of the American Oriental Society,123(1), 248-249.

[8] Stillwell, John (2004). «Analytic Geometry». Mathematics and its History (Second έκδοση). Springer Science + Business Media Inc. σελ. 105. ISBN 0-387-95336-1. the two founders of analytic geometry, Fermat and Descartes, were both strongly influenced by these developments.

[9] Boyer 2004, σελ. 74

[10] Cooke, Roger (1997). «The Calculus». The History of Mathematics: A Brief Course. Wiley-Interscience. σελίδες 326. ISBN 0-471-18082-3. The person who is popularly credited with being the discoverer of analytic geometry was the philosopher René Descartes (1596–1650), one of the most influential thinkers of the modern era.

[11] Boyer 2004, σελ. 82

[Katz_1998_loc=pg._442-12] 12,0 ^12,1 Katz 1998, pg. 442

[13] Katz 1998, pg. 436

[14] Pierre de Fermat, Varia Opera Mathematica d. Petri de Fermat, Senatoris Tolosani (Toulouse, France: Jean Pech, 1679), "Ad locos planos et solidos isagoge," pp. 91–103. Αρχειοθετήθηκε 2015-08-04 στο Wayback Machine.

[15] "Eloge de Monsieur de Fermat" Αρχειοθετήθηκε 2015-08-04 στο Wayback Machine. (Eulogy of Mr. de Fermat), Le Journal des Scavans, 9 February 1665, pp. 69–72. From p. 70: "Une introduction aux lieux, plans & solides; qui est un traité analytique concernant la solution des problemes plans & solides, qui avoit esté veu devant que M. des Cartes eut rien publié sur ce sujet." (An introduction to loci, plane and solid; which is an analytical treatise concerning the solution of plane and solid problems, which was seen before Mr. des Cartes had published anything on this subject.)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]